【数据结构】树：二叉树、遍历二叉树与线索二叉树等树的定义与解析、二叉树遍历实现（递归、迭代）C++-蒲公英云

#笔记整理
今天复习总结了一下数据结构中树相关的知识点。
先记录一些主要的，慢慢补充。

树（tree）

树是n (n>=0)个结点的有限集。
树是以分支关系定义的层次结构，是一类重要的非线性结构。
特性：
在任意一棵非空树中

有且仅有一个特定的称为根（root）的结点；
当 n > 1 n > 1 n>1 时，其余结点可分为 m （ m > 0 ） m（m>0） m（m>0）个互不相交的有限集 T 1 ， T 2 ， … ， T m T_1，T_2，…，T_m T1，T2，…，Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（subtree）。

度（degree）：结点拥有的子树数。
度为0的结点称为 叶子（leaf） 或 终端结点。
度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根结点之外，分支结点也称为内部结点。
树的度是树内各结点的度的最大值。

结点的层次（level） 从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层。

树的深度（depth） 或高度：树中结点的最大层次称为树的深度。

森林（forest）

森林是m（m>=0）棵互不相交的树的集合。
对树中每个结点而言，其子树的集合即为森林。

二叉树

满足以下两个条件的树形结构叫做 二叉树（Binary Tree）：
（1）每个结点的度都不大于2；
（2）每个结点的孩子结点次序不能任意颠倒。
由此定义可以看出，一个二叉树中的每个结点只能含有0、 1或2个孩子，而且每个孩子有左右之分。把位于左边的孩子叫做左孩子，位于右边的孩子叫做右孩子。

性质1： 二叉树的第 i 层上至多有 2 i − 1 2^{i-1} 2i−1 个结点（ i > = 1 ) （i>=1) （i>=1)；
性质2： 深度为k的二叉树至多有 ( 2 k ) − 1 (2^k) - 1 (2k)−1 个结点（ k > = 1 ）（k>=1）（k>=1）；
性质3： 对任何一棵二叉树 T，若其终端结点数为 n 0 n_0 n0，度为2的结点数为 n 2 n_2 n2，则 n 0 = n 2 + 1 n_0 = n_2 + 1 n0=n2+1；

在继续介绍其他性质之前，先介绍一下满二叉树和完全二叉树：

一棵深度为 k 且有 ( 2 k ) − 1 (2^k)-1 (2k)−1个结点的二叉树称为满二叉树。
在满二叉树中，每层结点都是满的，即每层结点都具有最大结点数，如下图：
在这里插入图片描述

深度为 k 的，有 n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 k 的满二叉树中编号从1至 n 的结点一一对应时，称为 完全二叉树（不同资料定义不同），如下图：
在这里插入图片描述
满二叉树必为完全二叉树，而完全二叉树不一定是满二叉树。

在这里插入图片描述

二叉树的存储结构

二叉树的存储结构有两种： 顺序存储结构和链式存储结构。

顺序存储结构：

编号从小到大的顺序就是结点存放在连续存储单元的先后次序。
如下图，使用顺序存储结构存储完全二叉树：
在这里插入图片描述

而当非完全二叉树用顺序存储结构进行存储时：
在这里插入图片描述

可见：非完全二叉树不适合进行顺序存储。

链式存储结构

二叉树的链式存储结构可分为 二叉链表 和 三叉链表。

二叉链表每个结点的结构：
在这里插入图片描述
二叉链表示例：

三叉链表每个结点结构：（每个结点有三个指针域）
在这里插入图片描述
三叉链表示例：

遍历二叉树和线索二叉树

遍历二叉树（traversing binary tree）

按照一定次序访问树中所有结点，并且每个结点仅被访问一次的过程。遍历可认为是把所有的结点放在一条线上，或者将一棵树进行线性化的处理。
它是最基本的运算，是二叉树中所有其它运算的基础。

假如以L、D、R分别表示遍历左子树、访问根节点和遍历右子树，则可有DLR、LDR、LRD、DRL、RDL、RLD这6种遍历二叉树的方案。
若限定只能先左后右，则只有前3种情况，分别称为先序遍历、中序遍历和后序遍历。

三种遍历方法的递归定义
先序（先根）遍历（DLR）操作过程：
若二叉树为空，则空操作，否则
(1) 访问根结点；
(2) 按先序遍历左子树；
(3) 按先序遍历右子树。

