IEEE754

快来打我* 2021-09-16 02:40 316阅读 0赞

[https://blog.csdn.net/charles\_neil/article/details/59125861][https_blog.csdn.net_charles_neil_article_details_59125861]

# IEEE 754标准解读 #

## 简介 ##

[IEEE 754 标准][IEEE 754] 是IEEE二进位浮点数算术标准（IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic）的标准编号,它规定了浮点数在计算机当中的存储方式以及算术标准等。

## 存储方式 ##

计算机中数据均是按二进制的方式存储的，浮点数的存储也是如此。但是由于浮点数的特殊性，无法采用整数的补码存储方式，浮点数需要有特定的存储方式。总的来说，一个浮点数可以分为3部分存储：

*  sign(符号)
 *  exponent(指数)
 *  fraction(尾数)

举例：0.00101(2)=1.01×2−30.00101(2)=1.01×2−3   
(2)表示二进制,上式中小数0.00101可以存储为3部分   
①sign: +   
②exponent: (-3)   
③fraction: 01   
为什么不存储小数点前面的数呢？   
key:浮点数之所以叫浮点数，是因为小数点的位置是不确定的。   
如上面的0.00101(2)0.00101(2) 可以写成1.01×2−31.01×2−3 ，也可以写成10.1×2−410.1×2−4 ，而如果这台机器这样存，那台机器那样存，这可怎么计算呢？   
因此，存储是统一化成科学记数法，即小数点之前一定是1。   
化成科学记数法之后最高位均为1，于是便将1省略，只存储小数点之后的尾数，这种机制使同样的内存空间可以存储更大范围的数。

单精度和双精度所占字节数不一样，他们②③部分的宽度自然不一样(如图分别为float和double)   
![float][]   
![double][]   
**sign**   
符号位在计算机中的存储是非常容易的，因为符号只有正负两种情况，因此需一个bit便可存储，0代表正，1代表负

**exponent**   
指数是一个整数，一般来说整数会采用补码存储，但是补码存储不能方便地进行浮点数的比较以及运算(原因参见[wikipedia][IEEE 754] )

于是exponent采用*biased exponent* = exponent + bias   
实际计算机中存储的是经过偏移的指数(*biased exponent*)，即在原来指数的基础上加上一个数(*float*是加上127，*double*是1023)，这个经过偏移的指数一定非负。   
举例:单精度浮点数，指数为-3，偏移过后为124，于是便存储为01111100

**fraction**   
直接将fraction转化为二进制后存入计算机

## 规约与非规约(normalized & denormalized numbers) ##

我们先来计算按如此方式存储所能表示的最小的正数和最大的负数   
±1.0 × 2^minexp   
即fraction部分以及exponent部分均为最小，1是隐藏存储的，但是可不可以更小呢？   
为了满足对精度的需求，使能表示的数更加地接近0，IEEE754标准引入了规约(normalized)与非规约(denormalized)的概念。

**normalized number**   
标准规定规约型的浮点数，最高位隐藏存储为1，偏移后的指数b\_exp范围为`0<b_exp<2^e - 1`. e指的是exponent部分的宽度。例如*float*指数宽度为8，能表示的最小指数为0-127 = -127。fraction部分直接存储

**denormalized number**   
规定非规约的浮点数，最高位隐藏存储0，偏移后的指数b\_exp为0，fraction部分直接存储(但是不能为0，原因往下看)。   
你也许会想既然规约和非规约都是隐藏存储最高位，那么计算机怎么知道隐藏的是1还是0呢？这个很简单，注意规约和非规约的b\_exp范围是有区别的，计算机会根据这个进行判断。

## 特殊值 ##

标准规定了一些特殊值(零，无穷，非数字)的存储方式   
如果 **指数** 是0 并且 **小数部分** 是0, 这个数±0 (和符号位相关,这就是上文说的**原因)**   
如果 **指数** = 2^e - 1并且 **小数部分** 是0, 这个数是 ±无穷大 (同样和符号位相关)   
如果 **指数** = 2^e - 1并且 **小数部分** 非0, 这个数表示为不是一个数(NaN).

总结一下，列个表

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th>form</th> 
   <th>biased exponent</th> 
   <th>fraction</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td>zero</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>denormalized</td> 
   <td>0</td> 
   <td>not 0</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>normalized</td> 
   <td><code>0&lt;b_exp&lt;2^e - 1</code></td> 
   <td>&nbsp;</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>±infinity (±∞)</td> 
   <td>2^e - 1</td> 
   <td>0</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>NaN</td> 
   <td>2^e - 1</td> 
   <td>not 0</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

参考资料：百度百科、Wikipedia

## 不精确存储 ##

浮点数存在不精确存储的现象   
这种现象发生于一下几种情况之下：

*  有效位数过长
 *  无法表示某些数

第一种很容易理解，以double类型为例，存储位数只有52(如果加上省略的那位是53位)，如果存储的数有效位数大于53，则无法准确存储   
第二种情况，举个例子吧，0.3就不能化成二进制

大一freshman，如发现错误之处望指出，感谢！

[https_blog.csdn.net_charles_neil_article_details_59125861]: https://blog.csdn.net/charles_neil/article/details/59125861
[IEEE 754]: https://en.wikipedia.org/wiki/IEEE_754-1985
[float]: /images/20210527/f20da7716ee84cb285f6649d076a5d76.png
[double]: /images/20210527/bf58ed8920b94b3fa4936d5c4dafe60d.png