线性方程组和矩阵

系统管理员 2021-11-02 14:01 409阅读 0赞

*  第一章 线性方程组和矩阵
    
     *  第一节 矩阵的概念及运算
        
         *  一、矩阵的定义
         *  二、矩阵的线性运算
         *  三、矩阵的乘法
         *  四、矩阵的转置
     *  第二节 分块矩阵
        
         *  一、分块矩阵的概念
         *  二、分块矩阵的运算
     *  第三节 线性方程组与矩阵的初等变换
        
         *  一、矩阵的初等变换
     *  第四节 初等矩阵与矩阵的逆矩阵
        
         *  一、方阵的逆矩阵
         *  二、初等矩阵
         *  三、初等矩阵与逆矩阵的应用

# 第一章 线性方程组和矩阵 #

同济大学(线性代数)

## 第一节 矩阵的概念及运算 ##

［课前导读］  
线性方程组的求解是线性代数要研究的重要问题之一，而矩阵是求解线性方程组的核心工具．另一方面，矩阵理论在自然科学、工程技术、经济管理等领域中有着广泛的应用，是一些实际问题得以解决的基本工具．这一节我们通过线性方程组和矩阵的关系引出矩阵的定义，并给出矩阵的运算及运算性质．在正式学习矩阵之前，需要读者了解线性方程组的相关知识.

### 一、矩阵的定义 ###

由\\(m\\)个方程\\(n\\)个未知量\\(x\_1,x\_2,...,x\_n\\)构成的线性（即:一次）方程组可以表示为  
\\\[\\tag\{1-1\}\\left\\\{\\begin\{aligned\} a\_\{11\}x\_1+a\_\{12\}x\_2+...+a\_\{1n\}x\_n=b\_1 \\\\ a\_\{21\}x\_1+a\_\{22\}x\_2+...+a\_\{2n\}x\_n=b\_2 \\\\ ... \\\\ a\_\{m1\}x\_1+a\_\{m2\}x\_2+...+a\_\{mn\}x\_n=b\_m \\\\ \\end\{aligned\}\\right.\\\]

在线性方程组中，未知量用什么字母表示无关紧要，重要的是方程组中未知量的个数以及未知量的系数和常数项．也就是说，线性方程组（1-1）由常数\\(a\_\{ij\}(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)\\)和\\(b\_i(i=1，2，…，m)\\)完全确定，所以可以用一个\\(m×(n+1)\\)个数排成的\\(m\\)行\\(n+1\\)列的数表

\\\[\\widetilde\{A\}=\\begin\{bmatrix\} \{a\_\{11\}\}&\{a\_\{12\}\}&\{\\cdots\}&\{a\_\{1n\}\}&\{b\_1\}\\\\ \{a\_\{21\}\}&\{a\_\{22\}\}&\{\\cdots\}&\{a\_\{2n\}\}&\{b\_2\}\\\\ \{\\vdots\}&\{\\vdots\}&\{\\ddots\}&\{\\vdots\}\\\\ \{a\_\{m1\}\}&\{a\_\{m2\}\}&\{\\cdots\}&\{a\_\{mn\}\}&\{b\_m\}\\\\ \\end\{bmatrix\} \\\]

表示线性方程组（1-1）．这个数表的第\\(j（j=1，2，…，n）\\)列表示未知量\\(x\_j（j=1，2，…，n）\\)前的系数，第\\(i（i=1，2，…，m）\\)行表示线性方程组（1-1）中的第\\(i（i=1，2，…，m）\\)个方程，这个数表反映了线性方程组（1-1）的全部信息．反之，任意给定一个\\(m\\)行\\(n+1\\)列的数表，可以通过这个数表写出一个线性方程组．因此，线性方程组与这样的数表之间有了一个对应关系．

#### 定义1 矩阵定义 ####

\\(m×n\\)个数\\(a\_\{ij\}(i=1,2,\{\\cdots\},m;j=1,2,\{\\cdots\},n)\\)排成的\\(m\\)行\\(n\\)列的数表

\\\[\\begin\{bmatrix\} \{a\_\{11\}\}&\{a\_\{12\}\}&\{\\cdots\}&\{a\_\{1n\}\}\\\\ \{a\_\{21\}\}&\{a\_\{22\}\}&\{\\cdots\}&\{a\_\{2n\}\}\\\\ \{\\vdots\}&\{\\vdots\}&\{\\ddots\}&\{\\vdots\}\\\\ \{a\_\{m1\}\}&\{a\_\{m2\}\}&\{\\cdots\}&\{a\_\{mn\}\}\\\\ \\end\{bmatrix\}\\\]

