机器学习EM算法

╰+哭是因爲堅強的太久メ 2024-04-03 12:56 56阅读 0赞

#### 目录 ####

*  1 初识EM算法
 *  2 EM算法介绍
 *   *  2.1 极大似然估计
     *   *  2.1.1 问题描述
         *  2.1.2 用数学知识解决现实问题
         *  2.1.3 最大似然函数估计值的求解步骤
     *  2.2 EM算法实例描述
     *  2.3 EM算法流程
 *  3 EM算法实例
 *   *  3.1 一个超级简单的案例
     *  3.2 加入隐变量z后的求解
     *   *  3.2.1 EM初级版
         *  3.2.2 EM进阶版

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## 1 初识EM算法 ##

EM算法也称期望最大化（Expectation-Maximum,简称EM）算法。

\*\*它是一个基础算法，是很多机器学习领域算法的基础，\*\*比如隐式马尔科夫算法（HMM）等等。

EM算法是一种迭代优化策略，由于它的计算方法中每一次迭代都分两步，

*  **其中一个为期望步（E步），**
 *  **另一个为极大步（M步），**

所以算法被称为EM算法（Expectation-Maximization Algorithm）。

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EM算法受到缺失思想影响，**最初是为了解决数据缺失情况下的参数估计问题**，其算法基础和收敛有效性等问题在Dempster、Laird和Rubin三人于1977年所做的文章《Maximum likelihood from incomplete data via the EM algorithm》中给出了详细的阐述。其基本思想是：

*  首先**根据己经给出的观测数据，估计出模型参数的值**；
 *  然后**再依据上一步估计出的参数值估计缺失数据的值**，再根据估计出的缺失数据加上之前己经观测到的数据**重新再对参数值进行估计**；
 *  然后反复迭代，直至最后收敛，迭代结束。

**EM算法计算流程：**

![image-20191209171743726][]

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**小结**

*  EM算法是一种迭代优化策略，由于它的计算方法中每一次迭代都分两步：
    
     *  **其中一个为期望步（E步）**
     *  **另一个为极大步（M步）**

## 2 EM算法介绍 ##

想清晰的了解EM算法，我们需要知道一个基础知识：

*  “极大似然估计”

### 2.1 极大似然估计 ###

#### 2.1.1 问题描述 ####

假如我们需要调查学校的男生和女生的身高分布 ，我们抽取100个男生和100个女生，将他们按照性别划分为两组。

然后，统计抽样得到100个男生的身高数据和100个女生的身高数据。

如果我们知道他们的身高服从正态分布，但**是这个分布的均值μ 和方差δ2 是不知道，这两个参数就是我们需要估计的。**

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问题：我们知道样本所服从的概率分布模型和一些样本，我们需要求解该模型的参数.

![image-20191209172747863][]

*  我们已知的条件有两个：
    
     *  样本服从的分布模型
     *  随机抽取的样本。
 *  我们需要求解模型的参数。

根据已知条件，通过极大似然估计，求出未知参数。

**总的来说：极大似然估计就是用来估计模型参数的统计学方法。**

#### 2.1.2 用数学知识解决现实问题 ####

问题数学化：

*  样本集![image-20200607211803267][] 。
 *  概率密度是：\[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-Slsbv38b-1665845707351)(https://www.zhihu.com/equation?tex=p(x\_\{i\}|\\theta)\]) 抽到第i个男生身高的概率。
 *  由于**100个样本之间独立同分布**，所以同时抽到这100个男生的概率是它们各自概率的乘积，也就是样本集X中各个样本的联合概率，用下式表示：

![image-20191209173210213][]

*  这个概率反映了在概率密度函数的参数是θ时，得到X这组样本的概率。
 *  我们需要找到一个参数θ，使得抽到X这组样本的概率最大，也就是说需要其对应的似然函数L(θ)最大。
    
     *  满足条件的θ叫做θ的最大似然估计值，记为：![image-20191209173320678][]

#### 2.1.3 最大似然函数估计值的求解步骤 ####

*  首先，写出似然函数：![image-20191209173513758][]
 *  其次，对似然函数取对数：![image-20191209173548584][]
 *  然后，对上式求导，令导数为0，得到似然方程。
 *  最后，解似然方程，得到的参数值即为所求。

