RSA算法原理（一）

素颜马尾好姑娘i 2021-09-26 12:52 335阅读 0赞

如果你问我，哪一种[算法][Link 1]最重要？

我可能会回答["公钥加密算法"][Link 2]。

![bg2013062701.jpg][]

因为它是计算机通信安全的基石，保证了加密数据不会被破解。你可以想象一下，信用卡交易被破解的后果。

进入正题之前，我先简单介绍一下，什么是"公钥加密算法"。

一、一点历史

1976年以前，所有的加密方法都是同一种模式：

> 　　（1）甲方选择某一种加密规则，对信息进行加密；
> 
> 　　（2）乙方使用同一种规则，对信息进行解密。

由于加密和解密使用同样规则（简称"密钥"），这被称为["对称加密算法"][Link 3]（Symmetric-key algorithm）。

这种加密模式有一个最大弱点：甲方必须把加密规则告诉乙方，否则无法解密。保存和传递密钥，就成了最头疼的问题。

![bg2013062703.jpg][]

1976年，两位美国计算机学家Whitfield Diffie 和 Martin Hellman，提出了一种崭新构思，可以在不直接传递密钥的情况下，完成解密。这被称为["Diffie-Hellman密钥交换算法"][Diffie-Hellman]。这个算法启发了其他科学家。人们认识到，加密和解密可以使用不同的规则，只要这两种规则之间存在某种对应关系即可，这样就避免了直接传递密钥。

这种新的加密模式被称为"非对称加密算法"。

> 　　（1）乙方生成两把密钥（公钥和私钥）。公钥是公开的，任何人都可以获得，私钥则是保密的。
> 
> 　　（2）甲方获取乙方的公钥，然后用它对信息加密。
> 
> 　　（3）乙方得到加密后的信息，用私钥解密。

如果公钥加密的信息只有私钥解得开，那么只要私钥不泄漏，通信就是安全的。

![bg2013062702.jpg][]

1977年，三位数学家Rivest、Shamir 和 Adleman 设计了一种算法，可以实现非对称加密。这种算法用他们三个人的名字命名，叫做[RSA算法][RSA]。从那时直到现在，RSA算法一直是最广为使用的"非对称加密算法"。毫不夸张地说，只要有计算机网络的地方，就有RSA算法。

这种算法非常[可靠][Link 4]，密钥越长，它就越难破解。根据已经披露的文献，目前被破解的最长RSA密钥是768个二进制位。也就是说，长度超过768位的密钥，还无法破解（至少没人公开宣布）。因此可以认为，1024位的RSA密钥基本安全，2048位的密钥极其安全。

下面，我就进入正题，解释RSA算法的原理。文章共分成两部分，今天是第一部分，介绍要用到的四个数学概念。你可以看到，RSA算法并不难，只需要一点[数论知识][Link 5]就可以理解。

**二、互质关系**

如果两个正整数，除了1以外，没有其他公因子，我们就称这两个数是[互质关系][Link 6]（coprime）。比如，15和32没有公因子，所以它们是互质关系。这说明，不是质数也可以构成互质关系。

关于互质关系，不难得到以下结论：

> 　　1. 任意两个质数构成互质关系，比如13和61。
> 
> 　　2. 一个数是质数，另一个数只要不是前者的倍数，两者就构成互质关系，比如3和10。
> 
> 　　3. 如果两个数之中，较大的那个数是质数，则两者构成互质关系，比如97和57。
> 
> 　　4. 1和任意一个自然数是都是互质关系，比如1和99。
> 
> 　　5. p是大于1的整数，则p和p-1构成互质关系，比如57和56。
> 
> 　　6. p是大于1的奇数，则p和p-2构成互质关系，比如17和15。

**三、欧拉函数**

请思考以下问题：

> 任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？（比如，在 1 到 8 之中，有多少个数与 8 构成互质关系？）

计算这个值的方法就叫做[欧拉函数][Link 7]，以φ(n)表示。在 1 到 8 之中，与 8 形成互质关系的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。

φ(n) 的计算方法并不复杂，但是为了得到最后那个公式，需要一步步讨论。

**第一种情况**

如果n=1，则 φ(1) = 1 。因为 1 与任何数（包括自身）都构成互质关系。

**第二种情况**

如果n是质数，则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系。比如 5 与1、2、3、4 都构成互质关系。

**第三种情况**

如果n是质数的某一个次方，即 n = p^k (p为质数，k为大于 1 的整数)，则

![28175144-80092710e63e4637b3a04a716843a44e.png][]

比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4。

这是因为只有当一个数不包含质数p，才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^(k-1) 个，即1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p，把它们去除，剩下的就是与n互质的数。

上面的式子还可以写成下面的形式：

![28175208-71feb252c6984ce8be233b3a26e7c42f.png][]

**第四种情况**

如果n可以分解成两个互质的整数之积，

> n = p1 × p2

则

> φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)

即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如，φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。

这一条的证明简单说是这样的：如果a与 p1 互质(a<p1)，b与 p2 互质(b<p2)，则 a×p2+b×p1 肯定与 p1p2 互质。由于a一共有φ(p1) 种取值可能，b一共有φ(p2) 个取值可能，所以φ(p1p2) 就等于φ(p1)φ(p2)。

