【algorithm】算法基础课---二分查找算法（附笔记 | 建议收藏）

偏执的太偏执、 2024-04-24 23:20 4阅读 0赞

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#### 文章目录 ####

*  前言
 *  一、二分查找的思想
 *  二、二分查找的模板
 *   *  1.寻找⼀个数（基本的⼆分搜索）
     *  2.边界问题
     *  3.寻找左侧边界的⼆分搜索
     *  4.寻找右侧边界的⼆分查找
 *  三、经典题目集
 *   *  总结

--------------------

## 前言 ##

![在这里插入图片描述][f4e0159841ab450d861dde9e8fb5ba0d.gif_pic_center]  
`关于我写这篇博客的目的以及原因`

其实很早前我就写过博客关于二分法，但是我是不满意的或是我觉得不完美的，于是寒假我又花费三天时间又学了一次，今天就把我所学到的经验和知识输出出来，以供复习和学习。  
**声明：这里知识基于算法小抄与深入浅出的程序设计两本书+AcWing算法课（侵权删）**

--------------------

`提示：以下是本篇文章正文内容，下面案例可供参考`

## 一、二分查找的思想 ##

由于找一个数遍历的时间复杂度有些题目会超时，所以就需要一个更加优秀的算法—二分查找算法，其实二分算法可以将时间复杂度缩小到logN 想一想为什么？

那么废话不多说，下面就来讲二分查找的基本思想：  
我们开始定义两个变量，left，right分别指向数组的左端点和右端点（这里会出现`左闭右开以及都是闭区间的边界问题`，这个问题**下面单独会讲解**，大家不用着急）

利用数学上边的二分法就是一次检查一半，这样就可以一次去除一半的不符合要求的数据，大大加大了效率，**通过不断地迭代，进而二分出正确答案**。

## 二、二分查找的模板 ##

### 1.寻找⼀个数（基本的⼆分搜索） ###

> 这个场景是最简单的，肯能也是⼤家最熟悉的，即搜索⼀个数，如果存在，  
> 返回其索引，否则返回 -1。

![在这里插入图片描述][0b41a3f66f74494897311a040fa6fd49.png]  
这里再把二分模板的代码附上：  
**这里是一个左闭右开区间**

//数组 		//目标    //数组长度 
    int binarySearch(int* nums, int target, int size)
    {
        
    	//特殊情况，可以了解一下这里不计入模板 
    	//if(nums==NULL||size==0)
    	//	return -1;
    	
    	int left=0,right=size-1;
    	while(left<right)
    	{
        
    		int mid=left+(right-left)/2;//防止溢出
    		if(nums[mid]>=target) r=mid;
    		else l=mid+1;
    	}
    	if(nums[left]!=target) return -1;
    	else return left; 
    }

**这里是一个左右都闭的方法**

//数组 		//目标    //数组长度 
    int binarySearch(int* nums, int target, int size)
    {
        
    	//特殊情况，可以了解一下这里不计入模板 
    	//if(nums==NULL||size==0)
    	//return -1;
    	
    	int left=0,right=size-1;
    	while(left<=right)
    	{
        
    		if(nums[mid] == target)
    			return mid;
    		else if (nums[mid] < target)
    			left = mid + 1; // 注意
    		else if (nums[mid] > target)
    			right = mid - 1; // 注意
    	}
    	if(nums[left]!=target) return -1;
    	else return left; 
    }

### 2.边界问题 ###

**1、为什么 while 循环的条件中是 <=，⽽不是 <？**  
因为初始化 right 的赋值是 `size - 1` ，即最后⼀个元素的索  
引，⽽不是 `size` 。

这⼆者可能出现在不同功能的⼆分查找中，区别是：前者相当于两端都闭区  
间 \[left, right\] ，后者相当于左闭右开区间 \[left, right) ，因为索引⼤  
⼩为 size 是越界的。

我们这个算法中使⽤的是前者 \[left, right\] 两端都闭的区间。这个区间  
其实就是每次进⾏搜索的区间。

什么时候应该停⽌查找呢？当然，找到了⽬标值的时候可以终⽌：

if(nums[mid] == target)
    	return mid;

但如果没找到，就需要 while 循环终⽌，然后返回 -1。那 while 循环什么时  
候应该终⽌？**查找区间为空**的时候应该终⽌，意味着你没得找了，就等于没  
找到嘛。

while(left <= right) 的终⽌条件是 `left == right + 1` ，写成区间的形式  
就是 `[right + 1, right]` ，或者带个具体的数字进去 \[3, 2\] ，可⻅这时候  
区间为空，因为没有数字既⼤于等于 3 ⼜⼩于等于 2 的吧。所以这时候  
⼆分查找解题套路框架  
while 循环终⽌是正确的，直接返回 -1 即可。  
while(left < right) 的终⽌条件是 `left == right` ，写成区间的形式就是  
`[left, right]` ，或者带个具体的数字进去 \[2, 2\] ，这时候区间⾮空，还  
有⼀个数 2，但此时 while 循环终⽌了。也就是说这区间 \[2, 2\] 被漏掉  
了，索引 2 没有被搜索，如果这时候直接返回 -1 就是错误的。

