力扣70爬楼梯：思路分析+优化思路+代码实现+补充思考

柔情只为你懂 2024-04-24 14:37 3阅读 0赞

#### 文章目录 ####

*  第一部分：题目描述
 *  第二部分：思路分析
 *   *  2.1 初步分析
     *  2.2 问题描述
     *  2.3 优化思路
 *  第三部分：代码实现
 *  第四部分：补充思考

## 第一部分：题目描述 ##

🏠 链接：[70. 爬楼梯 - 力扣（LeetCode）][70. _ - _LeetCode]

⭐ 难度：简单

![image-20230414024552435][]

## 第二部分：思路分析 ##

### 2.1 初步分析 ###

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th>n</th> 
   <th>跳法</th> 
   <th>规律</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td>1</td> 
   <td>(1)</td> 
   <td></td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>2</td> 
   <td>(1,1) (2)</td> 
   <td></td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>3</td> 
   <td>(1,1,1) (1,2) (2,1)</td> 
   <td>最后一跳，跳一个台阶的，基于f(2)<br>最后一跳，跳两个台阶的，基于f(1)</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>4</td> 
   <td>(1,1,1,1) (1,2,1) (2,1,1)<br>(1,1,2) (2,2)</td> 
   <td>最后一跳，跳一个台阶的，基于f(3)<br>最后一跳，跳两个台阶的，基于f(2)</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>5</td> 
   <td>…</td> 
   <td>…</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

其实际上，我们只需要分析青蛙的最后一跳：

*  如果最后一跳是跳一个台阶，那么在这之前跳过的 n-1 个台阶总共的跳法有 `f(n-1)` 种。
 *  如果最后一跳是跳两个台阶，那么在这之前跳过的 n-2 个台阶总共的跳法有 `f(n-2)` 种。

那么我们可以得到一个青蛙的斐波拉契数列公式：**f(n) = f(n-1) + f(n-2)**

所以java代码就很简单了：

class Solution {
        
        public int climbStairs(int n) {
        
            if (n == 1) {
        
                // 如果台阶为1，则调到台阶为1的跳法有1种
                return 1;
            } else if (n == 2) {
        
                // 如果台阶为2，则调到台阶为2的跳法有2种
                return 2;
            } else {
        
                // 否则调到台阶为n的跳法为：跳到台阶为n-1的跳法总数 + 跳到台阶为n-2的跳法总数
                return climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2);
            }
        }
    }

### 2.2 问题描述 ###

遗憾的是，使用普通的斐波拉契递归方法会出现如下错误：

![image-20230414025551911][]

关于原因，是由于上述代码存在很多重复的计算导致了超时，例如求  f ( 5 ) f(5) f(5) 递归分解过程：

![image-20221207092417933][]

可以看到（颜色相同的是重复的）：

*   f ( 3 ) f(3) f(3) 重复了 2 次
 *   f ( 2 ) f(2) f(2) 重复了 3 次
 *   f ( 1 ) f(1) f(1) 重复了 5 次
 *   f ( 0 ) f(0) f(0) 重复了 3 次

随着  n n n 的增大，重复次数非常可观，如何优化呢？

### 2.3 优化思路 ###

**Memoization** 记忆法（也称**备忘录**）是一种优化技术，通过存储函数调用结果（通常比较昂贵），当再次出现相同的输入（子问题）时，就能实现加速效果。

我们需要做的，就是提前建立一个 n+2 大小的数组cache，每次`递`前先查询 cache\[x\] 是否已经缓存了 f(x) 的值：

*  如果没有那么就把这个 f(x) 的值放入到 cache\[x\] 中，下次如果再遇到要计算 f(x) 时先去数组中cache\[x\]寻找是否已经缓存。
 *  如果有，就直接从缓存数组中拿到 cache\[x\] 作为 f(x) 的值，避免重复计算。

## 第三部分：代码实现 ##

class Solution {
        
        public int climbStairs(int n) {
        
            // 建立缓存数组，大小为 n+2 是避免当n为1时存在cache[2] = 2的赋值数组越界异常。
            /// 我们规定 台阶数为 x 时，跳法f(x) 对应 cache[x]
            int[] cache = new int[n + 2];
            // 初始化：当台阶数为1时，跳法为1
            cache[1] = 1;
            // 初始化：当台阶数为2时，跳法为2
            cache[2] = 2;
            
            return recursion(cache, n);
        }
    
        public int recursion(int[] cache, int x) {
        
            // 先计算是否已经对台阶数为x的跳法f(x)值进行了缓存
            // 如果缓存了，则直接返回 cache[x] 的值
            if (cache[x] != 0) {
        
                return cache[x];
            }
            
            // 走到这里说明If不成立，没有缓存，则使用斐波拉契公式递归计算 f(x) 的值
            int cacheValue = recursion(cache, x - 1) + recursion(cache, x - 2);
            
            // 递归计算完成，则在数组中进行缓存
            cache[x] = cacheValue;
            // 返回 跳法种数 f(x)
            return cacheValue;
        }
    }

## 第四部分：补充思考 ##

*  改进后的时间复杂度为  O ( n ) O(n) O(n)。
 *  记忆法是动态规划的一种情况，强调的是自顶向下的解决。
 *  记忆法的本质是**空间换时间**

[70. _ - _LeetCode]: https://leetcode.cn/problems/climbing-stairs/
[image-20230414024552435]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/24/56eeded484a34253be4f5ac95aafc98a.png
[image-20230414025551911]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/24/d3957cbaad8443c882ae721d0bd84ac3.png
[image-20221207092417933]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/24/847ce1e224ea4135ac426171e2b37a1f.png