轻松学习RSA加密算法原理

本是古典何须时尚 2022-09-24 13:24 163阅读 0赞

[http://blog.csdn.net/q376420785/article/details/8557266][http_blog.csdn.net_q376420785_article_details_8557266]

[http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/07/rsa\_algorithm\_part\_two.html][http_www.ruanyifeng.com_blog_2013_07_rsa_algorithm_part_two.html]

以前也接触过RSA加密算法，感觉这个东西太神秘了，是数学家的事，和我无关。但是，看了很多关于RSA加密算法原理的资料之后，我发现其实原理并不是我们想象中那么复杂，弄懂之后发现原来就只是这样而已..

学过算法的朋友都知道，计算机中的算法其实就是数学运算。所以，再讲解RSA加密算法之前，有必要了解一下一些必备的数学知识。我们就从数学知识开始讲解。

### 必备数学知识 ###

RSA加密算法中，只用到素数、互质数、指数运算、模运算等几个简单的数学知识。所以，我们也需要了解这几个概念即可。

#### 素数 ####

素数又称质数，指在一个大于1的[自然数][Link 1]中，除了1和此[整数][Link 2]自身外，不能被其他自然数[整除][Link 3]的数。这个概念，我们在上初中，甚至小学的时候都学过了，这里就不再过多解释了。

#### 互质数 ####

百度百科上的解释是：公因数只有1的两个数，叫做互质数。；维基百科上的解释是：**互质**，又称**互素**。若N个整数的[最大公因子][Link 4]是1，则称这N个整数互质。

常见的互质数判断方法主要有以下几种：

1.  两个不同的质数一定是互质数。例如，2与7、13与19。
2.  一个质数，另一个不为它的倍数，这两个数为互质数。例如，3与10、5与 26。
3.  相邻的两个自然数是互质数。如 15与 16。
4.  相邻的两个奇数是互质数。如 49与 51。
5.  较大数是质数的两个数是互质数。如97与88。
6.  小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。例如 7和 16。
7.  2和任何奇数是互质数。例如2和87。
8.  1不是质数也不是合数，它和任何一个自然数在一起都是互质数。如1和9908。
9.  辗转相除法。

#### 指数运算 ####

指数运算又称乘方计算，计算结果称为幂。*nm*指将*n*自乘*m*次。把*nm*看作乘方的结果，叫做”n的m次幂”或”n的m次方”。其中，n称为“**底数**”，m称为“**[指数][Link 5]**”。

#### 模运算 ####

模运算即求余运算。“模”是“Mod”的音译。和模运算紧密相关的一个概念是“同余”。数学上，当两个整数除以同一个**正**整数，若得相同[余数][Link 6]，则二整数**同余**。

两个整数***a，b***，若它们除以正整数***m***所得的余数相等，则称***a，b***对于模***m***同余，记作: a ≡ b (mod m)；读作：***a***同余于***b***模***m***，或者，***a***与***b***关于模***m***同余。例如：26 ≡ 14 (mod 12)。

### RSA加密算法 ###

#### RSA加密算法简史 ####

RSA是1977年由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。当时他们三人都在麻省理工学院工作。RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。

#### 公钥与密钥的产生 ####

假设[Alice][]想要通过一个不可靠的媒体接收[Bob][Alice]的一条私人讯息。她可以用以下的方式来产生一个**公钥**和一个**私钥**：

1.  随意选择两个大的[质数][Link 7]*p*和*q*，*p*不等于*q*，计算*N*=*pq*。
2.  根据[欧拉函数][Link 8]，求得r = (*p*\-1)(*q*\-1)
3.  选择一个小于 r 的整数* e*，求得 e 关于模 r 的[模反元素][Link 9]，命名为d。（模反元素存在，当且仅当e与r互质）
4.  将* p *和* q *的记录销毁。

*(N,e)*是公钥，*(N,d)*是私钥。Alice将她的公钥(N,e)传给Bob，而将她的私钥(N,d)藏起来。

#### 加密消息 ####

假设Bob想给Alice送一个消息*m*，他知道Alice产生的*N*和*e*。他使用起先与Alice约好的格式将*m*转换为一个小于*N*的整数*n*，比如他可以将每一个字转换为这个字的[Unicode][]码，然后将这些数字连在一起组成一个数字。假如他的信息非常长的话，他可以将这个信息分为几段，然后将每一段转换为*n*。用下面这个公式他可以将*n*加密为*c*：  
  
　　ne ≡ c (mod N)

计算*c*并不复杂。Bob算出*c*后就可以将它传递给Alice。

#### 解密消息 ####

Alice得到Bob的消息*c*后就可以利用她的密钥*d*来解码。她可以用以下这个公式来将*c*转换为*n*：

cd ≡ n (mod N)

得到*n*后，她可以将原来的信息*m*重新复原。

解码的原理是：

cd ≡ n e·d(mod N)

以及*ed* ≡ 1 (mod *p*\-1)和*ed* ≡ 1 (mod *q*\-1)。由[费马小定理][Link 10]可证明（因为*p*和*q*是质数）

n e·d ≡ n (mod p) 　　和 　n e·d ≡ n (mod q)

这说明（因为*p*和*q*是*不同*的质数，所以*p*和*q*互质）

n e·d ≡ n (mod pq)

#### 签名消息 ####

RSA也可以用来为一个消息署名。假如甲想给乙传递一个署名的消息的话，那么她可以为她的消息计算一个[散列值][Link 11](Message digest)，然后用她的密钥(private key)加密这个散列值并将这个“署名”加在消息的后面。这个消息只有用她的公钥才能被解密。乙获得这个消息后可以用甲的公钥解密这个散列值，然后将这个数据与他自己为这个消息计算的散列值相比较。假如两者相符的话，那么他就可以知道发信人持有甲的密钥，以及这个消息在传播路径上没有被篡改过。

