matlab-非线性方程求根函数及函数曲线绘制

今天药忘吃喽~ 2021-07-16 18:18 643阅读 0赞

Matlab中提供了许多求解非线性方程（*y*=*f*(*x*)）的函数，刚开始使用，真的非常困惑，所有，这里根据matlab的help文档对这些函数做一些小小的总结

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# fsolve函数 #

用来求解**非线性方程组**：*F*(*x*)=**0**；其中，*x*是一个向量或者矩阵，*F*(*x*)的返回值是一个vector，下面是具体用法（以x0为初始点，利用优化算法寻找函数fun(x)与y=0的交点，即fun(x) = 0的根）：

**局限性：只能求解距离给定初始值最近的那个根**

## 一个方程的情况 ##

*f**u**n*=*x*2\+*x*\+1

*  在新的m文件中，书写该fun的计算函数

function y = fun(x)
        y = x^2+x-6;
    end

*  求解根

> 初值为-1时：  
> `x = fsolve(@fun,-1)`  
> 结果为：result=-3  
> 初值为2时：  
> `x = fsolve(@fun,2)`  
> 结果为：result=2
> 
> 可以看到，当给定的初始值不同时，fsolve的返回值不同，这是因为，fsolve返回的是距离给定初始点较近的那个根（fsolve在计算时，由初始点开始，逐步向零点逼近，当找到零点值后，优化停止，所以，这样的方式只能返回距离给定初始值x0最近的那个零点）

*  options参数

> 这里在求解根的时候，所有的优化参数都是使用的默认值，但实际上，优化参数可以通过options进行设置，可以设置具体优化方法（Algorithm）、是否显示每步迭代的结果（Display）、最大迭代步数（MaxIter）等， 设置方法如下：  
> `options = optimoptions('','','')`  
> `x = fsolve(@fun,2,options )`

## 方程组（以包含两个方程的方程组为例） ##

*y*=\{  *y*1=*x*21\+*x*1−6=0*y*2=2*x*22\+*x*2−6=0

*  在新的m文件中，书写该fun的计算函数

function y = fun(x) y(1) = x(1)^2+x(1)-6; y(2) = 2*x(2)^2+x(2)-6; end

*  求解根

> 初值为\[-1,1\]时：  
> `x = fsolve(@fun,[-1,1])`  
> 结果为：result=\[-3,1\]  
>   
> 初值为\[2,-1\]时：  
> `x = fsolve(@fun,2)`  
> 结果为：result=\[2,-2\]  
>

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# fzero函数 #

用来求解**非线性方程**的根*f*(*x*)=0；该函数通过判断*f*(*x*)的符号是否发生变化来计算方程的根  
具体地，如果x0是方程的根，那么，该函数在点*x**0*\+Δ和*x**0*−Δ处的函数值符号一定相反，所以，该函数不能用来求解类似于*x**2*=0这样的方程

**局限性：只能求解距离给定初始值最近的那个根（与fsolve的局限性形同）**

下面给出一个例子：

*f**u**n*=*x*2\+*x*\+1

*  在新的m文件中，书写该fun的计算函数

function y = fun(x)
        y = x^2+x-6;
    end

*  求解根

> 初值为-1时：  
> `x = fzero(@fun,-1)`  
> 结果为：result=-3  
>   
> 初值为2时：  
> `x = fzero(@fun,2)`  
> 结果为：fzero=2  
>   
> 初值为区间\[-5,5\]时：  
> `x = fzero(@fun,[-2,5])`  
> 结果为：fzero=2  
> **注意：当给定fzero为初识区间时，要求fun函数在区间的两个端点的符号不同**  
>   
> 可以看到，利用该方法求得的结果与利用fsolve的结果相同，也是只能返回距离给定初始值较近的那个根

*  options参数

> 这里的options参数与fsolve的设置方法相同，例如：  
> `options = optimoptions('','','')`  
> `x = fzero(@fun,2,options )`

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# roots函数 #

该函数用来求解**多项式方程**的根，roots可以返回多项式函数的所有根，例如，计算如下多项式方程的根：

*f**u**n*=*x*3\+2

使用方法如下：  
`roots([1 0 0 2])`  
这里的\[1 0 0 -2\]分别是*x*3、*x*2、*x*1、*x*0的系数，结果为：  
\-1.2599 + 0.0000i  
0.6300 + 1.0911i  
0.6300 - 1.0911i