**第五种情况**

因为任意一个大于 1 的正整数，都可以写成一系列质数的积。

![28175228-1a3d0240a7704b75a7c231b8d180483e.png][]

根据第 4 条的结论，得到

![28175306-554f40aea4ae42d2ae83bb5a166d47fb.png][]

再根据第 3 条的结论，得到

![28175320-ab7afc1a355647daa114f922f8671fe0.png][]

也就等于

![28175327-590c832397ff458998945331084bcb74.png][]

这就是欧拉函数的通用计算公式。比如，1323 的欧拉函数，计算过程如下：

![28175334-1dc056bac9e64c6283e443659c8991fe.png][]

**四、欧拉定理**

欧拉函数的用处，在于[欧拉定理][Link 8]。"欧拉定理"指的是：

> 如果两个正整数a和n互质，则n的欧拉函数 φ(n) 可以让下面的等式成立：
> 
> ![28175354-8150d5fab989499786f85efa28d04b51.png][]

也就是说，a的φ(n)次方被n除的余数为1。或者说，a的φ(n)次方减去1，可以被n整除。比如，3 和 7 互质，而 7 的欧拉函数φ(7) 等于6，所以 3 的 6 次方（729）减去1，可以被 7 整除（728/7=104）。

欧拉定理的证明比较复杂，这里就省略了。我们只要记住它的结论就行了。

欧拉定理可以大大简化某些运算。比如，7 和 10 互质，根据欧拉定理，

![28175417-22e7b5ce538e41f7aff74575efc7fe89.png][]

已知 φ(10) 等于4，所以马上得到 7 的 4 倍数次方的个位数肯定是1。

![28175425-e6d7736e9cbf4d8e8635d4d3311039a0.png][]

因此，7 的任意次方的个位数（例如 7 的 222 次方），心算就可以算出来。

欧拉定理有一个特殊情况。

> 假设正整数a与质数p互质，因为质数p的φ(p)等于p-1，则欧拉定理可以写成
> 
> ![28175433-71d90ee33c2e432299739ee3841f9e4d.png][]

这就是著名的[费马小定理][Link 9]。它是欧拉定理的特例。

欧拉定理是 RSA 算法的核心。理解了这个定理，就可以理解 RSA。

**五、模反元素**

还剩下最后一个概念：

> 如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得 ab-1 被n整除，或者说 ab 被n除的余数是1。
> 
> ![28175456-ccbbcc56ce4f4d83b2f9b4f87ab3aa2d.png][]
> 
> 这时，b就叫做a的["模反元素"][Link 10]。

比如，3 和 11 互质，那么 3 的模反元素就是4，因为 (3 × 4)-1 可以被 11 整除。显然，模反元素不止一个， 4 加减 11 的整数倍都是 3 的模反元素 \{...，-18,-7,4,15,26,...\}，即如果b是a的模反元素，则 b+kn 都是a的模反元素。

欧拉定理可以用来证明模反元素必然存在。

![28175510-ec48d536c10c4c2aa130609e3cc224a4.png][]

可以看到，a的 φ(n)-1 次方，就是a的模反元素。

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好了，需要用到的数学工具，全部介绍完了。RSA 算法涉及的数学知识，就是上面这些，下一次我就来介绍公钥和私钥到底是怎么生成的。

原创地址：[http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/06/rsa\_algorithm\_part\_one.html][http_www.ruanyifeng.com_blog_2013_06_rsa_algorithm_part_one.html]

[Link 1]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%AE%97%E6%B3%95
[Link 2]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E9%92%A5%E5%AF%86%E7%A0%81%E5%AD%A6
[bg2013062701.jpg]: http://www.ruanyifeng.com/blogimg/asset/201306/bg2013062701.jpg
[Link 3]: http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%AF%B9%E7%AD%89%E5%8A%A0%E5%AF%86
[bg2013062703.jpg]: http://www.ruanyifeng.com/blogimg/asset/201306/bg2013062703.jpg
[Diffie-Hellman]: http://en.wikipedia.org/wiki/Diffie%E2%80%93Hellman_key_exchange
[bg2013062702.jpg]: http://www.ruanyifeng.com/blogimg/asset/201306/bg2013062702.jpg
[RSA]: http://zh.wikipedia.org/zh-cn/RSA%E5%8A%A0%E5%AF%86%E7%AE%97%E6%B3%95
[Link 4]: http://en.wikipedia.org/wiki/RSA_Factoring_Challenge
[Link 5]: http://jeremykun.com/2011/07/30/number-theory-a-primer/
[Link 6]: http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E4%BA%92%E7%B4%A0
[Link 7]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AC%A7%E6%8B%89%E5%87%BD%E6%95%B0
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[Link 8]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AC%A7%E6%8B%89%E5%AE%9A%E7%90%86_%28%E6%95%B0%E8%AE%BA%29
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[Link 9]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B4%B9%E9%A9%AC%E5%B0%8F%E5%AE%9A%E7%90%86
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[Link 10]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A8%A1%E5%8F%8D%E5%85%83%E7%B4%A0
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