#### 编程实践 ####

下面，开始我们的重点环节：编程实践。在开始编程前，我们通过计算，来确定公钥和密钥。

##### 计算公钥和密钥 #####

1.  假设p = 3、q = 11（p，q都是素数即可。），则N = pq = 33；
2.  r = (p-1)(q-1) = (3-1)(11-1) = 20；
3.  根据模反元素的计算公式，我们可以得出，e·d ≡ 1 (mod 20),即e·d = 20n+1 (n为正整数)；我们假设n=1，则e·d = 21。e、d为正整数，并且e与r互质，则e = 3，d = 7。（两个数交换一下也可以。）

到这里，公钥和密钥已经确定。公钥为(N, e) = (33, 3)，密钥为(N, d) = (33, 7)。

##### 编程实现 #####

下面我们使用Java来实现一下加密和解密的过程。具体代码如下：

RSA算法实现：

**\[java\]**  [view plain][] [copy][view plain]

1.  <span style="font-size:14px;">**package** security.rsa;  
2.    
3.  **public** **class** RSA \{  
4.        
5.      /\*\* 
6.       \*  加密、解密算法 
7.       \* @param key 公钥或密钥 
8.       \* @param message 数据 
9.       \* @return 
10.      \*/  
11.     **public** **static** **long** rsa(**int** baseNum, **int** key, **long** message)\{  
12.         **if**(baseNum < 1 || key < 1)\{  
13.             **return** 0L;  
14.         \}  
15.         //加密或者解密之后的数据  
16.         **long** rsaMessage = 0L;  
17.           
18.         //加密核心算法  
19.         rsaMessage = Math.round(Math.pow(message, key)) % baseNum;  
20.         **return** rsaMessage;  
21.     \}  
22.       
23.       
24.       
25.     **public** **static** **void** main(String\[\] args)\{  
26.         //基数  
27.         **int** baseNum = 3 \* 11;  
28.         //公钥  
29.         **int** keyE = 3;  
30.         //密钥  
31.         **int** keyD = 7;  
32.         //未加密的数据  
33.         **long** msg = 24L;  
34.         //加密后的数据  
35.         **long** encodeMsg = rsa(baseNum, keyE, msg);  
36.         //解密后的数据  
37.         **long** decodeMsg = rsa(baseNum, keyD, encodeMsg);  
38.           
39.         System.out.println("加密前：" + msg);  
40.         System.out.println("加密后：" + encodeMsg);  
41.         System.out.println("解密后：" + decodeMsg);  
42.           
43.     \}  
44.     </span>  
45.       
46. \}

RSA算法结果：

加密前：24  
加密后：30  
解密后：24

（看程序最清楚了，对于要加密的数字m, m^e%N=c, c就是加密之后的密文。c^d%N=m, 就能解密得到m）

#### RSA加密算法的安全性 ####

当p和q是一个大素数的时候，从它们的积pq去分解因子p和q，这是一个公认的数学难题。然而，虽然RSA的安全性依赖于大数的因子分解，但并没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度等价。

1994年[彼得·秀尔][Link 12]（Peter Shor）证明一台[量子计算机][Link 13]可以在多项式时间内进行因数分解。假如量子计算机有朝一日可以成为一种可行的技术的话，那么秀尔的算法可以淘汰RSA和相关的衍生算法。（即依赖于分解大整数困难性的加密算法）

另外，假如*N*的长度小于或等于256[位][Link 14]，那么用一台个人电脑在几个小时内就可以分解它的因子了。1999年，数百台电脑合作分解了一个512位长的*N*。1997年后开发的系统，用户应使用1024位密钥，证书认证机构应用2048位或以上。

#### RSA加密算法的缺点    ####

虽然RSA加密算法作为目前最优秀的公钥方案之一，在发表三十多年的时间里，经历了各种攻击的考验，逐渐为人们接受。但是，也不是说RSA没有任何缺点。由于没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度的等价性。所以，RSA的重大缺陷是无法从理论上把握它的保密性能如何。在实践上，RSA也有一些缺点：

1.  产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，因而难以做到一次一密；
2.  分组长度太大，为保证安全性，n 至少也要 600 bits 以上，使运算代价很高，尤其是速度较慢，。

[http_blog.csdn.net_q376420785_article_details_8557266]: http://blog.csdn.net/q376420785/article/details/8557266
[http_www.ruanyifeng.com_blog_2013_07_rsa_algorithm_part_two.html]: http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/07/rsa_algorithm_part_two.html
[Link 1]: http://baike.baidu.com/view/19911.htm
[Link 2]: http://baike.baidu.com/view/71484.htm
[Link 3]: http://baike.baidu.com/view/135932.htm
[Link 4]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%85%AC%E5%9B%A0%E6%95%B8
[Link 5]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0
[Link 6]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%99%E6%95%B0
[Alice]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%84%9B%E9%BA%97%E7%B5%B2%E8%88%87%E9%AE%91%E4%BC%AF
[Link 7]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B3%AA%E6%95%B8
[Link 8]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AC%A7%E6%8B%89%E5%87%BD%E6%95%B0
[Link 9]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A8%A1%E5%8F%8D%E5%85%83%E7%B4%A0
[Unicode]: http://zh.wikipedia.org/wiki/Unicode
[Link 10]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B4%B9%E9%A9%AC%E5%B0%8F%E5%AE%9A%E7%90%86
[Link 11]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%95%A3%E5%88%97
[view plain]: http://blog.csdn.net/q376420785/article/details/8557266#
[Link 12]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%BC%E5%BE%97%C2%B7%E7%A7%80%E7%88%BE
[Link 13]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA
[Link 14]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D