一篇文章带你掌握二叉树(附带二叉树基本操作完整代码演示,和两种思路)

悠悠 2024-04-23 12:56 0阅读 0赞

【本长内容】  
1. 掌握树的基本概念  
2. 掌握二叉树概念及特性  
3. 掌握二叉树的基本操作  
4. 完成二叉树相关的面试题练习

## 1. 树形结构 ##

### 1.1 概念 ###

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：  
1.有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点  
2.除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <=m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继.

3.树是递归定义的。

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注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

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### 1.2 概念 ###

![00e07424ac2c4f59813140d5e2784aed.jpeg][]

**结点的度：**一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6  
**树的度**：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为6  
**叶子结点或终端结点**：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶结点  
**双亲结点或父结点：**若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点  
**孩子结点或子结点**：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点  
**根结点**：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A  
**结点的层次**：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推

**树的高度或深度：**树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4  
树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：  
**非终端结点或分支结点：**度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支结点  
**兄弟结点：**具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点  
**堂兄弟结点：**双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点  
**结点的祖先：**从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先  
**子孙：**以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙  
**森林：**由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

### 1.3 树的应用 ###

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## 2. 二叉树 ##

### 2.1 概念 ###

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：  
1. 或者为空  
2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

![077a76b80a0d4ea282890778928306f8.jpeg][]

从上图可以看出：  
1. 二叉树不存在度大于2的结点  
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树  
注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

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### 2.2 两种特殊的二叉树 ###

1. 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。  
2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

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### 2.3 二叉树的性质 ###

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 (i>0)个结点  
2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 (k>=0)  
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1  
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 上取整  
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：  
若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点  
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子  
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

### 2.4 二叉树的存储 ###

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。  
顺序存储在下节介绍。  
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

> // 孩子表示法  
> class Node \{  
> int val; // 数据域  
> Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树  
> Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树  
> \}  
> // 孩子双亲表示法  
> class Node \{  
> int val; // 数据域  
> Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树  
> Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树  
> Node parent; // 当前节点的根节点  
> \}

孩子双亲表示法后序在平衡树位置介绍，本文采用孩子表示法来构建二叉树。

### 2.5 二叉树的基本操作 ###

####    2.5.1 前置说明 ####

在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。由于现在大家对二叉树结构掌握还不够深入，为了降低大家学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树操作学习，等二叉树结构了解的差不多时，我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式。

public class BinaryTree{
      public static class BTNode{
        BTNode left;
        BTNode right;
        int value;
       
        BTNode(int value){
          this.value = value;
       }
     }
     
      private BTNode root;
    
     
      public void createBinaryTree(){
        BTNode node1 = new BTNode(1);
        BTNode node1 = new BTNode(2);
        BTNode node1 = new BTNode(3);
        BTNode node1 = new BTNode(4);
        BTNode node1 = new BTNode(5);
        BTNode node1 = new BTNode(6);
       
        root = node1;
        node1.left = node2;
        node2.left = node3;
        node1.right = node4;
        node4.left = node5;
        node5.right = node6;
     }
    }

注意：上述代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式后序详解重点讲解。  
再看二叉树基本操作前，再回顾下二叉树的概念，二叉树是：

1. 空树  
2. 非空：根节点，根节点的左子树、根节点的右子树组成的

从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的.

#### 2.5.2 二叉树的遍历 ####

1. 前中后序遍历  
学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结  
点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加  
1)。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

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在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：  
NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点--->根的左子树--->根的右子树。  
LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树--->根节点--->根的右子树。  
LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树--->根的右子树--->根节点。

public void preOrder(TreeNode root){
            if(root==null){
                return;
            }
            System.out.println(root);
            preOrder(root.left);
            preOrder(root.right);
        }
        public void inOrder(TreeNode root){
            if(root==null){
                return;
            }
            inOrder(root.left);
            System.out.println(root);
            inOrder(root.right);
        }
        public void postOrder(TreeNode root){
            if(root==null){
                return;
            }
            postOrder(root.left);
            postOrder(root.right);
            System.out.println(root);
        }

