【微积分易错点总结】函数、极限和连续

以你之姓@ 2024-04-26 11:06 59阅读 0赞

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## 前言： ##

今天开始总结微积分易错知识！

## 一、函数： ##

### 1.1反函数： ###

反函数存在的充要条件是函数f(x)在值域上一一对应，所以如果一个函数f(x)单调且连续，它一定有反函数

### 1.2初等函数： ###

基本初等函数**有限次**\+ -\* / 和**有限次**函数的**复合**运算所得到的函数

## 二、极限： ##

### 2.1极限存在的条件： ###

f(x)在x趋于x0时的极值存在的充要条件是 左右极限存在且相等。所以要求某点极限一定要先看是否存在！

### 2.2极限的运算法则： ###

*  只能运算有限项
 *  limf(x)和limg(x)**都存在极值**时才能通过极值的+ - \* / 乘与常数和常数方来简化运算。比如算limx\*1/x在x趋于0时的极限。1/x无极限，所以不能这样运算。

### 2.3.等价无穷小代换的条件： ###

*  只适用于分式
 *  分子或分母是因子的乘积才能替换
 *  0/0型

#### 经典错误： ####

我们在x趋于0的分式函数中，看到分母或分子出现cosx都会直接当作1，**原因是等价替换**，**cosx~1**，**而不是分次求极限**！不要在其他题目里面弄错！

## 三、连续： ##

### 3.1连续的条件： ###

*  在该点有极限(左极限=有极限)
 *  在该点有定义
 *  极限与函数值相等

#### 闭区间内的连续： ####

如果函数在(a,b)内连续，并且在左端点右连续(函数在a有定义，且a点的右极限存在并且等于该点的函数值)，在右端点左连续，则称f(x)在闭区间\[a,b\]上是连续的

### 3.2连续的运算法则： ###

#### **重点1：** ####

**初等函数在其定义区间都是连续的！**  
所以只要满足：

1.  趋于的值在函数中有定义
2.  函数是初等函数

**我们就可以直接将趋于的值代入函数计算！**

#### 重点2： ####

**内函数存在极限，外函数在该极限连续，则极限号可以和函数符号换位置！**  
**即：**  
**limf\[g(x)\]=f\[limg(x)\]**

## 本章重点证明公式： ##

### 1.和差化积： ###

sinx1-sinx2=2*cos[(x1+x2)/2]*sin[(x1-x2)/2]

### 2.重要不等式： ###

[x]<=x<[x]+1

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