多数情况下，我们是根据已知条件来推算结果，而极大似然估计是已知结果，寻求使该结果出现的可能性最大的条件，以此作为估计值。

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链接：极大似然函数取对数的原因

### 2.2 EM算法实例描述 ###

我们目前有100个男生和100个女生的身高，但是\*\*我们不知道这200个数据中哪个是男生的身高，哪个是女生的身高，\*\*即抽取得到的每个样本都不知道是从哪个分布中抽取的。

这个时候，对于每个样本，就有两个未知量需要估计：

（1）这个身高数据是来自于男生数据集合还是来自于女生？

（2）男生、女生身高数据集的正态分布的参数分别是多少？

**具体问题如下图：**

![image-20191209191437747][]

**对于具体的身高问题使用EM算法求解步骤如下：**

![image-20191209171743726][image-20191209171743726 1]

（1）\*\*初始化参数：\*\*先初始化男生身高的正态分布的参数：如均值=1.65，方差=0.15；

（2）\*\*计算分布：\*\*计算每一个人更可能属于男生分布或者女生分布；

（3）**重新估计参数**：通过分为男生的n个人来重新估计男生身高分布的参数（最大似然估计），女生分布也按照相同的方式估计出来，更新分布。

（4）这时候两个分布的概率也变了，**然后重复步骤（1）至（3），直到参数不发生变化为止**。

### 2.3 EM算法流程 ###

**输入：**

*  n个样本观察数据 \[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-ch7QUh63-1665845707353)(https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3D(x\_\{1\}%2Cx\_\{2\}%2C…x\_\{n\})\]) ，未观察到的隐含数据 \[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-bexdwlGD-1665845707354)(https://www.zhihu.com/equation?tex=z%3D(z\_\{1\}%2Cz\_\{2\}%2C…%2Cz\_\{n\})\]) ，
 *  联合分布 \[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-IVPi0Sk0-1665845707354)(https://www.zhihu.com/equation?tex=p(x%2Cz%3B\\theta)\]) ，条件分布 \[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-6njQbdgz-1665845707355)(https://www.zhihu.com/equation?tex=p(z|x%2C\\theta)\]) ，最大迭代次数 J。

**算法步骤：**

1）随机初始化模型参数θ的初值 \[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-8jTLIQcS-1665845707356)(https://www.zhihu.com/equation?tex=\\theta\_\{0\})\] 。

2）j=1,2,…,J 开始EM算法迭代：

*  **E步：计算联合分布的条件概率期望：**

![image-20200205170052944][]

*  **M步：极大化 \[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-zx1ixuDy-1665845707357)(https://www.zhihu.com/equation?tex=l(\\theta%2C\\theta\_\{j\})\]) ,得到 \[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-H1qXEms1-1665845707358)(https://www.zhihu.com/equation?tex=\\theta\_\{j%2B1\})\] :**

![image-20200205170259213][]

*  **如果\[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-sbY16Qiv-1665845707360)(https://www.zhihu.com/equation?tex=\\theta\_\{j%2B1\})\] 已经收敛，则算法结束。否则继续进行E步和M步进行迭代。**

\*\*输出：\*\*模型参数θ。

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小结

*  极大似然估计
    
     *  根据已知条件，通过极大似然估计，求出未知参数；
     *  极大似然估计就是用来估计模型参数的统计学方法。
 *  EM算法基本流程
    
     *  1） 初始化参数；
     *  2） 计算分布；
     *  3） 重新估计参数；
     *  4） 重复1-3步，直到参数不发生变化为止。

## 3 EM算法实例 ##

### 3.1 一个超级简单的案例 ###

假设现在有两枚硬币1和2，,随机抛掷后正面朝上概率分别为P1，P2。为了估计这两个概率，做实验，每次取一枚硬币，连掷5下，记录下结果，如下：

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th align="center">硬币</th> 
   <th align="center">结果</th> 
   <th align="center">统计</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td align="center">1</td> 
   <td align="center">正正反正反</td> 
   <td align="center">3正-2反</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td align="center">2</td> 
   <td align="center">反反正正反</td> 
   <td align="center">2正-3反</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td align="center">1</td> 
   <td align="center">正反反反反</td> 
   <td align="center">1正-4反</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td align="center">2</td> 
   <td align="center">正反反正正</td> 
   <td align="center">3正-2反</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td align="center">1</td> 
   <td align="center">反正正反反</td> 
   <td align="center">2正-3反</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

