《机器学习实战》--PCA降维以及代码实现

傷城~ 2024-05-24 02:15 7阅读 0赞

### 1、PCA ###

在机器学习的领域中，我们需要提取原始数据的特征，得到的特征向量有时是高维数据，并且高维数据中存在噪声和冗余。降维是从高维数据中找出一些重要的特征，去除冗余和噪声，寻找出其内部的特性，提升其特征表达能力，降低训练复杂度。

主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）作为降维算法中最经典和常用的方法，它是一种线性、非监督、全局的降维算法。在PCA中，数据从原来的坐标系转换到新的坐标系，新的坐标系的选择是由数据本身决定的。

第一个坐标系的选择是数据中方差最大的方向，第二个新坐标系和第一个坐标系正交且具有最大方差的方向。一直重复，重复次数为原始数据中特征的数目。大部分方差都包含在最前面的几个新的坐标系中，可以忽略余下的坐标轴，从而对数据进行了降维的处理。  
PCA的目标是最大化投影方差，即让数据在主轴上的投影方差最大。

*  优点：降低数据的复杂度，识别最重要的多个特征。
 *  缺点：不一定需要，可能损失有用的信息。
 *  适用数据类型：数值型数据。

### 2、Numpy实现PCA ###

伪码如下：  
去除平均值（中心化）：

*  求平均值
 *  原始数据-平均值

计算协方差矩阵  
计算协方差矩阵的特征值和特征向量  
将特征值从小到大排序  
保留最上面的N个特征向量

*  数据投影后的方差就是协方差矩阵的特征值，要找到最大的方差也就是协方差矩阵中最大的特征值，最佳投影方向就是最大特征值所对应的的特征向量（线性代数证明）。

将数据转换到上述N个特征向量构建的新空间中

数据链接：[https://pan.baidu.com/s/1jRtWIn3vy7mNX4OisKTvbA ][https_pan.baidu.com_s_1jRtWIn3vy7mNX4OisKTvbA]提取码：2l9i  
代码如下：

import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    import os
    
    class PCA(object):
        def __init__(self):
            print("使用Numpy实现PCA算法")
        def load_dataset(self,file_name,delim='\t'):
            '''
            加载数据集
            Args:
                file_name:文件名
                delim:
    
            Returns:
                data_mat:数据矩阵
            '''
            with open(file_name) as f:
                data = f.readlines()
            string_arr = [line.strip().split(delim) for line in data]
            dat_arr = [list(map(float,line)) for line in string_arr]
            return np.mat(dat_arr)
        def pca(self,data_mat,top_N_feat=9999999):
            '''
            PCA算法
            Args:
                data_mat:数据矩阵
                top_N_feat:最大特征向量,即应用的N个特征，如果不指定top_N_feat,
                            那么函数会返回前9999999个特征，或原始数据中全部的特征。
    
            Returns:
                low_DDate_mat:降维后的数据集
                recon_mat:新的数据空间
            '''
            mean_val = np.mean(data_mat) # 计算平均值
            mean_removed = data_mat - mean_val
            cov_mat = np.cov(mean_removed,rowvar=0) # 计算协方差矩阵
            eig_vals,eig_vects = np.linalg.eig(np.mat(cov_mat)) # 计算特征值和特征向量
            eig_val_Ind = np.argsort(eig_vals) # 特征值从小到大排序
            eig_val_Ind = eig_val_Ind[:-(top_N_feat+1):-1] # 从step=-1,即右边的第一个元素到第top_N_feat
            red_eig_vects = eig_vects[:,eig_val_Ind]
            low_DData_mat = mean_removed * red_eig_vects
            recon_mat = (low_DData_mat * red_eig_vects.T) + mean_val
            return low_DData_mat,recon_mat
        def plot(self,data_mat,recon_mat):
            fig = plt.figure()
            ax = fig.add_subplot(111)
            ax.scatter(data_mat[:,0].flatten().A[0],data_mat[:,1].flatten().A[0],
                       marker='^',s = 90)
            ax.scatter(recon_mat[:,0].flatten().A[0],recon_mat[:,1].flatten().A[0],
                       marker='o',s=50,c='red')
            plt.show()
    if __name__ == '__main__':
        data_root = os.path.join(os.path.dirname(os.getcwd()),'data')
        pca = PCA()
    
        data_mat = pca.load_dataset(os.path.join(data_root,'testSet.txt'))
        print(data_mat)
        low_D_mat,recon_mat = pca.pca(data_mat,1)
        pca.plot(data_mat,recon_mat)
        # 不剔除特征
        low_D_mat,recon_mat = pca.pca(data_mat,2)
        pca.plot(data_mat,recon_mat)

结果如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2JhaWR1XzMzMjU2MTc0_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2JhaWR1XzMzMjU2MTc0_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
参考书籍：《**百面机器学习**》《**机器学习实战**》

由于作者水平有限，文中若有不正确的地方，欢迎大家指出，若有任何问题，请在下方讨论。

[https_pan.baidu.com_s_1jRtWIn3vy7mNX4OisKTvbA]: https://pan.baidu.com/s/1jRtWIn3vy7mNX4OisKTvbA
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