称为一个\\(m×n\\)矩阵，简记为\\((a\_\{ij\})\\)，有时为了强调矩阵的行数和列数，也记为\\((a\_\{ij\})\_\{m×n\}\\)．数\\(a\_\{ij\}\\)位于矩阵\\((a\_\{ij\})\\)的第\\(i\\)行第\\(j\\)列，称为矩阵的\\((i,j)\\)元素，其中\\(i\\)称为元素\\(a\_\{ij\}\\)的行标，\\(j\\)称为元素\\((\_\{ij\}\\)的列标．

一般地，常用英文大写字母\\(A,B,…\\)或字母\\(α，β，γ，…\\)表示矩阵，如\\(A=(a\_\{ij\}), B=(b\_\{ij\}),A\_\{m×n\},B\_\{m×n\}\\)等．

元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵．本书中的矩阵除特别指明外，都是指实矩阵．

\\(1×1\\)的矩阵

\\(1×n\\)的矩阵, 称为行矩阵,也称为\\(n\\)维行向量.

\\\[(a\_1, a\_2, \{\\cdots\}, a\_n)\\\]

\\(n×1\\)的矩阵, 称为列矩阵,也称为\\(n\\)维列向量.

\\\[\\begin\{bmatrix\}a\_1\\\\ a\_2\\\\ \{\\vdots\} \\\\a\_n\\\\\\end\{bmatrix\}\\\]

所有元素都是零的\\(m×n\\)的矩阵称为零矩阵,记为\\(O\_\{m×n\}\\), 或简记为\\(O\\).

\\(n×n\\)的矩阵称为**方阵**. 元素\\(a\_\{ii\}(i=1, 2, \{\\cdots\}, n)\\)所在的位置称为\\(n\\)阶方阵的主对角线.

上三角  
\\\[\\begin\{bmatrix\} \{a\_\{11\}\}&0&\{\\cdots\}&0\\\\ \{a\_\{21\}\}&\{a\_\{22\}\}&\{\\cdots\}&0\\\\ \{\\vdots\}&\{\\vdots\}&\{\\ddots\}&\{\\vdots\}\\\\ \{a\_\{n1\}\}&\{a\_\{n2\}\}&\{\\cdots\}&\{a\_\{nn\}\}\\\\ \\end\{bmatrix\}\\\]

下三角  
\\\[\\begin\{bmatrix\} \{a\_\{11\}\}&\{a\_\{12\}\}&\{\\cdots\}&\{a\_\{1n\}\}\\\\ 0 & \{a\_\{22\}\}&\{\\cdots\}&\{a\_\{2n\}\}\\\\ \{\\vdots\}&\{\\vdots\}&\{\\ddots\}&\{\\vdots\}\\\\ 0 & 0 & \{\\cdots\}&\{a\_\{nn\}\}\\\\ \\end\{bmatrix\}\\\]

对角阵, \\(diag(a\_1, a\_2, \{\\cdots\}, a\_n)\\)  
\\\[\\begin\{bmatrix\} \{a\_\{1\}\}&0&\{\\cdots\}&0\\\\ 0 & \{a\_\{2\}\}&\{\\cdots\}&0\\\\ \{\\vdots\}&\{\\vdots\}&\{\\ddots\}&\{\\vdots\}\\\\ 0 & 0 & \{\\cdots\}&\{a\_\{n\}\}\\\\ \\end\{bmatrix\}\\\]

单位矩阵\\(E\_n\\)或\\(E\\)  
\\\[E=\\begin\{bmatrix\} 1&0&\{\\cdots\}&0\\\\ 0 & 1&\{\\cdots\}&0\\\\ \{\\vdots\}&\{\\vdots\}&\{\\ddots\}&\{\\vdots\}\\\\ 0 & 0 & \{\\cdots\}&1\\\\ \\end\{bmatrix\}\\\]

#### 定义2 矩阵相等 ####

两个矩阵的行数相等、列数也相等，则称这两个矩阵为**同型矩阵**．如果两个同型矩阵\\(A=(a\_\{ij\})\_\{m×n\}\\)和\\(B=(b\_\{ij\})\_\{m×n\}\\)中所有对应位置的元素都相等，即\\(a\_\{ij\}=b\_\{ij\}\\)，其中\\(i=1, 2, \{\\cdots\}, m; j=1, 2, \{\\cdots\}, n\\)则称矩阵\\(A\\)和\\(B\\)相等，记为\\(A=B\\)．

### 二、矩阵的线性运算 ###

#### 定义3 矩阵加法\\(A+B\\) ####

设\\(A=(a\_\{ij\})\_\{m×n\}\\)和\\(B=(b\_\{ij\})\_\{m×n\}\\)是两个同型矩阵，则矩阵\\(A\\)与\\(B\\)的和记为\\(A+B\\)，规定