可以很容易地估计出P1和P2，如下：

P1 = （3+1+2）/ 15 = 0.4 P2= （2+3）/10 = 0.5

到这里，一切似乎很美好，下面我们加大难度。

### 3.2 加入隐变量z后的求解 ###

还是上面的问题，现在我们抹去每轮投掷时使用的硬币标记，如下：

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th align="center">硬币</th> 
   <th align="center">结果</th> 
   <th align="center">统计</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td align="center">Unknown</td> 
   <td align="center">正正反正反</td> 
   <td align="center">3正-2反</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td align="center">Unknown</td> 
   <td align="center">反反正正反</td> 
   <td align="center">2正-3反</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td align="center">Unknown</td> 
   <td align="center">正反反反反</td> 
   <td align="center">1正-4反</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td align="center">Unknown</td> 
   <td align="center">正反反正正</td> 
   <td align="center">3正-2反</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td align="center">Unknown</td> 
   <td align="center">反正正反反</td> 
   <td align="center">2正-3反</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

好了，**现在我们的目标没变，还是估计P1和P2，要怎么做呢？**

显然，此时我们多了一个隐变量z，可以把它认为是一个5维的向量（z1,z2,z3,z4,z5)，代表每次投掷时所使用的硬币，比如z1，就代表第一轮投掷时使用的硬币是1还是2。但是，这个变量z不知道，就无法去估计P1和P2，所以，我们必须先估计出z，然后才能进一步估计P1和P2。

但要估计 z，我们又得知道P1和P2，这样我们才能用最大似然概率法则去估计z，这不是鸡生蛋和蛋生鸡的问题吗，如何破？

答案就是先随机初始化一个P1和P2，用它来估计z，然后基于z，还是按照最大似然概率法则去估计新的P1和P2，如果新的P1和P2和我们初始化的P1和P2一样，请问这说明了什么？（此处思考1分钟）

这说明我们初始化的P1和P2是一个相当靠谱的估计！

就是说，我们初始化的P1和P2，按照最大似然概率就可以估计出z，然后基于z，按照最大似然概率可以反过来估计出P1和P2，当与我们初始化的P1和P2一样时，说明是P1和P2很有可能就是真实的值。这里面包含了两个交互的最大似然估计。

如果新估计出来的P1和P2和我们初始化的值差别很大，怎么办呢？就是继续用新的P1和P2迭代，直至收敛。

这就是下面的EM初级版。

#### 3.2.1 EM初级版 ####

我们不妨这样，先随便给P1和P2赋一个值，比如：

*  P1 = 0.2
 *  P2 = 0.7

然后，我们看看第一轮抛掷最可能是哪个硬币。

*  如果是硬币1，得出3正2反的概率为: 0.2*0.2*0.2*0.8*0.8 = 0.00512
 *  如果是硬币2，得出3正2反的概率为: 0.7*0.7*0.7*0.3*0.3=0.03087

然后依次求出其他4轮中的相应概率。做成表格如下：

按照最大似然法则：

*  第1轮中最有可能的是**硬币2**
 *  第2轮中最有可能的是**硬币1**
 *  第3轮中最有可能的是**硬币1**
 *  第4轮中最有可能的是**硬币2**
 *  第5轮中最有可能的是**硬币1**

我们就把上面的值作为z的估计值。然后按照最大似然概率法则来估计新的P1和P2。

*  P1 =（2 + 1 + 2）/ 15 = 0.33
 *  P2=（3 + 3）/ 10 = 0.6

设想我们是全知的神，知道每轮抛掷时的硬币就是如本文第001部分标示的那样，那么，P1和P2的最大似然估计就是0.4和0.5（下文中将这两个值称为P1和P2的真实值）。那么对比下我们初始化的P1和P2和新估计出的P1和P2：

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th align="center">初始化的P1</th> 
   <th align="center">估计出的P1</th> 
   <th align="center">真实的P1</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td align="center">0.2</td> 
   <td align="center">0.33</td> 
   <td align="center">0.4</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td align="center"><strong>初始化的P2</strong></td> 
   <td align="center"><strong>估计出的P2</strong></td> 
   <td align="center"><strong>真实的P2</strong></td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td align="center">0.7</td> 
   <td align="center">0.6</td> 
   <td align="center">0.5</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

