第十四届蓝桥杯省赛 Python B 组 I 题——异或和（AC）

桃扇骨 2024-04-20 11:37 65阅读 0赞

#### 目录 ####

*  1. 异或和
 *   *  1. 问题描述
     *  2 .输入格式
     *  3. 输出格式
     *  4. 样例输入
     *  5. 样例输出
     *  6. 评测用例规模与约定
     *  7. 原题链接
 *  2. 解题思路
 *  3. AC\_Code

## 1. 异或和 ##

*  前置知识点：树状数组，线段树，DFS 序。

### 1. 问题描述 ###

给一棵含有  n n n 个结点的有根树，根结点为  1 1 1，编号为  i i i 的点有点权  a i a\_i ai（ i ∈ \[ 1 , n \] i \\in \[1,n\] i∈\[1,n\]）。现在有两种操作，格式如下：

*   1 x y 1\\ x\\ y 1xy：该操作表示将点  x x x 的点权改为  y y y。
 *   2 x 2\\ x 2x：该操作表示查询以结点  x x x 为根的子树内的所有点的点权的异或和。

现有长度为  m m m 的操作序列，请对于每个第二类操作给出正确的结果。

### 2 .输入格式 ###

输入的第一行包含两个正整数  n , m n,m n,m，用一个空格分隔。

第二行包含  n n n 个整数  a 1 , a 2 , … , a n a\_1,a\_2,\\ldots,a\_n a1,a2,…,an，相邻整数之间使用一个空格分隔。

接下来  n − 1 n-1 n−1 行，每行包含两个正整数  u i , v i u\_i,v\_i ui,vi，表示结点  u i u\_i ui 和  v i v\_i vi 之间有一条边。

接下来  m m m 行，每行包含一个操作。

### 3. 输出格式 ###

输出若干行，每行对应一个查询操作的答案。

### 4. 样例输入 ###

4 4
    1 2 3 4
    1 2
    1 3
    2 4
    2 1
    1 1 0
    2 1
    2 2

### 5. 样例输出 ###

4
    5
    6

### 6. 评测用例规模与约定 ###

对于  30 30 30% 的评测用例， n , m ≤ 1000 n,m \\leq 1000 n,m≤1000；

对于所有评测用例， 1 ≤ n , m ≤ 100000 1 \\leq n,m \\leq 100000 1≤n,m≤100000， 0 ≤ a i , y ≤ 100000 0 \\leq a\_i,y \\leq 100000 0≤ai,y≤100000， 1 ≤ u i , v i , x ≤ n 1 \\leq u\_i,v\_i,x \\leq n 1≤ui,vi,x≤n。

### 7. 原题链接 ###

[异或和][Link 1]

## 2. 解题思路 ##

考虑第二个操作，查询以节点  x x x 为根的子树内的所有点的点权的异或和。

类似这种子树查询问题，我们通常使用 DFS 序对树进行预处理。具体地说，在 DFS 遍历中，我们从根节点开始，依次遍历它的每个子节点。对于每个子节点，我们首先遍历它的子树，然后回溯到该子节点，继续遍历它的兄弟节点。在遍历的过程中，我们可以记录每个节点在 DFS 序中的遍历顺序，即第一次遍历到该节点的时间戳和最后一次遍历到该节点的时间戳。这里的时间戳可以使用一个计数器来实现，每次遍历到一个新节点时，计数器加  1 1 1，表示当前节点的时间戳。当回溯到该节点时，表示当前节点的最后一次遍历时间戳。

这样操作有什么作用呢？假设我们有一个长度大于  n n n 的数组  a a a，我们记进入每个点  i i i 的时间戳为  in \[ i \] \\text\{in\}\[i\] in\[i\]，回溯到点  i i i 的时间戳为  out \[ i \] \\text\{out\}\[i\] out\[i\]，同时将每个点的点权赋值到  a \[ in \[ i \] \] a\[\\text\{in\}\[i\]\] a\[in\[i\]\] 上。这样对于一个根为  x x x 的子树内所有点的点权异或和就等价于  a a a 数组区间  \[ in \[ x \] , out \[ x \] \] \[\\text\{in\}\[x\],\\text\{out\}\[x\]\] \[in\[x\],out\[x\]\] 的异或和。这样我们就将复杂的树上询问，转化为我们熟悉的数组区间查询问题。