\\\[A+B=\\begin\{pmatrix\} \{a\_\{11\}+b\_\{11\}\}&\{a\_\{12\}+b\_\{12\}\}&\{\\cdots\}&\{a\_\{1n\}+b\_\{1n\}\}\\\\ \{a\_\{21\}+b\_\{21\}\}&\{a\_\{22\}+b\_\{22\}\}&\{\\cdots\}&\{a\_\{2n\}+b\_\{2n\}\}\\\\ \{\\vdots\}&\{\\vdots\}&\{\\ddots\}&\{\\vdots\}\\\\ \{a\_\{m1\}+b\_\{m1\}\}&\{a\_\{m2\}+b\_\{m2\}\}&\{\\cdots\}&\{a\_\{mn\}+b\_\{mn\}\}\\\\ \\end\{pmatrix\} \\\]

同型矩阵的加法就是两个矩阵对应位置上元素的加法，由此易知矩阵的加法满足如下的运算规律：设\\(A，B，C\\)是任意三个\\(m×n\\)矩阵，则

1) 交换律：\\(A+B=B+A\\)；  
2) 结合律：\\((A+B)+C=A+(B+C)\\)；  
3) \\(A+O\_\{m×n\}=O\_\{m×n\}+A=A\\)．

对于矩阵\\(A=(a\_\{ij\})\_\{m×n\}\\)，称矩阵\\((-a\_\{ij\})\_\{m×n\}\\)为矩阵\\(A\\)的负矩阵，记为\\(-A\\)．显然，\\(A+(-A)=O\_\{m×n\}\\)．由此可以定义矩阵\\(A=(a\_\{ij\})\_\{m×n\}\\)和\\(B=(b\_\{ij\})\_\{m×n\}\\)的减法为\\(A-B=A+(-B)=(a\_\{ij\}-b\_\{ij\})\_\{m×n\}\\)．

#### 定义4 矩阵数乘\\(kA\\) ####

用一个数\\(k\\)乘矩阵\\(A=(a\_\{ij\})\_\{m×n\}\\)的所有元素得到的矩阵\\((k\\cdot a\_\{ij\})\_\{m×n\}\\)称为矩阵的数乘，记为\\(kA\\)或者\\(Ak\\)，即\\(kA=Ak=(k\\cdot a\_\{ij\})\_\{m×n\}\\)．

如果\\(k，l\\)是任意两个数，\\(A，B\\)是任意两个\\(m×n\\)矩阵，则矩阵的数乘运算满足：

1) \\(k(A+B)=kA+kB\\)；  
2) \\((k+l)A=kA+lA\\)；  
3) \\((kl)A=k(lA)=l(kA)\\)；  
4) \\(1A=A\\)；  
5) \\((-1)A=-A\\)；  
6) \\(0A=O\_\{m×n\}\\)．

矩阵的加法和矩阵的数乘统称为**矩阵的线性运算**。

### 三、矩阵的乘法 ###

#### 定义5 矩阵乘法\\(A\_\{m×p\}B\_\{p×n\}\\) ####

设矩阵\\(A=(a\_\{ij\})\_\{m×p\}\\)，矩阵\\(B=(b\_\{ij\})\_\{p×n\}\\)，定义矩阵A与B的乘积是矩阵\\(C=(c\_\{ij\})\_\{m×n\}\\)，其中矩阵\\(C=(c\_\{ij\})\\)的第\\(i\\)行第\\(j\\)列元素\\(c\_\{ij\}\\)是矩阵\\(A\\)的第\\(i\\)行元素\\(a\_\{i1\}，a\_\{i2\}，…，a\_\{ip\}\\)与矩阵\\(B\\)的第\\(j\\)列相应元素\\(b\_\{1j\}，b\_\{2j\}，…，b\_\{pj\}\\)的乘积之和，即

\\\[c\_\{ij\}=\\sum\_\{k=1\}^p a\_\{ik\}b\_\{kj\}=a\_\{i1\}b\_\{1j\} + a\_\{i2\}b\_\{2j\} + \\cdots + a\_\{ik\}b\_\{kj\} \\\]

必须注意：只有当第一个矩阵（左边的矩阵）的列数与第二个矩阵（右边的矩阵）的行数相等时，两个矩阵才能相乘．

1 矩阵乘法不满足交换律，即在一般情况下，\\(AB≠BA\\)；  
2 尽管矩阵\\(A\\)与\\(B\\)满足\\(AB=O\\)，但是得不出\\(A=O\\)或\\(B=O\\)的结论．

但是，矩阵乘法仍满足下列运算规律（假设运算都是可行的）．

1) 结合律：\\((AB)C=A(BC)\\)．  
2) 矩阵乘法对矩阵加法的分配律：\\(A(B+C)=AB+AC，(A+B)C=AC+BC\\)．  
3) \\((kA)B=A(kB)=k(AB)\\)．  
4) \\(E\_mA\_\{m×n\}=A\_\{m×n\}E\_n=A\_\{m×n\}\\)．  
5) \\(O\_\{m×s\}A\_\{s×n\}=O\_\{m×n\}；A\_\{m×s\}O\_\{s×n\}=O\_\{m×n\}\\)

