【动态规划】代码随想录算法训练营第四十六天 |139.单词拆分，关于多重背包，你该了解这些！，背包问题总结篇！（待补充）

悠悠 2024-04-23 04:30 5阅读 0赞

## 139.单词拆分 ##

1、题目链接：[. - 力扣（LeetCode）][. - _LeetCode]

2、文章讲解：[代码随想录][Link 1]

3、题目：

给定一个非空字符串 s 和一个包含非空单词的列表 wordDict，判定 s 是否可以被空格拆分为一个或多个在字典中出现的单词。

说明：

拆分时可以重复使用字典中的单词。

你可以假设字典中没有重复的单词。

示例 1：

*  输入: s = "leetcode", wordDict = \["leet", "code"\]
 *  输出: true
 *  解释: 返回 true 因为 "leetcode" 可以被拆分成 "leet code"。

示例 2：

*  输入: s = "applepenapple", wordDict = \["apple", "pen"\]
 *  输出: true
 *  解释: 返回 true 因为 "applepenapple" 可以被拆分成 "apple pen apple"。
 *  注意你可以重复使用字典中的单词。

示例 3：

*  输入: s = "catsandog", wordDict = \["cats", "dog", "sand", "and", "cat"\]
 *  输出: false

4、视频链接：

[动态规划之完全背包，你的背包如何装满？| LeetCode：139.单词拆分\_哔哩哔哩\_bilibili][LeetCode_139._bilibili]

class Solution {
 public boolean wordBreak(String s, List<String> wordDict) {
 HashSet<String> set = new HashSet<>(wordDict);
 boolean[] valid = new boolean[s.length() + 1];
 valid[0] = true;
 
 for (int i = 1; i <= s.length(); i++) {
 for (int j = 0; j < i && !valid[i]; j++) {
 if (set.contains(s.substring(j, i)) && valid[j]) {
 valid[i] = true;
 }
 }
 }
 return valid[s.length()];
 }
 }

// 另一种思路的背包算法
 class Solution {
 public boolean wordBreak(String s, List<String> wordDict) {
 boolean[] dp = new boolean[s.length() + 1];
 dp[0] = true;
 
 for (int i = 1; i <= s.length(); i++) {
 for (String word : wordDict) {
 int len = word.length();
 if (i >= len && dp[i - len] && word.equals(s.substring(i - len, i))) {
 dp[i] = true;
 break;
 }
 }
 }
 
 return dp[s.length()];
 }
 }

## 多重背包理论基础 ##

对于多重背包，我在力扣上还没发现对应的题目，所以这里就做一下简单介绍，大家大概了解一下。

有N种物品和一个容量为V 的背包。第i种物品最多有Mi件可用，每件耗费的空间是Ci ，价值是Wi 。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的耗费的空间 总和不超过背包容量，且价值总和最大。

多重背包和01背包是非常像的， 为什么和01背包像呢？

每件物品最多有Mi件可用，把Mi件摊开，其实就是一个01背包问题了。

例如：

背包最大重量为10。

物品为：

问背包能背的物品最大价值是多少？

和如下情况有区别么？

毫无区别，这就转成了一个01背包问题了，且每个物品只用一次。

练习题目：[卡码网第56题，多重背包(opens new window)][56_opens new window]

代码如下：

// 超时了
 #include<iostream>
 #include<vector>
 using namespace std;
 int main() {
 int bagWeight,n;
 cin >> bagWeight >> n;
 vector<int> weight(n, 0); 
 vector<int> value(n, 0);
 vector<int> nums(n, 0);
 for (int i = 0; i < n; i++) cin >> weight[i];
 for (int i = 0; i < n; i++) cin >> value[i];
 for (int i = 0; i < n; i++) cin >> nums[i]; 
 
 for (int i = 0; i < n; i++) {
 while (nums[i] > 1) { // 物品数量不是一的，都展开
 weight.push_back(weight[i]);
 value.push_back(value[i]);
 nums[i]--;
 }
 }
 
 vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
 for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品，注意此时的物品数量不是n
 for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
 dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
 }
 }
 cout << dp[bagWeight] << endl;
 }

