为什么会出现补码，计算机使用补码的原因

Myth丶恋晨 2021-06-22 15:36 494阅读 0赞

现在我们知道计算机可以有三种编码方式表示一个数. 对于正数因为三种编码方式的结果都相同:

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补

所以不需要过多解释. 但是对于负数:

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

可见原码, 反码和补码是完全不同的. 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式, 为何还会有反码和补码呢?

首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头). 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单. 计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了.

于是人们开始探索 将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2

如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.

为了解决原码做减法的问题, 出现了反码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0

发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有\[0000 0000\]原和\[1000 0000\]原两个编码表示0.

于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:

1-1 = 1 + (-1) = \[0000 0001\]原 + \[1000 0001\]原 = \[0000 0001\]补 + \[1111 1111\]补 = \[0000 0000\]补=\[0000 0000\]原

这样0用\[0000 0000\]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用\[1000 0000\]表示-128:

(-1) + (-127) = \[1000 0001\]原 + \[1111 1111\]原 = \[1111 1111\]补 + \[1000 0001\]补 = \[1000 0000\]补

\-1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, \[1000 0000\]补 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示\[1000 0000\]补算出来的原码是\[0000 0000\]原, 这是不正确的)

使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为\[-127, +127\], 而使用补码表示的范围为\[-128, 127\].

因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: \[-231, 231-1\] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.