接下来考虑操作  1 1 1，将点  x x x 的点权改为  y y y。

结合上述分析，该操作即是将  a \[ in \[ x \] \] a\[\\text\{in\}\[x\]\] a\[in\[x\]\] 改为  y y y。

综上所述，我们需要对  a a a 数组进行一个单点修改和区间查询的操作，这个经典操作我们可以使用树状数组或者线段树来维护，代码中使用的是树状数组。具体地说，我们使用一个树状数组  a a a 来维护树的 DFS 序的前缀异或序列， a i a\_i ai 表示区间  \[ 1 , i \] \[1,i\] \[1,i\] 的异或和。

*  操作  1 1 1：将  a \[ in \[ x \] \] a\[\\text\{in\}\[x\]\] a\[in\[x\]\] 修改为  y y y。
 *  操作  2 2 2：求解  \[ in \[ x \] , out \[ x \] \] \[\\text\{in\}\[x\],\\text\{out\}\[x\]\] \[in\[x\],out\[x\]\] 的异或和，根据异或性质  \[ 1 , r \] ⊕ \[ 1 , l − 1 \] = \[ l , r \] \[1,r\] \\oplus\[1,l-1\]=\[l,r\] \[1,r\]⊕\[1,l−1\]=\[l,r\]，我们只需要求解  a in \[ x \] − 1 ⊕ a r a\_\{\\text\{in\}\[x\]-1\} \\oplus a\_r ain\[x\]−1⊕ar 即可求得答案。

时间复杂度为  O ( n log ⁡ n ) O(n \\log n) O(nlogn)。

## 3. AC\_Code ##

*  C++

#include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const int N = 100010;
    
    template <typename T>
    struct Fenwick {
        
    	int n;
    	std::vector<T> a;
    
    	Fenwick(int n = 0) {
        
    		init(n);
    	}
    
    	void init(int n) {
        
    		this->n = n;
    		a.assign(n + 1, T());
    	}
    
    	void add(int x, T v) {
        
    		for (; x <= n; x += x & (-x)) {
        
    			a[x] ^= v;
    		}
    	}
    
    	T sum(int x) {
        
    		auto ans = T();
    		for (; x; x -= x & (-x)) {
        
    			ans ^= a[x];
    		}
    		return ans;
    	}
    
    	T rangeSum(int l, int r) {
        
    		return sum(r) ^ sum(l);
    	}
    };
    int n, m, tot;
    int a[N], in[N], out[N];
    std::vector<int> e[N];
    void dfs(int u, int fa) {
        
    	in[u] = ++tot;
    	for (auto v : e[u]) {
        
    		if (v == fa) continue;
    		dfs(v, u);
    	}
    	out[u] = tot;
    }
    int main()
    {
        
    	ios_base :: sync_with_stdio(false);
    	cin.tie(0); cout.tie(0);
    	cin >> n >> m;
    	Fenwick<int> tr(n);
    	for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i];
    	for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
        
    		int u, v;
    		cin >> u >> v;
    		e[u].push_back(v);
    		e[v].push_back(u);
    	}
    	dfs(1, 0);
    	for (int i = 1; i <= n; ++i) tr.add(in[i], a[i]);
    	int op, x, y;
    	for (int i = 0; i < m; ++i) {
        
    		cin >> op >> x;
    		if (op == 1) {
        
    			cin >> y;
    			int v = tr.rangeSum(in[x] - 1, in[x]);
    			tr.add(in[x], y ^ v);
    		} else {
        
    			cout << tr.rangeSum(in[x] - 1, out[x]) << '\n';
    		}
    	}
    	return 0;
    }

