离散数学-数理逻辑-命题逻辑的基本概念（1）

比眉伴天荒 2024-03-31 15:50 48阅读 0赞

#### 命题逻辑的基本概念 ####

*   *   *  一、命题的相关概念
         *  二、命题符号化
         *  三、命题公式及其赋值

#### 一、命题的相关概念 ####

1.命题：具有**非真即假**的**陈述句**称为命题。而命题根据真假可以分为“**真命题**” 和“**假命题**”，分别用“T”（1）和“F”（0）表示。  
2.命题的分类：根据能否分解为更简单命题的命题来分。

*  原子（简单）命题：不能再分解为更简单命题的命题。
 *  复合命题：可以分解的命题。

例题：下述各语句是否是命题?如果是命题, 是简单命题还是复合命  
题?是真命题还是假命题?

(1) 15 是素数.                         是命题；简单命题；假命题   
    (2) 10 能被 2 和 5 整除.               是命题；复合命题；真命题
    (3) 你现在有空吗?                      不是命题
    (4) 2x+3＞0.                          不是命题
    (5) 这个男孩真勇敢呀!                  不是命题
    (6) 或者 2+2=6，或者 5 是奇数.         是命题；复合命题；真命题
    (7) 明年 5 月 1 日是晴天.              是命题；简单命题；不知道

#### 二、命题符号化 ####

*  1.确定给定句子是否为命题
 *  2.列出原子命题
 *  3.句子中连词是否为命题联结词
 *  4.根据命题含义，正确表示原子和适当选择命题联结词

⧫ \\blacklozenge ⧫ 设p是命题，“非p”称为p的否定式，记作¬p，称符号为¬为**否定联结词**。并规定，¬p为真当且仅当p为假。  
 ⧫ \\blacklozenge ⧫ 设p，q都是命题，复合命题“p并且q”称为p与q的合取式，记作 p∧q，称符号∧为**合取联结词**。并规定，p∧q为真当且仅当p与q同时为真。  
合取联结词：“即…又…”,“不但…而且…”,“虽然…但是…”,"一面…一面…"都表示两件事同时发生。不要看见“与”“和”就用合取。  
**例题：**  
（1）吴颖即用功又聪明。 p ∧ \\land ∧q  
（2）吴颖不仅用功而且聪明。 p ∧ \\land ∧q  
（3）吴颖虽然聪明，但不用功。 p ∧ ┓ \\land^┓ ∧┓q  
（4）张辉和王丽都是三好学生。 p ∧ \\land ∧q

⧫ \\blacklozenge ⧫设p，q都是命题，复合命题“p或者q”称为p与q的析取式，记作 p∨q，称符号∨为**析取联结词**。并规定，p∨q为真当且仅当p与q中至少有一个为真。分为**相容或**（两个命题同时为真）和**排斥或**（一个命题为真，一个命题为假）。  
析取联结词：“或”，“有且仅有一个”  
**例题：**  
（1）张晓静爱唱歌或爱听音乐。 p ∨ \\lor ∨q ，相容或（两个都可选）  
（2）张晓静只能（有且能）挑选202或203房间。 (p ∧ ┓ \\land^┓ ∧┓q) ∨ \\lor ∨( ┓ p ∧ ^┓p\\land ┓p∧q), 排斥或（仅能选一个）  
（3）张晓静是江西人或安徽人。 (p ∧ ┓ \\land^┓ ∧┓q) ∨ \\lor ∨( ┓ p ∧ ^┓p\\land ┓p∧q),排斥或（仅能选一个）

⧫ \\blacklozenge ⧫设p，q都是命题，复合命题“如果p，那么q”称为p与q的蕴含式，记作p→q，其中p称为前件，q称为其后件，称符号→为**蕴含联结词**。并规定，p→q为假当且仅当p为真且q为假。  
蕴含联结词：“如果…则…”，“只要…则…”,“除非…才…”,“只有…才…”。  
**例题**  
（1）如果3+3=6，则雪是白色的。 p→q  
（2）只要能被4整除，则a一定能被2整除。  
（3）a能被4整除，仅当a能被2整除。  
（4）除非a能被2整除，a才能被4整除。  
（5）只有a能被2整除，否则a不能被4整除。  
（6）只有a能被2整除，a才能被4整除。  
（7）只有a能被4整除，a才能被2整除。  
(2)~(7)令r：a能被4整除；s:a能被2整除。  
（2）~（6）r→s;(8)s→r。

总结：”若“在前”就“在后；”只要“在前”就“在后；”除非“在后”才”在前；”除非“在后”否则“在前。

⧫ \\blacklozenge ⧫设p，q都是命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作p↔q，称符号↔为**等价联结词**。并规定，p↔q为真当且仅当p，q同真假。  
等价联结词：“当且仅当”。  
**例题：**  
（1）当小红心情愉悦时，她就唱歌；反之亦然。p ↔ \\leftrightarrow ↔q

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#### 三、命题公式及其赋值 ####

简单命题(原子命题)和复合命题以及它们的符号化形式简单命题是命题逻辑中最基本的研究单位,其真值是确定的,又称作**命题常项或命题常元**。真值可变的陈述句为**命题变项或命题变元**。  
将命题变项用联结词和圆括号按一定的逻辑关系联结起来的符号串称为合式公式,当使用联结词集\{┓,A,V,→,<->\}。  
定义1.6 (1)单个命题变项和命题常项是合式公式,并称为原子命题公式。

1.  若A是合式公式,则(┓A)是合式公式
2.  若A,B是合式公式,则(A∧B),(AVB),(A→B),(A<->B)是合式公式
3.  有限次地应用(1)~(3)形成的符号串是合式公式  
    合式公式也称为**命题公式或命题形式**,简称为**公式.**

下面给出**公式层次**的定义：  
定义1.7(1)若公式A是单个的命题变项,则称A为0层公式  
称是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一：

*  A= ┓ ^┓ ┓B,B是n层公式
 *  A=B ∧ \\land ∧C,其中B,C分别为i层和j层公式,且n=max(i,j)
 *  A=B ∨ \\lor ∨C,其中B,C的层次及n同(b)
 *  A=B→C,其中B,C的层次及n同(b)
 *  A=B ↔ \\leftrightarrow ↔C,其中B,C的层次及n同(b)  
    若公式A的层次为k.则称A是k层公式  
    例如,(┓p∧q)→r,((p→┓q))∧((rVs) ↔ \\leftrightarrow ↔┓p)分别为3层和4层公式

**解释**：在命题公式中.由于有命题变项的出现,因而真值是不确定的,用命题常项替换公式中的命题变项称作**解释**.当将公式中出现的全部命题变项都解释成具体的命题常项之后,公式就成了真值确定的命题。（将符号化的变成命题）

**命题的赋值**：设p1,P2,…,Pn是出现在公式A中的全部命题变项,给p1,P2,…,Pn各指定一个真值,称为对A的一个赋值或解释.若指定的一组值使A为1,则称这组值为A的**成真赋值**;若使A为0,则称这组值为A的**成假赋值**。

**真值表**：将命题公式A在所有赋值下取值情况（枚举法）列成表,称作A的真值表。

**重言式（Tautology ）** 又称为永真式：如果一个公式，对于它的任一解释下其真值都为真，就称为重言式（永真式）。  
**矛盾式(contradictory formula)** 又称永假式、不可满足公式：如果对任意一个赋值V，都有V\[A\]=0，即公式A对任一赋值均取“假”值，则公式A为矛盾式。  
**可满足式（satisfiable）**：对于命题公式A，若A不是矛盾式，则称A是可满足式。（至少有一个是真的）。

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