对于方阵有

\\\[A^k=\\underbrace\{AA\\cdots A\}\_\{k\}\\\]

并且规定：对非零方阵\\(A\\)，有\\(A^0=E\\)．  
方阵的方幂满足以下运算规律（这里k，l均为非负整数）：

\\\[A^kA^l=A^\{k+l\}；(A^k)^l=A^\{kl\}．\\\]

### 四、矩阵的转置 ###

#### 定义6 矩阵转置\\(A\_\{m×n\}\\) ####

设\\(A=\\begin\{pmatrix\} \{a\_\{11\}\}&\{a\_\{12\}\}&\{\\cdots\}&\{a\_\{1n\}\}\\\\ \{a\_\{21\}\}&\{a\_\{22\}\}&\{\\cdots\}&\{a\_\{2n\}\}\\\\ \{\\vdots\}&\{\\vdots\}&\{\\ddots\}&\{\\vdots\}\\\\ \{a\_\{m1\}\}&\{a\_\{m2\}\}&\{\\cdots\}&\{a\_\{mn\}\}\\\\ \\end\{pmatrix\}\\)，把矩阵\\(A\\)的行换成同充数的列,得到\\(n×m\\)矩阵称为矩阵\\(A\\)的转置矩阵，记为\\(A^T\\)，即

\\\[A^T=\\begin\{pmatrix\} \{a\_\{11\}\}&\{a\_\{21\}\}&\{\\cdots\}&\{a\_\{m1\}\}\\\\ \{a\_\{12\}\}&\{a\_\{22\}\}&\{\\cdots\}&\{a\_\{m2\}\}\\\\ \{\\vdots\}&\{\\vdots\}&\{\\ddots\}&\{\\vdots\}\\\\ \{a\_\{1n\}\}&\{a\_\{2n\}\}&\{\\cdots\}&\{a\_\{nm\}\}\\\\ \\end\{pmatrix\}\\\]

矩阵的转置满足下面的运算规律(这里\\(k\\)为常数，\\(A\\)与\\(B\\)为同型矩阵)：

1) \\((A^T)^T=A\\)；  
2) \\((A+B)^T=A^T+B^T\\)；  
3) \\((AB)^T=B^TA^T\\)；  
4) \\((kA)^T=kA^T\\)．

#### 定义7 对称矩阵,反对称矩阵 ####

\\(n\\)阶方阵\\(A\\)如果满足\\(A^T=A\\)，则称\\(A\\)为对称矩阵，如果满足\\(A^T=-A\\)，则称\\(A\\)为反对称矩阵．

## 第二节 分块矩阵 ##

［课前导读］

当矩阵的行数和列数较高时，为了证明或计算的方便，常把矩阵分成若干小块，把每个小块当作“数”来处理，这便是矩阵的分块．这一节我们将讨论矩阵的分块方式和分块矩阵的计算．在学习这一节之前，需要读者熟练掌握矩阵的线性运算、矩阵乘法和矩阵的转置运算．

### 一、分块矩阵的概念 ###

对于行数和列数较高的矩阵\\(A\\)，运算时常用一些横线和竖线将矩阵\\(A\\)分划成若干个小矩阵，每一个小矩阵称为\\(A\\)的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵．

### 二、分块矩阵的运算 ###

分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似，不同的计算方式，分块的原则不同，下面分情况讨论．

（1）分块矩阵加（减）运算：设\\(A、B\\)都是\\(m×n\\)矩阵，对两个矩阵的行和列采用相同的分块方式，不妨设  
\\\[A=\\begin\{pmatrix\} \{A\_\{11\}\}&\{A\_\{12\}\}&\{\\cdots\}&\{A\_\{1t\}\}\\\\ \{A\_\{21\}\}&\{A\_\{22\}\}&\{\\cdots\}&\{A\_\{2t\}\}\\\\ \{\\vdots\}&\{\\vdots\}&\{\\ddots\}&\{\\vdots\}\\\\ \{A\_\{s1\}\}&\{A\_\{s2\}\}&\{\\cdots\}&\{A\_\{st\}\}\\\\ \\end\{pmatrix\},B=\\begin\{pmatrix\} \{B\_\{11\}\}&\{B\_\{12\}\}&\{\\cdots\}&\{B\_\{1t\}\}\\\\ \{B\_\{21\}\}&\{B\_\{22\}\}&\{\\cdots\}&\{B\_\{2t\}\}\\\\ \{\\vdots\}&\{\\vdots\}&\{\\ddots\}&\{\\vdots\}\\\\ \{B\_\{s1\}\}&\{B\_\{s2\}\}&\{\\cdots\}&\{B\_\{st\}\}\\\\ \\end\{pmatrix\}\\\]

