【数据结构】二叉树

拼搏现实的明天。 2024-04-23 20:30 2阅读 0赞

> ⭐ 作者：小胡\_不糊涂  
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#### 二叉树 ####

*  1. 树形结构
 *   *  1.1 基础概念
     *  1.2 树的表示形式
     *  1.3 树的应用
 *  2. 二叉树
 *   *  2.1 什么是二叉树
     *  2.2 两种特殊的二叉树
     *  2.3 二叉树的性质
     *  2.4 二叉树的存储
     *  2.5 二叉树的遍历
     *   *  2.5.1 前序遍历
         *  2.5.2 中序遍历
         *  2.5.3 后序遍历
         *  2.5.4 层序遍历

![在这里插入图片描述][0aaef37c7fe7432aba7b61900c307612.gif_pic_center]

## 1. 树形结构 ##

> 树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：
> 
>  *  有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
>  *  除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <=m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
>  *  树是递归定义的

![在这里插入图片描述][d43a3ed21d464ae896a74d2b382c3385.png]  
数据结构中的树与生活中的树是很相似的：  
![在这里插入图片描述][af2bfa07fe96483ab3d49ef8c011e40c.png]  
当然，在这个树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。

比如下面的三个图就不是树：  
![在这里插入图片描述][928e4ae7b39840bbb5a935eeb6d640e2.png]

### 1.1 基础概念 ###

![在这里插入图片描述][eac8b9e7248c4ac5831b490cebe18168.png]  
**结点的度：** 一个结点含有子树的个数称为该结点的度；如上图：A的度为6  
**树的度：** 一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；如上图：树的度为6  
**叶子结点或终端结点：** 度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶结点  
**双亲结点或父结点：** 若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点  
**孩子结点或子结点：** 一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点  
**根结点：** 一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A  
**结点的层次：** 从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推  
**树的高度或深度：** 树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4  
**森林：** 由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

### 1.2 树的表示形式 ###

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：**双亲表示法、孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法**等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

class Node{
        
    	int value;//树中存储的数据
    	Node firstChild;//第一个孩子引用
    	Node nextBrother;//下一个孩子引用
    }

树的各结点的关系：  
![在这里插入图片描述][3b88256feb7c4a3fb1751353afe1859d.png]

### 1.3 树的应用 ###

文件系统管理（目录和文件）：一个文件夹下的子目录，子目录下的目录…这种关系就可以用一棵树来表示。  
![在这里插入图片描述][2308f7ef8ace484a99fcf5e21afbb878.png]

## 2. 二叉树 ##

### 2.1 什么是二叉树 ###

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

1.  或者为空
2.  或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成  
    ![在这里插入图片描述][4a7951ee9aff482e8c4d6fb15c23c418.png]  
    从上图可以看出：
3.  二叉树不存在度大于2的结点
4.  二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树  
    注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：  
    ![在这里插入图片描述][a22b8fb08c404fe9ad4f983a9e9b2fcb.png]

### 2.2 两种特殊的二叉树 ###

1.  **满二叉树：** 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是，则它就是满二叉树。
2.  **全二叉树：** 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。

`满二叉树是一种特殊的完全二叉树。`

![在这里插入图片描述][4aec2616178d4077b299c3c3bcd66115.png]

### 2.3 二叉树的性质 ###

1.  若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 (i>0)个结点
2.  若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 (k>=0)
3.  对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
4.  具有n个结点的完全二叉树的深度k为 上取整
5.  对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

>  *  若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
>  *  若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
>  *  若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

### 2.4 二叉树的存储 ###

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。  
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

// 孩子表示法
    class Node {
        
    	int val; // 数据域
    	Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    	Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
    }
    // 孩子双亲表示法
    class Node {
        
    	int val; // 数据域
    	Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    	Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
    	Node parent; // 当前节点的根节点
    }

### 2.5 二叉树的遍历 ###

\*\*遍历(Traversal)\*\*是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。  
![在这里插入图片描述][42beed74f8e740ff84767407919e8361.png]  
我们以N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

#### 2.5.1 前序遍历 ####

NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。

public static class TreeNode{
        
        TreeNode left;
        TreeNode right;
        int val;
        TreeNode(int val){
        
            this.val = val;
        }
    }
    private TreeNode root;
    
    //前序遍历
    void preOrder(TreeNode root){
        
        if(root == null) {
        
            return;
        }
        System.out.print(root.val+" ");
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
     }

前序递归图解：  
![在这里插入图片描述][130fbce55a3e4993afa1448ef0c45ec4.png]  
前序遍历结果：1 2 3 4 5 6  
中序遍历结果：3 2 1 5 4 6  
后序遍历结果：3 1 5 6 4 1

#### 2.5.2 中序遍历 ####

LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。

// 中序遍历  -》 左根右
    void inOrder(TreeNode root){
        
        if(root == null) {
        
            return;
        }
        inOrder(root.left);
        System.out.print(root.val+" ");
        inOrder(root.right);
    }

#### 2.5.3 后序遍历 ####

LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点

// 后序遍历  -》 左右根
    void postOrder(TreeNode root){
        
        if(root == null) {
        
           return;
        }
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        System.out.print(root.val+" ");
    }

#### 2.5.4 层序遍历 ####

> 设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。  
> ![在这里插入图片描述][cf065919608946bf93c85d10c0b726ea.png]

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