大家去提交之后，发现这个解法超时了，为什么呢，哪里耗时呢？

耗时就在 这段代码：

for (int i = 0; i < n; i++) {
 while (nums[i] > 1) { // 物品数量不是一的，都展开
 weight.push_back(weight[i]);
 value.push_back(value[i]);
 nums[i]--;
 }
 }

如果物品数量很多的话，C++中，这种操作十分费时，主要消耗在vector的动态底层扩容上。（其实这里也可以优化，先把 所有物品数量都计算好，一起申请vector的空间。

这里也有另一种实现方式，就是把每种商品遍历的个数放在01背包里面在遍历一遍。

代码如下：（详看注释）

#include<iostream>
 #include<vector>
 using namespace std;
 int main() {
 int bagWeight,n;
 cin >> bagWeight >> n;
 vector<int> weight(n, 0);
 vector<int> value(n, 0);
 vector<int> nums(n, 0);
 for (int i = 0; i < n; i++) cin >> weight[i];
 for (int i = 0; i < n; i++) cin >> value[i];
 for (int i = 0; i < n; i++) cin >> nums[i];
 
 vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
 
 for(int i = 0; i < n; i++) { // 遍历物品
 for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
 // 以上为01背包，然后加一个遍历个数
 for (int k = 1; k <= nums[i] && (j - k * weight[i]) >= 0; k++) { // 遍历个数
 dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * weight[i]] + k * value[i]);
 }
 }
 }
 
 cout << dp[bagWeight] << endl;
 }

时间复杂度：O(m × n × k)，m：物品种类个数，n背包容量，k单类物品数量

从代码里可以看出是01背包里面在加一个for循环遍历一个每种商品的数量。 和01背包还是如出一辙的。

当然还有那种二进制优化的方法，其实就是把每种物品的数量，打包成一个个独立的包。

和以上在循环遍历上有所不同，因为是分拆为各个包最后可以组成一个完整背包，具体原理我就不做过多解释了，大家了解一下就行，面试的话基本不会考完这个深度了，感兴趣可以自己深入研究一波。

### [\#][Link 2]总结 ###

多重背包在面试中基本不会出现，力扣上也没有对应的题目，大家对多重背包的掌握程度知道它是一种01背包，并能在01背包的基础上写出对应代码就可以了。

至于背包九讲里面还有混合背包，二维费用背包，分组背包等等这些，大家感兴趣可以自己去学习学习，这里也不做介绍了，面试也不会考。

## 背包问题汇总 ##

年前我们已经把背包问题都讲完了，那么现在我们要对背包问题进行总结一番。

背包问题是动态规划里的非常重要的一部分，所以我把背包问题单独总结一下，等动态规划专题更新完之后，我们还会在整体总结一波动态规划。

关于这几种常见的背包，其关系如下：

![70e70c83c7b6821159844ea23f176020.png][]

通过这个图，可以很清晰分清这几种常见背包之间的关系。

在讲解背包问题的时候，我们都是按照如下五部来逐步分析，相信大家也体会到，把这五部都搞透了，算是对动规来理解深入了。

1.  确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2.  确定递推公式
3.  dp数组如何初始化
4.  确定遍历顺序
5.  举例推导dp数组

**其实这五部里哪一步都很关键，但确定递推公式和确定遍历顺序都具有规律性和代表性，所以下面我从这两点来对背包问题做一做总结**。

### [\#][Link 3]背包递推公式 ###

问能否能装满背包（或者最多装多少）：dp\[j\] = max(dp\[j\], dp\[j - nums\[i\]\] + nums\[i\]); ，对应题目如下：

*  [动态规划：416.分割等和子集(opens new window)][416._opens new window]
 *  [动态规划：1049.最后一块石头的重量 II(opens new window)][1049._ II_opens new window]