当然，如果你⾮要⽤ `while(left < right) 也可以`，我们已经知道了出错的  
原因，**就打个补丁好了：**

//...
    while(left < right) {
        
    // ...
    }
    return nums[left] == target ? left : -1;

--------------------

**2、为什么 left = mid + 1 ， right = mid - 1 ？我看有的代码是 right =  
mid 或者 left = mid ，没有这些加加减减，到底怎么回事，怎么判断？**

这也是⼆分查找的⼀个难点，不过只要你能理解前⾯的内容，就能够很  
容易判断。

本算法的查找区间是两端都闭的，  
即 \[left, right\] 。那么当我们发现索引 mid 不是要找的 target 时，下  
⼀步应该去搜索哪⾥呢？

当然是去搜索 `[left, mid-1]` 或者 `[mid+1, right]` 对不对？**因为 mid 已  
经搜索过，应该从搜索区间中去除。**

**3、此算法有什么缺陷？**  
我想你应该已经掌握了该算法的所有细节，以及这样处理的原因。但  
是，这个算法存在局限性。  
⽐如说给你有序数组 `nums = [1,2,2,2,3]` ， target 为 2，此算法返回的索  
引是 2，没错。但是如果我想得到 target 的左侧边界，即索引 1，或者我  
想得到 target 的右侧边界，即索引 3，这样的话此算法是⽆法处理的。  
⼆分查找解题套路框架

这样的需求很常⻅，**你也许会说，找到⼀个 target，然后向左或向右线性搜  
索不⾏吗？可以，但是不好，因为这样难以保证⼆分查找对数级的复杂度  
了。**  
我们后续的算法就来讨论这两种⼆分查找的算法。

### 3.寻找左侧边界的⼆分搜索 ###

//数组 		//目标    //数组长度 
    int binarySearch(int* nums, int target, int size)
    {
        
    	//特殊情况，可以了解一下这里不计入模板 
    	//if(nums==NULL||size==0)
    	//	return -1;
    	
    	int left=0,right=size;//注意
    	while(left<right)
    	{
        
    		int mid=left+(right-left)/2;//防止溢出
    		if(nums[mid]>=target) r=mid;
    		else l=mid+1;
    	}
    	if(nums[left]!=target) return -1;
    	else return left; 
    }

**1、为什么 while 中是 < ⽽不是 <= ?**  
⽤相同的⽅法分析，因为 `right = size` ⽽不是 `size - 1` 。因此每次循环的「搜索区间」是 `[left, right)` 左闭右开。  
`while(left < right)` 终⽌的条件是 `left == right` ，此时搜索区间 `[left, left)` 为空，所以可以正确终⽌。

**PS**：这⾥先要说⼀个搜索左右边界和上⾯这个算法的⼀个区别，也是很多  
读者问的：**刚才的 right 不是 size - 1 吗，为啥这⾥⾮要写成  
size 使得「搜索区间」变成左闭右开呢？**

因为对于搜索左右侧边界的⼆分查找，这种写法⽐较普遍，我就拿这种写法  
举例了，保证你以后遇到这类代码可以理解。你⾮要⽤两端都闭的写法反⽽  
更简单，我会在后⾯写相关的代码，把三种⼆分搜索都⽤⼀种两端都闭的写  
法统⼀起来，你耐⼼往后看就⾏了。

**2、为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎  
么办？**  
因为要⼀步⼀步来，先理解⼀下这个「左侧边界」有什么特殊含义：  
![在这里插入图片描述][94d3efc8510e431598ce691b7eb06bcb.png]  
对于这个数组，算法会返回 1。这个 1 的含义可以这样解读： nums 中⼩于  
2 的元素有 1 个。

⽐如对于有序数组 `nums = [2,3,5,7]` , target = 1 ，算法会返回 0，含义  
是： nums 中⼩于 1 的元素有 0 个。  
再⽐如说 `nums = [2,3,5,7]`, target = 8 ，算法会返回 4，含义是： nums  
中⼩于 8 的元素有 4 个。  
⼆分查找解题套路框架

综上可以看出，函数的返回值（即 left 变量的值）取值区间是闭区间  
`[0, size]` ，所以我们简单添加两⾏代码就能在正确的时候 return  
\-1;

**3、为什么 left = mid + 1 ， right = mid ？和之前的算法不⼀样？**  
这个很好解释，因为我们的「搜索区间」是 `[left, right)` 左闭右  
开，所以当 nums\[mid\] 被检测之后，下⼀步的搜索区间应该去掉 mid 分  
割成两个区间，即 `[left, mid)` 或 `[mid + 1, right)` 。