其中\\(A\_\{ij\}\\)和\\(B\_\{ij\}\\)的行数相同、列数相同，则有  
\\\[A+B=\\begin\{pmatrix\} \{A\_\{11\}+B\_\{11\}\}&\{A\_\{12\}+B\_\{12\}\}&\{\\cdots\}&\{A\_\{1t\}+B\_\{1t\}\}\\\\ \{A\_\{21\}+B\_\{21\}\}&\{A\_\{22\}+B\_\{22\}\}&\{\\cdots\}&\{A\_\{2t\}+B\_\{2t\}\}\\\\ \{\\vdots\}&\{\\vdots\}&\{\\ddots\}&\{\\vdots\}\\\\ \{A\_\{s1\}+B\_\{s1\}\}&\{A\_\{s2\}+B\_\{s2\}\}&\{\\cdots\}&\{A\_\{st\}+B\_\{st\}\}\\\\ \\end\{pmatrix\}\\\]

（2）分块矩阵的数乘运算：  
\\\[kA=\\begin\{pmatrix\} \{kA\_\{11\}\}&\{kA\_\{12\}\}&\{\\cdots\}&\{kA\_\{1t\}\}\\\\ \{kA\_\{21\}\}&\{kA\_\{22\}\}&\{\\cdots\}&\{kA\_\{2t\}\}\\\\ \{\\vdots\}&\{\\vdots\}&\{\\ddots\}&\{\\vdots\}\\\\ \{kA\_\{s1\}\}&\{kA\_\{s2\}\}&\{\\cdots\}&\{kA\_\{st\}\}\\\\ \\end\{pmatrix\}\\\]

（3）分块矩阵乘法：设\\(A\_\{m×s\}、B\_\{s×n\}\\)，要求矩阵\\(A\\)的列分块方式与矩阵\\(B\\)的行分块方式保持一致，而对矩阵A的行分块方式及矩阵B的列分块方式没有任何要求和限制．不妨设  
\\\[A=\\begin\{pmatrix\} \{A\_\{11\}\}&\{A\_\{12\}\}&\{\\cdots\}&\{A\_\{1k\}\}\\\\ \{A\_\{21\}\}&\{A\_\{22\}\}&\{\\cdots\}&\{A\_\{2k\}\}\\\\ \{\\vdots\}&\{\\vdots\}&\{\\ddots\}&\{\\vdots\}\\\\ \{A\_\{t1\}\}&\{A\_\{t2\}\}&\{\\cdots\}&\{A\_\{tk\}\}\\\\ \\end\{pmatrix\},B=\\begin\{pmatrix\} \{B\_\{11\}\}&\{B\_\{12\}\}&\{\\cdots\}&\{B\_\{1u\}\}\\\\ \{B\_\{21\}\}&\{B\_\{22\}\}&\{\\cdots\}&\{B\_\{2u\}\}\\\\ \{\\vdots\}&\{\\vdots\}&\{\\ddots\}&\{\\vdots\}\\\\ \{B\_\{k1\}\}&\{B\_\{k2\}\}&\{\\cdots\}&\{B\_\{ku\}\}\\\\ \\end\{pmatrix\}\\\]

其中\\(A\_\{i1\}，A\_\{i2\}，…，A\_\{ik\}\\)的列数分别等于\\(B\_\{1j\}，B\_\{2j\}，…，B\_\{kj\}\\)的行数, 则

\\\[AB=\\begin\{pmatrix\} \{C\_\{11\}\}&\{C\_\{12\}\}&\{\\cdots\}&\{C\_\{1u\}\}\\\\ \{C\_\{21\}\}&\{C\_\{22\}\}&\{\\cdots\}&\{C\_\{2u\}\}\\\\ \{\\vdots\}&\{\\vdots\}&\{\\ddots\}&\{\\vdots\}\\\\ \{C\_\{t1\}\}&\{C\_\{t2\}\}&\{\\cdots\}&\{C\_\{tu\}\}\\\\ \\end\{pmatrix\}\\\]

其中

\\\[C\_\{ij\}=\\sum\_\{t=1\}^k A\_\{it\}B\_\{tj\}=A\_\{i1\}B\_\{1j\} + A\_\{i2\}B\_\{2j\} + \\cdots + A\_\{it\}B\_\{tj\} \\\]