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# root函数 #

该函数用来求解**符号多项式方程**的根，root可以返回符号多项式函数的所有符号根，例如，计算如下多项式方程的根：

*f**u**n*=*x*3\+2

使用方法如下：

syms x
    p = x^3 + 2;
    result = root(p,x)
    % or result = root(x^3 + 2,x)

结果为：  
result =  
root(x^3 + 2, x, 1)  
root(x^3 + 2, x, 2)  
root(x^3 + 2, x, 3)

该结果是符号计算结果（即result是符号变量），如果只是需要该结果作为中间过程，那么直接将result带入其他计算过程即可，但如果需要该result的数值结果，那么可以使用vpa函数，具体地：  
`result_vpa = vpa(result)`  
结果如下：  
result\_vpa =  
\-1.2599210498948731647672106072782  
0.62996052494743658238360530363911 + 1.0911236359717214035600726141898i  
0.62996052494743658238360530363911 - 1.0911236359717214035600726141898i  
这三个数值就是多项式方程*f**u**n*=*x*3\+2=0的三个根  
可以看到，与roots的计算结果相同

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# 方程求解函数小结 #

fsolve：计算非线性方程组的某个根（距离初始值较近的）  
fzero：计算非线性方程的某个根（距离初始值较近那个）  
roots:计算多项式方程的所有根  
root：计算符号多项式方程的所有根

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# Matlab的函数曲线绘制 #

## ezplot函数 ##

绘制函数曲线explot(fun)  
默认的显示区间是\[-2pi, 2pi\]  
实际中，可以设置显示区间，利用explot(fun,\[xmin,xmax\])

*  绘制’显示函数’曲线(*y*=*x*2)  
    eg1： `figure;explot('x^2')`  
    结果如下：  
    ![显示函数的绘制][9b0b.png]  
    可以看到，由于没有指定曲线的x取值范围，所以是默认值\[-6.28,6.28\]  
    eg2： `figure;explot('x^2',[-1,1])`  
    结果如下：  
    ![显示函数的绘制][d478.png]  
    可以看到，由于设定了区间\[-1,1\]，所以x轴只在区间\[-1,1\]内显示
 *  绘制’显示函数’曲线(*x*2−*y*=0)  
    eg1： `figure;explot('x^2-y')`  
    结果如下：  
    ![显示函数的绘制][e359.png]  
    可以看到，由于没有指定曲线的x取值范围，所以是x、y轴的默认值都是\[-6.28,6.28\]、\[-6.28,6.28\]  
    eg2： `figure;explot('x^2',[-1,1,-1,1])`  
    结果如下：  
    ![显示函数的绘制][4a82.png]  
    可以看到，由于设定了区间\[-1,1,-1,1\]，所以x轴、y轴在区间\[-1,1,-1,1\]内显示
 *  利用函数句柄  
    首先，定义函数句柄  
    `fh = @(x,y) x.^2 + y.^3 - 2*y - 1;`  
    然后利用ezplot绘制该函数  
    `ezplot(fh)`  
    `axis equal`  
    实验结果如下：  
    ![显示函数的绘制][f48b.png]  
    加入区间限制后  
    `ezplot(fh[-10,10,-10,10])`  
    `axis equal`  
    实验结果如下：  
    ![显示函数的绘制][943c.png]  
    可以看到，只显示了区间\[-10,10,-10,10\]的图像

[9b0b.png]: /images/20210716/6e8fff76cee14476a46688874594e5f3.png
[d478.png]: /images/20210716/687711502580438eb2b601bf02612f31.png
[e359.png]: /images/20210716/5c7bcc4949ac4052831cec8e2f02933f.png
[4a82.png]: /images/20210716/d78ab46357b640239ba69ceeecee29e1.png
[f48b.png]: /images/20210716/93a2d5e1d4a14fe4b588321d0d93b8e6.png
[943c.png]: /images/20210716/a476d9c76ca74829a449518920b805eb.png