问装满背包有几种方法：dp\[j\] += dp\[j - nums\[i\]\] ，对应题目如下：

*  [动态规划：494.目标和(opens new window)][494._opens new window]
 *  [动态规划：518. 零钱兑换 II(opens new window)][518. _ II_opens new window]
 *  [动态规划：377.组合总和Ⅳ(opens new window)][377._opens new window]
 *  [动态规划：70. 爬楼梯进阶版（完全背包）(opens new window)][70. _opens new window]

问背包装满最大价值：dp\[j\] = max(dp\[j\], dp\[j - weight\[i\]\] + value\[i\]); ，对应题目如下：

*  [动态规划：474.一和零(opens new window)][474._opens new window]

问装满背包所有物品的最小个数：dp\[j\] = min(dp\[j - coins\[i\]\] + 1, dp\[j\]); ，对应题目如下：

*  [动态规划：322.零钱兑换(opens new window)][322._opens new window]
 *  [动态规划：279.完全平方数(opens new window)][279._opens new window]

### [\#][Link 4]遍历顺序 ###

#### [\#][Link 5]01背包 ####

在[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！(opens new window)][01_opens new window]中我们讲解二维dp数组01背包先遍历物品还是先遍历背包都是可以的，且第二层for循环是从小到大遍历。

和[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）(opens new window)][01_opens new window 1]中，我们讲解一维dp数组01背包只能先遍历物品再遍历背包容量，且第二层for循环是从大到小遍历。

**一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维dp数组实现的01背包其实是有很大差异的，大家需要注意！**

#### [\#][Link 6]完全背包 ####

说完01背包，再看看完全背包。

在[动态规划：关于完全背包，你该了解这些！(opens new window)][opens new window]中，讲解了纯完全背包的一维dp数组实现，先遍历物品还是先遍历背包都是可以的，且第二层for循环是从小到大遍历。

但是仅仅是纯完全背包的遍历顺序是这样的，题目稍有变化，两个for循环的先后顺序就不一样了。

**如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包**。

**如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品**。

相关题目如下：

*  求组合数：[动态规划：518.零钱兑换II(opens new window)][518. _ II_opens new window]
 *  求排列数：[动态规划：377. 组合总和 Ⅳ(opens new window)][377. _ _opens new window]、[动态规划：70. 爬楼梯进阶版（完全背包）(opens new window)][70. _opens new window]

如果求最小数，那么两层for循环的先后顺序就无所谓了，相关题目如下：

*  求最小数：[动态规划：322. 零钱兑换(opens new window)][322._opens new window]、[动态规划：279.完全平方数(opens new window)][279._opens new window]

**对于背包问题，其实递推公式算是容易的，难是难在遍历顺序上，如果把遍历顺序搞透，才算是真正理解了**。

### [\#][Link 7]总结 ###

**这篇背包问题总结篇是对背包问题的高度概括，讲最关键的两部：递推公式和遍历顺序，结合力扣上的题目全都抽象出来了**。

**而且每一个点，我都给出了对应的力扣题目**。

最后如果你想了解多重背包，可以看这篇[动态规划：关于多重背包，你该了解这些！(opens new window)][opens new window 1]，力扣上还没有多重背包的题目，也不是面试考察的重点。

如果把我本篇总结出来的内容都掌握的话，可以说对背包问题理解的就很深刻了，用来对付面试中的背包问题绰绰有余！

背包问题总结：

![ed5a8a4031d3d495a4aad8af6958fbdf.jpeg][]