*  Java

import java.util.*;
    import java.io.*;
     
    public class Main {
        
        static int N = 100010;
        static int n, m, tot;
        static int[] a = new int[N], in = new int[N], out = new int[N], b = new int[N];
        static List<Integer>[] e = new List[N];
     
        static void add(int x, int v) {
        
            for (; x <= n; x += x & (-x)) {
        
                b[x] ^= v;
            }
        }
     
        static int sum(int x) {
        
            int ans = 0;
            if (x == 0) return 0;
            for (; x > 0; x -= x & (-x)) {
        
                ans ^= b[x];
            }
            return ans;
        }
     
        static int rangeSum(int l, int r) {
        
            return sum(r) ^ sum(l);
        }
     
        static void dfs(int u, int fa) {
        
            in[u] = ++tot;
            for (int v : e[u]) {
        
                if (v == fa) continue;
                dfs(v, u);
            }
            out[u] = tot;
        }
     
        public static void main(String[] args) throws IOException {
        
            BufferedReader reader = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
            BufferedWriter writer = new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
            String[] temp = reader.readLine().split(" ");
            n = Integer.parseInt(temp[0]);
            m = Integer.parseInt(temp[1]);
            temp = reader.readLine().split(" ");
            for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        
                a[i] = Integer.parseInt(temp[i - 1]);
                e[i]=new ArrayList<>();
            }
            for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
        
                temp = reader.readLine().split(" ");
                int u = Integer.parseInt(temp[0]);
                int v = Integer.parseInt(temp[1]);
                e[u].add(v);
                e[v].add(u);
            }
            dfs(1, 0);
            for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        
                add(in[i], a[i]);
            }
            for (int i = 0; i < m; ++i) {
        
                temp = reader.readLine().split(" ");
                int op = Integer.parseInt(temp[0]);
                int x = Integer.parseInt(temp[1]);
                if (op == 1) {
        
                    int y = Integer.parseInt(temp[2]);
                    int v = rangeSum(in[x] - 1, in[x]);
                    add(in[x], y ^ v);
                } else {
        
                    writer.write(rangeSum(in[x] - 1, out[x]) + "\n");
                }
            }
            reader.close();
            writer.flush();
            writer.close();
        }
    }

*  Python

import sys
    
    N = 100010
    n, m, tot = 0, 0, 0
    a = [0]*N
    in_ = [0]*N
    out = [0]*N
    b = [0]*N
    e = [[] for _ in range(N)]
    
    def add(x, v):
        while x <= n:
            b[x] ^= v
            x += x & (-x)
    
    def sum_(x):
        ans = 0
        if x == 0:
            return ans
        while x > 0:
            ans ^= b[x]
            x -= x & (-x)
        return ans
    
    def rangeSum(l, r):
        return sum_(r) ^ sum_(l)
    
    def dfs(u, fa):
        global tot
        in_[u] = tot = tot + 1
        for v in e[u]:
            if v == fa:
                continue
            dfs(v, u)
        out[u] = tot
    
    def main():
        global n, m, tot
        n, m = map(int, sys.stdin.readline().split())
        a[1:n+1] = map(int, sys.stdin.readline().split())
        for _ in range(n - 1):
            u, v = map(int, sys.stdin.readline().split())
            e[u].append(v)
            e[v].append(u)
        dfs(1, 0)
        for i in range(1, n+1):
            add(in_[i], a[i])
        for _ in range(m):
            op, x, *extra = map(int, sys.stdin.readline().split())
            if op == 1:
                y = extra[0]
                v = rangeSum(in_[x] - 1, in_[x])
                add(in_[x], y ^ v)
            else:
                print(rangeSum(in_[x] - 1, out[x]))
    
    if __name__ == "__main__":
        main()

[Link 1]: https://www.lanqiao.cn/problems/3549/learning/