（4）分块矩阵的转置：设\\(A=\\begin\{pmatrix\} \{A\_\{11\}\}&\{A\_\{12\}\}&\{\\cdots\}&\{A\_\{1k\}\}\\\\ \{A\_\{21\}\}&\{A\_\{22\}\}&\{\\cdots\}&\{A\_\{2k\}\}\\\\ \{\\vdots\}&\{\\vdots\}&\{\\ddots\}&\{\\vdots\}\\\\ \{A\_\{t1\}\}&\{A\_\{t2\}\}&\{\\cdots\}&\{A\_\{tk\}\}\\\\ \\end\{pmatrix\}\\), 则\\(A^T=\\begin\{pmatrix\} \{A\_\{11\}\}^T&\{A\_\{21\}\}^T&\{\\cdots\}&\{A\_\{t1\}\}^T\\\\ \{A\_\{12\}\}^T&\{A\_\{22\}\}^T&\{\\cdots\}&\{A\_\{t2\}\}^T\\\\ \{\\vdots\}&\{\\vdots\}&\{\\ddots\}&\{\\vdots\}\\\\ \{A\_\{1k\}\}^T&\{A\_\{2k\}\}^T&\{\\cdots\}&\{A\_\{tk\}\}^T\\\\ \\end\{pmatrix\}\\)

（5）分块对角阵：设\\(A\\)是\\(n\\)阶方阵，若\\(A\\)的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，且这些非零子块都是方阵，而其余子块都是零矩阵，即

\\\[A=\\begin\{pmatrix\} \{A\_\{1\}\}&O&\{\\cdots\}&O\\\\ O&\{A\_\{2\}\}&\{\\cdots\}&O\\\\ \{\\vdots\}&\{\\vdots\}&\{\\ddots\}&\{\\vdots\}\\\\ O&O&\{\\cdots\}&\{A\_\{t\}\}\\\\ \\end\{pmatrix\}\\\]

其中\\(A\_i（i=1，2，…，t）\\)都是方阵，这样的分块阵称为分块对角阵.

## 第三节 线性方程组与矩阵的初等变换 ##

［课前导读］  
本节通过高斯消元法解线性方程组，引入矩阵的初等行变换，并给出矩阵的初等变换、阶梯形矩阵、行最简形矩阵、矩阵等价等概念．最后，我们利用矩阵的初等行变换来求解线性方程组．在学习本节之前，需要读者回忆消元法解线性方程组的相关知识．当然，正文中会详细给出如何用消元法解线性方程组．

### 一、矩阵的初等变换 ###

#### 定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换 ####

（1）交换矩阵的某两行，我们用\\(r\_i↔r\_j\\)表示交换矩阵的第\\(i,j\\)两行；  
（2）矩阵的某一行乘以非零数，用\\(kr\_i\\)表示矩阵的第\\(i\\)行元素乘以非零数\\(k\\)；  
（3）将矩阵的某一行的倍数加到另一行，用\\(r\_j+kr\_i\\)表示将矩阵第\\(i\\)行的\\(k\\)倍加到第\\(j\\)行．

将上面定义中的“行”换成“列”（记号由“\\(r\\)”换成“\\(c\\)”），就得到了矩阵的初等列变换的定义．

矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换．

对于一般的矩阵，我们有下面的结论．

**定理**

1) 任意一个\\(m×n\\)矩阵总可以经过若干次初等行变换化为行阶梯形矩阵；  
2) 任意一个\\(m×n\\)矩阵总可以经过若干次初等行变换化为行最简形矩阵；  
3) 任意一个\\(m×n\\)矩阵总可以经过若干次初等变换（行变换和列变换）化为它的标准形\\(F=\\begin\{pmatrix\} E\_r&O\\\\ O&O \\end\{pmatrix\}\\)其中\\(r\\)为行阶梯形矩阵中非零行的行数．

#### 定义2 矩阵等价 ####

若矩阵\\(A\\)经过有限次初等行（列）变换化为矩阵\\(B\\)，则称矩阵\\(A\\)与矩阵\\(B\\)行（列）等价；若矩阵\\(A\\)经过有限次初等变换化为矩阵\\(B\\)，则称矩阵\\(A\\)与矩阵\\(B\\)等价．

我们用\\(A\\stackrel\{r\}\{\\sim\}B\\)表示矩阵\\(A\\)与矩阵\\(B\\)行等价，用\\(A\\stackrel\{c\}\{\\sim\}B\\)表示矩阵\\(A\\)与矩阵\\(B\\)列等价，用\\(A\\sim B\\)表示矩阵\\(A\\)与矩阵\\(B\\)等价．注意：矩阵间的行（列）等价以及矩阵间的等价是一个等价关系，即满足

1) 自反性：任意矩阵A与自身等价．  
2) 对称性：若矩阵A与矩阵B等价，则矩阵B与矩阵A等价．  
3) 传递性：若矩阵A与矩阵B等价，矩阵B与矩阵C等价，则矩阵A与矩阵C等价．