[. - _LeetCode]: https://leetcode.cn/problems/word-break/
[Link 1]: https://www.programmercarl.com/0139.%E5%8D%95%E8%AF%8D%E6%8B%86%E5%88%86.html#%E7%AE%97%E6%B3%95%E5%85%AC%E5%BC%80%E8%AF%BE
[LeetCode_139._bilibili]: https://www.bilibili.com/video/BV1pd4y147Rh/
[56_opens new window]: https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1066
[Link 2]: https://www.programmercarl.com/%E8%83%8C%E5%8C%85%E9%97%AE%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA%E5%9F%BA%E7%A1%80%E5%A4%9A%E9%87%8D%E8%83%8C%E5%8C%85.html#%E6%80%BB%E7%BB%93
[70e70c83c7b6821159844ea23f176020.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/23/dfbd6bdf3c39436c978782a3b8f0f93d.png
[Link 3]: https://www.programmercarl.com/%E8%83%8C%E5%8C%85%E6%80%BB%E7%BB%93%E7%AF%87.html#%E8%83%8C%E5%8C%85%E9%80%92%E6%8E%A8%E5%85%AC%E5%BC%8F
[416._opens new window]: https://programmercarl.com/0416.%E5%88%86%E5%89%B2%E7%AD%89%E5%92%8C%E5%AD%90%E9%9B%86.html
[1049._ II_opens new window]: https://programmercarl.com/1049.%E6%9C%80%E5%90%8E%E4%B8%80%E5%9D%97%E7%9F%B3%E5%A4%B4%E7%9A%84%E9%87%8D%E9%87%8FII.html
[494._opens new window]: https://programmercarl.com/0494.%E7%9B%AE%E6%A0%87%E5%92%8C.html
[518. _ II_opens new window]: https://programmercarl.com/0518.%E9%9B%B6%E9%92%B1%E5%85%91%E6%8D%A2II.html
[377._opens new window]: https://programmercarl.com/0377.%E7%BB%84%E5%90%88%E6%80%BB%E5%92%8C%E2%85%A3.html
[70. _opens new window]: https://programmercarl.com/0070.%E7%88%AC%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E5%AE%8C%E5%85%A8%E8%83%8C%E5%8C%85%E7%89%88%E6%9C%AC.html
[474._opens new window]: https://programmercarl.com/0474.%E4%B8%80%E5%92%8C%E9%9B%B6.html
[322._opens new window]: https://programmercarl.com/0322.%E9%9B%B6%E9%92%B1%E5%85%91%E6%8D%A2.html
[279._opens new window]: https://programmercarl.com/0279.%E5%AE%8C%E5%85%A8%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%95%B0.html
[Link 4]: https://www.programmercarl.com/%E8%83%8C%E5%8C%85%E6%80%BB%E7%BB%93%E7%AF%87.html#%E9%81%8D%E5%8E%86%E9%A1%BA%E5%BA%8F
[Link 5]: https://www.programmercarl.com/%E8%83%8C%E5%8C%85%E6%80%BB%E7%BB%93%E7%AF%87.html#_01%E8%83%8C%E5%8C%85
[01_opens new window]: https://programmercarl.com/%E8%83%8C%E5%8C%85%E7%90%86%E8%AE%BA%E5%9F%BA%E7%A1%8001%E8%83%8C%E5%8C%85-1.html
[01_opens new window 1]: https://programmercarl.com/%E8%83%8C%E5%8C%85%E7%90%86%E8%AE%BA%E5%9F%BA%E7%A1%8001%E8%83%8C%E5%8C%85-2.html
[Link 6]: https://www.programmercarl.com/%E8%83%8C%E5%8C%85%E6%80%BB%E7%BB%93%E7%AF%87.html#%E5%AE%8C%E5%85%A8%E8%83%8C%E5%8C%85
[opens new window]: https://programmercarl.com/%E8%83%8C%E5%8C%85%E9%97%AE%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA%E5%9F%BA%E7%A1%80%E5%AE%8C%E5%85%A8%E8%83%8C%E5%8C%85.html
[377. _ _opens new window]: https://mp.weixin.qq.com/s/Iixw0nahJWQgbqVNk8k6gA
[Link 7]: https://www.programmercarl.com/%E8%83%8C%E5%8C%85%E6%80%BB%E7%BB%93%E7%AF%87.html#%E6%80%BB%E7%BB%93
[opens new window 1]: https://programmercarl.com/%E8%83%8C%E5%8C%85%E9%97%AE%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA%E5%9F%BA%E7%A1%80%E5%A4%9A%E9%87%8D%E8%83%8C%E5%8C%85.html
[ed5a8a4031d3d495a4aad8af6958fbdf.jpeg]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/23/ec87d3d72ef7468f9bee2af544418355.jpeg