看到没？我们估计的P1和P2相比于它们的初始值，更接近它们的真实值了！

可以期待，我们继续按照上面的思路，用估计出的P1和P2再来估计z，再用z来估计新的P1和P2，反复迭代下去，就可以最终得到P1 = 0.4，P2=0.5，此时无论怎样迭代，P1和P2的值都会保持0.4和0.5不变，于是乎，我们就找到了P1和P2的最大似然估计。

这里有两个问题：

*  1、新估计出的P1和P2一定会更接近真实的P1和P2？
    
     *  答案是：没错，一定会更接近真实的P1和P2，数学可以证明，但这超出了本文的主题，请参阅其他书籍或文章。
 *  2、迭代一定会收敛到真实的P1和P2吗？
    
     *  答案是：不一定，取决于P1和P2的初始化值，上面我们之所以能收敛到P1和P2，是因为我们幸运地找到了好的初始化值。

#### 3.2.2 EM进阶版 ####

下面，我们思考下，上面的方法还有没有改进的余地？

我们是用最大似然概率法则估计出的z值，然后再用z值按照最大似然概率法则估计新的P1和P2。也就是说，我们使用了一个最可能的z值，而不是所有可能的z值。

如果考虑所有可能的z值，对每一个z值都估计出一个新的P1和P2，将每一个z值概率大小作为权重，将所有新的P1和P2分别加权相加，这样的P1和P2应该会更好一些。

所有的z值有多少个呢？

*  显然，有 25=32 种，需要我们进行32次估值？？

不需要，我们可以用期望来简化运算。

利用上面这个表，我们可以算出每轮抛掷中使用硬币1或者使用硬币2的概率。

比如第1轮，使用硬币1的概率是：

*  0.00512/(0.00512+0.03087)=0.140.00512/(0.00512+0.03087)=0.14

使用硬币2的概率是1-0.14=0.86

依次可以算出其他4轮的概率，如下：

上表中的右两列表示期望值。看第一行，0.86表示，从期望的角度看，\*\*这轮抛掷使用硬币2的概率是0.86。相比于前面的方法，我们按照最大似然概率，直接将第1轮估计为用的硬币2，此时的我们更加谨慎，我们只说，有0.14的概率是硬币1，有0.86的概率是硬币2，不再是非此即彼。\*\*这样我们在估计P1或者P2时，就可以用上全部的数据，而不是部分的数据，显然这样会更好一些。

这一步，我们实际上是估计出了z的概率分布，这步被称作E步。

结合下表：

我们按照期望最大似然概率的法则来估计新的P1和P2：

以P1估计为例，第1轮的3正2反相当于

*  0.14\*3=0.42正
 *  0.14\*2=0.28反

依次算出其他四轮，列表如下：

P1=4.22/(4.22+7.98)=0.35

可以看到，改变了z值的估计方法后，新估计出的P1要更加接近0.4。原因就是我们使用了所有抛掷的数据，而不是之前只使用了部分的数据。

这步中，我们根据E步中求出的z的概率分布，依据最大似然概率法则去估计P1和P2，被称作M步。

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**小结**

*  EM算法的实现思路：
    
     *  首先**根据己经给出的观测数据，估计出模型参数的值**；
     *  然后**再依据上一步估计出的参数值估计缺失数据的值**，再根据估计出的缺失数据加上之前己经观测到的数据**重新再对参数值进行估计**；
     *  然后反复迭代，直至最后收敛，迭代结束。

[image-20191209171743726]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/03/af83abcd57bb455c87c7668e34f53096.jpeg
[image-20191209172747863]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/03/3e3b6ec71e6144a38113d363928fa8da.jpeg
[image-20200607211803267]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/03/f1bebc781fae42b5ae6cce542dae41b0.jpeg
[image-20191209173210213]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/03/96835074a76f46a88233287b61dd09ae.jpeg
[image-20191209173320678]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/03/cd5ea8837f7344209b475b560d6c16d4.jpeg
[image-20191209173513758]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/03/632c9f734bb846428468640c8f70690e.jpeg
[image-20191209173548584]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/03/3543e220b22142cb8fc2d4d9aa14afba.jpeg
[image-20191209191437747]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/03/b2b8f5e5bc1a4c77a655911cbe1e7c15.jpeg
[image-20191209171743726 1]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/03/8b955acf7e3a44ec86e9bb7edd361bc0.jpeg
[image-20200205170052944]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/03/88e79d7b422341a89257fcdbe2b4ed93.jpeg
[image-20200205170259213]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/03/197890a2393a4441a39ed01f9e5f042f.jpeg