中序（中根）遍历（LDR）操作过程：
若二叉树为空，则空操作，否则：
(1) 按中序遍历左子树；
(2) 访问根结点；
(3) 按中序遍历右子树。

后序（后根）遍历（LRD）操作过程：
若二叉树为空，则空操作，否则：
(1) 按后序遍历左子树；
(2) 按后序遍历右子树；
(3) 访问根结点。

遍历实现代码：

// 先序遍历二叉树，递归算法
void preOrderTraverse(BiTree root){
    if(root != NULL){
        cout << root->data << ' ';       // 访问根结点
        preOrderTraverse(root->left);    // 先序遍历根的左子树
        preOrderTraverse(root->right);   // 先序遍历根的右子树
    }
}
// 先序遍历二叉树，非递归算法，迭代实现
void preOrderTraverse2(BiTree root){
    stack<BiTreeNode *> s;               // 存储二叉树结点的栈
    BiTreeNode *t  = root;
    s.push(NULL);                        // 先压入一个空指针作为标记
    while(t != NULL){
        cout << t->data << ' ';          // 访问当前节点
        if(t->right != NULL){
                // 先把右孩子压入栈（先处理左子树）
            s.push(t->right);
        }
        if(t->left != NULL){
            t = t->left;                 // t 指向其左孩子
        }else{
                               // 左孩子为空
            t = s.top();                 // 获得栈顶元素即右孩子指针
            s.pop();
        }
    }
}
// 中序遍历二叉树，递归算法
void inOrderTraverse(BiTree root){
    if(root != NULL){
        inOrderTraverse(root->left);     // 中序遍历根的左子树
        cout << root->data << ' ';       // 访问根结点
        inOrderTraverse(root->right);    // 中序遍历根的右子树
    }
}
// 中序遍历二叉树，非递归算法，迭代实现
void inOrderTraverse2(BiTree root){
    stack<BiTreeNode *> s;               // 存储二叉树结点的栈
    BiTreeNode *t  = root;
    while(t != NULL || !s.empty()){
        if(t != NULL){
            s.push(t);                   // 将 t 压入栈，先访问其左子树
            t = t->left;
        }else{
                               // 若 t 为空
            t = s.top();                 // 取出 栈顶元素，即树或子树的根结点
            s.pop();
            cout << t->data << ' ';      // 访问当前结点
            t = t->right;                // 指向其右孩子
        }
    }
}
// 后序遍历二叉树递归算法
void postOrderTraverse(BiTree root){
    if(root != NULL){
        postOrderTraverse(root->left);    // 后序遍历根的左子树
        postOrderTraverse(root->right);   // 后序遍历根的右子树
        cout << root->data << ' ';        // 访问根结点
    }
}
// 后序遍历非递归算法需要使用的结构体
enum Tags {
    Left, Right};                  // 枚举类型标志位，stackNode使用
typedef struct {
    BiTreeNode *p;                        // 结点指针
    Tags flag;                            // 标志位
}stackNode;
// 后序遍历二叉树，非递归算法，迭代实现
void postOrderTraverse2(BiTree root){
    stack<stackNode > s;                  // 存储二叉树结点的栈
    stackNode sNode;                      // 栈元素
    BiTreeNode *t  = root;
    while(t != NULL || !s.empty()){
        while(t != NULL){
                     // t 非空，入栈根结点，继续向左，找到最左的根结点的左孩子（空指针）
            sNode.p = t;
            sNode.flag = Left;            // 设置标志位为 Left，表示其出栈时已访问过左子树
            s.push(sNode);
            t = t->left;
        }
        sNode = s.top();
        s.pop();
        t = sNode.p;
        if(sNode.flag == Left){
               // 已访问过左子树
            sNode.flag = Right;           // 标志位设为 Right，表示其出栈时已访问过左子树
            s.push(sNode);
            t = t->right;
        }else{
                                // 已访问过右子树
            cout << t->data << ' ';
            t = NULL;                     // 设置 t 为空，以便继续出栈
        }
    }
}

github源码

线索二叉树

线索二叉树是以一定规则将二叉树中结点排列成一个线性序列，得到二叉树中结点的先序序列或中序序列或后序序列。这实质上是对一个非线性结构进行线性化操作，使每个结点（除首尾结点外）在线性序列中有且仅有一个直接前驱和直接后继。

线索二叉树规定：
若结点有左子树，则其lchild域指示其左孩子，否则令lchild域指向其前驱；
若结点有右子树，则其rchild域指示其右孩子，否则令rchild域指向其后继。
因此需要增加两个标志域，作为结点是否含有左右孩子的标志：
在这里插入图片描述

总的来说，指向前驱和后继结点的指针叫做线索。以这种结构组成的二叉链表作为二叉树的存储结构，叫做线索链表。对二叉树以某种次序进行遍历并且加上线索的过程叫做线索化。线索化了的二叉树称为线索二叉树。

线索二叉树示例：
在这里插入图片描述

其他常用的树还有二叉排序树、平衡二叉树、红黑树、B-树、B-树、键树等等，这几类树其实属于查收表，由于还没复习到，先简单介绍一下：

二叉排序树（Binary Sort Tree）： 又称 二叉查找树（Binary Search Tree），树中任何一个结点，其左子树上所有结点的值均小于该结点的值，其右子树上所有结点的值均大于该结点的值。

平衡二叉树（Balanced Binary Tree 或 Height-Balanced Tree）： 又称为AVL树。它要么是空树，要么具有下列性质：

它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1。
若将二叉树上结点的平衡因子BF（Balance Factor）定义为该结点的左子树的深度减去右子树的深度，则平衡二叉树上所有结点的平衡因子只可能是-1、0、1。

B-树： 一种平衡的多路查找树，它在文件系统中很有用，每个非终端结点里包含了关键字信息。
B+树： 是应文件系统需要而出现的一种B-树的变型树。
键树（Digital Search Trees）： 又称 数字查找树，是一棵度 >= 2 的树，树中的每个结点中不是包含一个或几个关键字，而是只含有组成关键字的符号。

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