洛谷 P5162 WD与积木【多项式求逆】

分手后的思念是犯贱 2021-11-09 00:36 202阅读 0赞

设f\[i\]为i个积木能堆出来的种类，g\[i\]为i个积木能堆出来的种类和  
\\\[ f\[n\]=\\sum\_\{i=1\}^\{n\}C\_\{n\}^\{i\}g\[n-i\] \\\]  
\\\[ g\[n\]=\\sum\_\{i=1\}^\{n\}C\_\{n\}^\{i\}f\[n-i\]+g\[n\] \\\]  
理解就是选出包含最后一个的块，然后剩下的按照之前的拼  
化简，设s为\\( \\frac\{1\}\{n!\} \\)，G为\\( \\frac\{g\[n\]\}\{n!\} \\)，F为\\( \\frac\{fn\]\}\{n!\} \\)，把组合数拆开，变成卷积形式，然后化简就变成  
\\\[ F=\\frac\{1\}\{1-S\} \\\]  
\\\[ G=F\*(F-1) \\\]  
用多项式求逆即可

#include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; const int N=1000005,mod=998244353; int T,n=1e5+5,s[N],f[N],g[N],a[N],b[N],c[N],t[N],fac[N],inv[N],re[N],lm,bt,ans[N]; int read() { int r=0,f=1; char p=getchar(); while(p>'9'||p<'0') { if(p=='-') f=-1; p=getchar(); } while(p>='0'&&p<='9') { r=r*10+p-48; p=getchar(); } return r*f; } int ksm(int a,int b) { int r=1; while(b) { if(b&1) r=1ll*r*a%mod; a=1ll*a*a%mod; b>>=1; } return r; } void dft(int a[],int f) { for(int i=0;i<lm;i++) if(i<re[i]) swap(a[i],a[re[i]]); for(int i=1;i<lm;i<<=1) { int wi=ksm(3,(mod-1)/(i*2)); if(f==-1) wi=ksm(wi,mod-2); for(int k=0;k<lm;k+=(i<<1)) { int w=1,x,y; for(int j=0;j<i;j++) { x=a[j+k]; y=1ll*a[i+j+k]*w%mod; a[j+k]=(x+y)%mod; a[i+j+k]=(x-y+mod)%mod; w=1ll*w*wi%mod; } } } if(f==-1) { int ni=ksm(lm,mod-2); for(int i=0;i<lm;i++) a[i]=1ll*a[i]*ni%mod; } } void clc(int len) {//cerr<<len<<endl; if(len==0) { c[0]=ksm(s[0],mod-2); return; } clc(len>>1); for(bt=1;(1<<bt)<=len;bt++); lm=(1<<bt); for(int i=0;i<lm;i++) re[i]=(re[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bt-1)); for(int i=0;i<len;i++) t[i]=s[i]; dft(t,1); dft(c,1); for(int i=0;i<lm;i++) c[i]=1ll*c[i]*(mod+2-1ll*c[i]*t[i]%mod)%mod; dft(c,-1); for(int i=len;i<=2*lm+1;i++) c[i]=0; for(int i=0;i<=2*lm+1;i++) t[i]=0; } int main() { n=1e5+5; fac[0]=inv[0]=1; for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod; inv[n]=ksm(fac[n],mod-2); for(int i=n-1;i>=1;i--) inv[i]=1ll*inv[i+1]*(i+1)%mod; for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=mod-inv[i]; s[0]++; for(bt=1;(1<<bt)<=2*n;bt++); lm=(1<<bt); clc(lm); for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=b[i]=f[i]=c[i]; f[0]=a[0]=1,b[0]=0; // for(int i=0;i<=10;i++) // cerr<<f[i]<<" ";cerr<<endl; for(bt=1;(1<<bt)<=2*n;bt++); lm=(1<<bt); for(int i=0;i<lm;i++) re[i]=(re[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bt-1)); dft(a,1); dft(b,1); for(int i=0;i<lm;i++) g[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod; dft(g,-1); for(int i=1;i<=n;i++) ans[i]=1ll*g[i]*ksm(f[i],mod-2)%mod;//,printf("%d\n",ans[i]); T=read(); while(T--) printf("%d\n",ans[read()]); return 0; }

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