Warshall算法

你的名字 2024-04-26 11:08 25阅读 0赞

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#### 文章目录 ####

*  前言
 *  什么是传递闭包？
 *  Warshall算法的原理
 *  完整伪代码：
 *  总结：

## 前言 ##

Warshall算法是一种经典的**图论算法**，用于计算给定有向图的传递闭包。在本文中，我们将详细介绍Warshall算法，并通过图例来演示算法的执行过程。

## 什么是传递闭包？ ##

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在离散数学中，如果存在一个有向图中的节点u可以**直接和间接到达另一个节点v**，则称u可以到达v。如果对于图中的所有节点对(u,v)，都存在一条从u到v的有向路径，则称该图是传递的。传递闭包则表示所有可达性的集合。

## Warshall算法的原理 ##

在我们写程序**计算传递闭包**时通常会这样写：  
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  这样的时间复杂度为**O(n^4)**,为了简化该算法的复杂度，**Warshall算法使用动态规划的思想**，通过多次迭代，计算有向图的传递闭包。  
**具体算法：**

*  初始化可达矩阵。将可达矩阵的值初始化为邻接矩阵的值。
 *  逐步构建可达矩阵。对于每一对顶点i和j，如果存在一条从i到j的路径或者存在一条从i到k的路径和一条从k到j的路径，那么我们就可以说顶点i可达顶点j。

因此，我们可以使用以下公式来逐步构建可达矩阵。

T[i][j]=T[i][j]||(T[i][k]&&T[k][j];

其中，reach\[i\]\[j\]表示从顶点i是否可达顶点j，k是一个介于1和n之间的中间顶点。

最终可达矩阵即为该图的传递闭包。

## 完整伪代码： ##

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## 总结： ##

其实简单的说，传递闭包就是让“间接到达”变成直接到达。所以我们通过k遍历了所有的间接情况，通过∪和∩得到了最后的矩阵。

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