**4、为什么返回 left ⽽不是 right ?**  
都是⼀样的，因为 while 终⽌的条件是 left == right 。

int left_bound(int[] nums, int target)
    {
        
    	int left = 0, right = nums.length - 1;
    	// 搜索区间为 [left, right]
    	while (left <= right)
    	{
        	
    		int mid = left + (right - left) / 2;
    		if (nums[mid] < target) {
        
    		// 搜索区间变为 [mid+1, right]
    		left = mid + 1;
    		}
    		else if (nums[mid] > target) 
    		{
        
    			// 搜索区间变为 [left, mid-1]
    			right = mid - 1;
    		} 
    		else if (nums[mid] == target) 
    		{
        
    			// 收缩右侧边界
    			right = mid - 1;
    		}
    	}
    }
    // 检查出界情况
    	if (left >= nums.length || nums[left] != target)
    		return -1;
    	return left;
    }

### 4.寻找右侧边界的⼆分查找 ###

int right_bound(int[] nums, int target)
    {
        
    	int left = 0, right = nums.length - 1;
    	// 搜索区间为 [left, right]
    	while (left <= right)
    	{
        	
    		int mid = left + (right - left) / 2;
    		if (nums[mid] < target) {
        
    		// 搜索区间变为 [mid+1, right]
    		left = mid + 1;
    		}
    		else if (nums[mid] > target) 
    		{
        
    			// 搜索区间变为 [left, mid-1]
    			right = mid - 1;
    		} 
    		else if (nums[mid] == target) 
    		{
        
    			// 收缩右侧边界
    			left = mid - 1;
    		}
    	}
    }
    // 检查出界情况
    	if (lright < 0 || nums[right] != target)
    		return -1;
    	return right;
    }

思路类似左边界。

## 三、经典题目集 ##

![在这里插入图片描述][5d46c07770314de69f4ce4b462c900d1.png]

int search(int* nums, int numsSize, int target)
    {
        
        int left=0,right=numsSize-1;
        while(left<=right)
        {
        
            int mid=left+(right-left)/2;
            if(nums[mid]==target)
            {
        
                return mid;
            }
            else if(nums[mid]>target)
            {
        
                right=mid-1;
            }
            else if(nums[mid]<target)
            {
        
                left=mid+1;
            }
        }
        return -1;
    }
    // int search(int* nums, int numsSize, int target)
    // {
        
    //     int left=0,right=numsSize-1;
    //     while(left<right)
    //     {
        
    //         int mid=(right+left)/2;
    //         if(nums[mid]>=target) right=mid;
    //         else left=mid+1;
    //     }
    //     if(nums[left]!=target) return -1;
    //     else return left;
    // }

![在这里插入图片描述][7943b3893d3948b5bcca7742482c5bf3.png]

int searchInsert(int* nums, int numsSize, int target)
    {
        
        int left=0,right=numsSize-1,ans=numsSize;
        while(left<=right)
        {
        
            int mid=left+(right-left)/2;
            if(nums[mid]>=target)
            {
        
                ans=mid;
                right=mid-1;
            }
            else left=mid+1;
        }
        return ans;
    }
    
    
    // {
        
    //     int left=0,right=numsSize;
    //     while(left<right)
    //     {
        
    //         int mid=(left+right)/2;
    //         if(nums[mid]>=target) right=mid;
    //         else left=mid+1;
    //     }
    //     return left;
    // }

![在这里插入图片描述][1a036d3ecc6c452b82de3644badfba5b.png]

/*
     * 输入 **matrix 是长度为 matrixSize 的数组指针的数组，其中每个元素（也是一个数组）
     * 的长度组成 *matrixColSize 数组作为另一输入，*matrixColSize 数组的长度也为 matrixSize
     */                     //二维数组         //数组长度         //一维数组       //目标数字
    bool findNumberIn2DArray(int** matrix, int matrixSize, int* matrixColSize, int target)
    {
        
        if(matrix==NULL || matrixSize==0 || *matrixColSize==0)
            return false;
        
        int row=matrixSize; //行数
        int col=matrixColSize[0]; 
        
        int i=0;
        int j=col-1;
        while(i<row && j>=0)
        {
        
            if(matrix[i][j]==target) return true;
            else if(matrix[i][j]>target) j--;
            else if(matrix[i][j]<target) i++;
        }
    
        return false;
    }

### 总结 ###

**1**、分析⼆分查找代码时，不要出现 else，全部展开成 else if ⽅便理解。  
**2**、注意「搜索区间」和 while 的终⽌条件，如果存在漏掉的元素，记得在  
最后检查。  
**3**、如需定义左闭右开的「搜索区间」搜索左右边界，只要在 `nums[mid] == target` 时做修改即可，搜索右侧时需要减⼀。  
**4**、如果将「搜索区间」全都统⼀成两端都闭，好记，只要稍改 `nums[mid] ==target` 条件处的代码和返回的逻辑即可，推荐拿⼩本本记下，作为⼆分搜索模板。

我是夏目浅石，希望和你一起学习进步，刷题无数！！！`希望各位大佬`能一键三连`支持一下博主`，hhhh~我们下期见喽

**特别注意**：本次博客基于`算法小抄以及AcWing算法课`写出来的内容如果想进一步学习，希望您可以自己看书+看视频。

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