![bbbf4dab79054409b93e24645a64095e.png][]

2. 层序遍历  
层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

![1639c1d94cd0456b92134bc30fcf5516.jpeg][]

class Solution {
        public List<List<Integer>> levelOrderBottom(TreeNode root) {
            List<List<Integer>> lists = new LinkedList<>(); 
            if(root==null){
                return lists;
            }
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<TreeNode>();
        queue.offer(root);
        while(!queue.isEmpty()){
        List<Integer> list = new ArrayList<Integer>();
        int size =queue.size();
        for(int i =0;i<size; i++){
            TreeNode node = queue.poll();
            list.add(node.val);
            TreeNode left = node.left;
            TreeNode right = node.right;
            if (left != null) {
                        queue.offer(left);
                    }
            if (right != null) {
                        queue.offer(right);
                    }
        }
        lists.add(list);
        list.add(list);
        }
        return lists;
        }

#### 2.5.3 二叉树的基本操作 ####

> 获取树中节点的个数
> 
>     void size(TreeNode root) {
>         if(root==null){
>             return;
>         }
>         nodeSize++;
>         size(root.left);
>         size(root.right);
>     }//遍历方法
> 
>     int size(TreeNode root) {
>         if(root==null){
>             return 0;
>         }
>         return size2(root.left) + size2(root.right)+1;
>     }//子问题方法
> 
> 获取叶子节点的个数
> 
>     void getLeafNodeCount1(TreeNode root) {
>          if(root.left==null && root.right == null){
>            leafSize++;
>            return;
>         }
>         getLeafNodeCount1(root.left);
>         getLeafNodeCount1(root.right);
>     }//遍历思路
> 
>     int getLeafNodeCount2(TreeNode root) {
>         if(root.left == null && root.right == null){
>             return 1;
>         }
>         return getLeafNodeCount2(root.left) + getLeafNodeCount2(root.right);
>     }//子问题思路
>     
>     获取第K层节点的个数
> 
>     int getKLevelNodeCount(TreeNode root, int k) {
>         if(root==null){
>             return 0;
>         }
>         if(k==1){
>             return 1;
>         }
>        return getKLevelNodeCount(root.left,k-1) + getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
>     }//
> 
>     获取二叉树的高度
> 
>     int getHeight(TreeNode root) {
>         if(root==null){
>             return 0;
>         }
>         int lefttree = getHeight(root.left);
>         int righttree = getHeight(root.right);
>         return righttree>lefttree ? righttree +1:lefttree+1;
>     }
>      检测值为value的元素是否存在
> 
>     TreeNode find(TreeNode root, char val) {
>     if(root==null){
>         return null;
>     }
>     if(root.val==val){
>         return root;
>     }
>     TreeNode ret1 = find(root.left,val);
>     if(ret1 != null){
>         return ret1;
>     }
>     TreeNode ret2 = find(root.right.right,val);
>     if(ret2 != null){
>         return ret2;
>     }
>     return null;
>         }
>      判断一棵树是不是完全二叉树
> 
>     boolean isCompleteTree(TreeNode root) {
>     
>         Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
>         queue.add(root);
>         while(!queue.isEmpty()){
>            TreeNode ret =queue.poll();
>            if(ret != null){
>                queue.offer(ret.left);
>                queue.offer(ret.right);
>            }
>            else {
>                break;
>            }
>         }
>         while(!queue.isEmpty())
>         {
>             if(queue.poll() != null){
>                 return false;
>             }
>         }
>         return true;
>     }

二叉树的概念比较简单,但是由于是递归,所以代码的难度和理解都比较难,需要我们花时间去理解和掌握.

大家看完博客以后可以去多写习题来巩固.

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[1639c1d94cd0456b92134bc30fcf5516.jpeg]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/23/ca2e3ba0d65f46038a7ada90399e3019.jpeg