等价关系是数学中一个十分重要的概念．等价的对象具有某种共性，这在以后可以得到具体的体现．

## 第四节 初等矩阵与矩阵的逆矩阵 ##

［课前导读］  
我们知道，在实数的运算中有逆的概念，即如果\\(ab=ba=1\\)，则有\\(b=a^\{-1\}\\)和\\(a=b^\{-1\}\\)．本节我们也在矩阵的运算中引入类似的概念，即方阵的逆，并给出逆矩阵的性质和求法．在学习本节前，需要读者熟悉矩阵的初等变换．

### 一、方阵的逆矩阵 ###

#### 1. 逆矩阵的定义 ####

**定义1**　设\\(A\\)为\\(n\\)阶方阵，如果存在\\(n\\)阶方阵\\(B\\)使得

\\\[\\tag\{4-1\} AB=BA=E\\\]

其中，\\(E\\)为\\(n\\)阶单位方阵，则称矩阵\\(A\\)是可逆的，矩阵\\(B\\)称为\\(A\\)的逆矩阵；否则称\\(A\\)是不可逆的．

如果矩阵\\(A\\)可逆，则\\(A\\)的逆矩阵一定是唯一的．这是因为，若矩阵\\(B、C\\)都满足  
\\\[AB=BA=E，AC=CA=E\\\]

由于矩阵乘法满足结合律，于是\\\[C=CE=C（AB）=（CA）B=EB=B\\\]

所以\\(A\\)的逆矩阵一定是唯一的．\\(A\\)的逆矩阵记为\\(A^\{-1\}\\)．

#### 2. 逆矩阵的性质 ####

1) 若\\(A\\)可逆, 则\\(A^\{-1\}\\)也可逆, 并且\\((A^\{-1\})^\{-1\}=A\\);  
2) 若矩阵\\(A\_1,A\_s,\\cdots,A\_s\\)可逆, 则它们的乘积\\(A\_1A\_s\\cdots A\_s\\)也可逆, 并且\\((A\_1A\_s\\cdots A\_s)^\{-1\}=A\_s^\{-1\}\\cdots A\_2^\{-1\}A\_1^\{-1\}\\);  
3) 若\\(A\\)可逆, 则\\(A^T\\)也可逆, 并且\\((A^T)^\{-1\}=(A^\{-1\})^T\\);  
4) 若\\(A\\)可逆并且数\\(k\\neq0\\), 则\\(kA\\)也可逆, 并且\\((kA)^\{-1\}=k^\{-1\}A^\{-1\}\\);

### 二、初等矩阵 ###

**定义2**　对\\(n\\)阶单位矩阵\\(E\\)实施一次初等变换得到的矩阵称为\\(n\\)阶初等矩阵．由于初等变换有三种，对\\(n\\)阶单位矩阵\\(E\\)实施一次初等变换得到的初等矩阵也有三类．

1) 交换单位阵\\(E\\)的第\\(i\\)行和第\\(j\\)行，或交换\\(E\\)的第\\(i\\)列和第\\(j\\)列，得到的初等矩阵记为\\(E(i,j)\\)，即

\\\[E(i,j)=\\begin\{pmatrix\} 1\\\\ &\{\\ddots\}\\\\ &&0&&1&& \_\{第i行\}\\\\ &&&\{\\ddots\}\\\\ &&1&&0&&\_\{第j行\}\\\\ &&&&&\{\\ddots\}\\\\ &&&&&&1\\\\ \\end\{pmatrix\}\\\]

2) 用非零数\\(k\\)乘单位阵\\(E\\)的第\\(i\\)行或第\\(i\\)列，得到的初等矩阵记为\\(E(i(k))\\)，即

\\\[E(i(k))=\\begin\{pmatrix\} 1\\\\ &\{\\ddots\}\\\\ &&1\\\\ &&&k&&&\_\{第i行\}\\\\ &&&&1\\\\ &&&&&\{\\ddots\}\\\\ &&&&&&1\\\\ \\end\{pmatrix\}\\\]

3) 将单位阵\\(E\\)的第\\(i\\)行乘以非零数\\(k\\)加到第\\(j\\)行(或将单位阵\\(E\\)的第\\(j\\)列乘以非零数\\(k\\)加到第\\(i\\)列)，得到的初等矩阵记为\\(E(i(k), j)\\)，即

\\\[E(i(k),j)=\\begin\{pmatrix\} 1\\\\ &\{\\ddots\}\\\\ &&1&&0&& \_\{第i行\}\\\\ &&&\{\\ddots\}\\\\ &&k&&1&&\_\{第j行\}\\\\ &&&&&\{\\ddots\}\\\\ &&&&&&1\\\\ \\end\{pmatrix\}\\\]

关于初等变换与初等矩阵的关系，我们有下面的结论．

**命题1** 初等矩阵都是可逆的，并且初等矩阵的逆矩阵仍为同一类型的初等矩阵，即

\\\[E(i,j)^\{-1\}=E(i,j),E(i(k))^\{-1\}=E(i(\\dfrac1k)),E(i(k),j)^\{-1\}=E(i(-k),j)\\\]

**证明** 直接计算可得

\\(E(i,j)E(i,j)=E\\)  
\\(E(i(k))E(i(\\dfrac1k))=E(i(\\dfrac1k))E(i(k))=E\\)  
\\(E(i(k),j)E(i(-k),j)=E(i(-k),j)E(i(k),j)=E\\)

**命题2**　设\\(A\\)是一个\\(m×n\\)矩阵，对\\(A\\)施行一次初等行变换，相当于在\\(A\\)的左边乘以相应的\\(m\\)阶初等矩阵；对\\(A\\)施行一次初等列变换，相当于在\\(A\\)的右边乘以相应的\\(n\\)阶初等矩阵．

### 三、初等矩阵与逆矩阵的应用 ###

首先，我们利用初等矩阵和初等变换给出一个方阵可逆的判别条件．

**定理1**　下面命题互相等价：  
（1）\\(n\\)阶方阵\\(A\\)可逆；  
（2）方阵\\(A\\)行等价于\\(n\\)阶单位矩阵\\(E\\)；  
（3）方阵\\(A\\)可表示为一些初等方阵的乘积．

证明　为了证明的方便，我们采取（1）⇒（2）⇒（3）⇒（1）的方式来证明．

（1）⇒（2）:由本章第三节的定理可知，方阵\\(A\\)经过若干次初等行变换可化为行最简形矩阵\\(R\\)．再由命题2可知，这相当于存在若干个初等矩阵\\(P\_1，P\_2，…，P\_s\\)，使得\\(P\_s…P\_2P\_1A=R\\). 由于初等矩阵都可逆，若\\(A\\)可逆，则根据逆矩阵的性质知\\(P\_s…P\_2P\_1A=R\\)可逆，从而行最简形矩阵\\(R\\)没有全零行，这迫使\\(R=E\\)，即\\(P\_s…P\_2P\_1A=E\\)，所以方阵\\(A\\)行等价于\\(n\\)阶单位矩阵\\(E\\).

（2）⇒（3）：若方阵\\(A\\)行等价于\\(n\\)阶单位矩阵\\(E\\)，则存在若干个初等矩阵\\(P\_1，P\_2，…，P\_s\\)，使得\\(P\_s…P\_2P\_1A=E\\)．由于初等矩阵都可逆且其逆矩阵仍为初等矩阵，记\\(P\_1，P\_2，…，P\_s\\)的逆矩阵分别为\\(P\_1^\{-1\}，P\_2^\{-1\}，…，P\_s^\{-1\}\\), 于是\\(P\_1^\{-1\}P\_2^\{-1\}…P\_s^\{-1\}(P\_s…P\_2P\_1A)=P\_1^\{-1\}P\_2^\{-1\}…P\_s^\{-1\}E\\), 即\\(A=P\_1^\{-1\}P\_2^\{-1\}…P\_s^\{-1\}\\)  
即也就是说，\\(A\\)可表示为初等方阵的乘积．

（3）⇒（1）：设方阵\\(A=P\_1^\{-1\}P\_2^\{-1\}…P\_s^\{-1\}\\)，其中\\(P\_1^\{-1\}，P\_2^\{-1\}，…，P\_s^\{-1\}\\)均为初等矩阵，由于初等矩阵均可逆，于是它们的乘积\\(A=P\_1^\{-1\}P\_2^\{-1\}…P\_s^\{-1\}\\)也可逆．

由定理1的证明可知，若\\(n\\)阶方阵\\(A\\)可逆，则存在一个可逆阵\\(P=P\_s…P\_2P\_1\\)，使得\\(PA=E\\)，于是\\\[A^\{-1\}=(P\_1^\{-1\}P\_2^\{-1\}…P\_s^\{-1\})^\{-1\}=P\_s…P\_2P\_1=P\\\]

构造一个分块矩阵\\((A|E)\\),做分块矩阵乘法:  
\\\[P(A|E)=(PA|PE)=(E|P)=(E|A^\{-1\})\\\]

上式等价于对分块矩阵\\(（A|E）\\)实施了若干次初等行变换，当\\(A\\)变成\\(E\\)时，\\(E\\)就变成了\\(A^\{-1\}\\)．所以，**定理1**给出了判别矩阵\\(A\\)是否可逆，并在可逆时求\\(A^\{-1\}\\)的一种方法：  
（1）首先构造分块矩阵\\(（A|E）\\)；  
（2）对矩阵\\(（A|E）\\)实施初等行变换，将\\(（A|E）\\)化为行最简形矩阵；  
（3）如果\\(A\\)不能行等价于\\(E\\)，则矩阵\\(A\\)不可逆；若\\(A\\)能行等价于\\(E\\)，则\\(A\\)可逆，且\\(E\\)就行等价于\\(A^\{-1\}\\)．

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