精选50题之 89. 格雷编码

末蓝、 2024-04-19 10:36 68阅读 0赞

### 腾讯精选练习（50 题）之 89. 格雷编码 ###

*   *  原题目链接
     *  题目分析
     *  解题分析
     *  代码实现
     *  其他方式
     *  写在最后

## [原题目链接][Link 1] ##

格雷编码是一个二进制数字系统，在该系统中，两个连续的数值仅有一个位数的差异。  
给定一个代表编码总位数的非负整数 n，打印其格雷编码序列。格雷编码序列必须以 0 开头。

示例 1:

> 输入: 2  
> 输出: \[0,1,3,2\]  
> 解释:  
> 00 - 0  
> 01 - 1  
> 11 - 3  
> 10 - 2  
> 对于给定的 n，其格雷编码序列并不唯一。  
> 例如，\[0,2,3,1\] 也是一个有效的格雷编码序列。  
> 00 - 0  
> 10 - 2  
> 11 - 3  
> 01 - 1

示例 2:

> 输入: 0  
> 输出: \[0\]  
> 解释: 我们定义格雷编码序列必须以 0 开头。  
> 给定编码总位数为 n 的格雷编码序列，其长度为 2n。当 n = 0 时，长度为 20 = 1。  
> 因此，当 n = 0 时，其格雷编码序列为 \[0\]。

## 题目分析 ##

Ps.前两天的题目都有直接实现，但是这个一看没有成型的思路，还是老老实实分析题目吧

格雷编码其实在计算机导论中就有出现，与BCD等同属于不同的码制表示，特点就在于相邻连两个数的二进制表示，只有一位发生了变化。

仔细想想，这个定义其实很抽象、不具体——并没有明确说明生成的规则。换言之，实际表示中一定是有迹可循的，有着极特殊规律的。

回到实例二，n = 2时：

> 00 - 0  
> 01 - 1  
> 11 - 3  
> 10 - 2

最高位与一般二级制表示一致，但是低位不同——并不是 0-1交替出现，而是0-1-1-0。不难发现其中的中心对称性。

而n = 3 时对称性就更为明显了。

> 000 - 0  
> 010 - 2  
> 011 - 3  
> 001 - 1  
> \----------- 对称的  
> 100 - 4  
> 110 - 6  
> 111 - 7  
> 101 - 5

除了对称性外，还可以发现—— \[n+1\]的解 = 0连接\[n\]的解 ∪ 1\[n\]连接的解的逆序排列。  
这种形式可以用很像是动态规划。

## 解题分析 ##

基于中心对称性和子结构特性，好像可以求解了。但是怎么实现？  
尝试进行模拟操作——逐个添加0或1，并迭代。  
特别的，由于vector的内置函数只能在尾端操作，所以需要倒序添加。则实际形式更像是

> 00 - 0  
> 10 - 2  
> 11 - 3  
> 01 - 1

“添加0” 是通过对原有结果 \* 2 得到；“添加1” 则是通过倒序遍历“添加0”的结果，分别 +1 然后加入到vector 尾部。

## 代码实现 ##

class Solution {
        
    public:
        vector<int> grayCode(int n) {
        
            if(n == 0) return vector<int> {
        0};
            vector<int> res = {
        0, 1};
            if(n == 1) return res;
            for(int i = 2; i <= n; i++)
            {
        
                int len = res.size(); // 得到当前长度，用于下一次添加
                for (int j = 0; j < len; j++)
                    res[j] *= 2;    // 末位加0
                for (int j = len-1; j>=0 ; j--)
                    res.push_back(res[j]+1);    // 末位加1
            }
            return res;
        }
    };

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MTcyODQzMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
复杂度分析：

*  时间复杂度：O(2^n)
 *  空间复杂度：O(2^n)

## 其他方式 ##

其实这道题感觉上复杂度不能再优化了。因为无论如何，2^n个解都需要逐个运算。  
只不过对于规则的实现会有不同的解法。  
一、**使用移位运算符** （这两天两天总有它?）

class Solution {
        
    public:
        vector<int> grayCode(int n) {
        
            vector<int> result(1);
            result[0] = 0;
            for(int i = 1; i <= n; i++)
            {
        
                int e = 1 << (i - 1); //i - 1位结果前增加一位1
                for(int j = result.size() - 1; j >= 0; j--)
                {
           // 镜像排列
                    result.push_back(e + result[j]);
                }
            }
            return result;
        }
    };

二、**公式实现，使用异或运算符和…移位运算符**（这…直接实现数学定义?）  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MTcyODQzMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

class Solution {
        
    public:
        vector<int> grayCode(int n) {
        
            vector<int> gray = {
        };
            for(int binary = 0; binary < 1 << n; binary++)
            {
        
                gray.push_back(binary ^ binary >> 1);
            }
            return gray;
        }
    };

这也太巧妙了吧

## 写在最后 ##

这运算符……我怕是不是没学过?

[Link 1]: https://leetcode-cn.com/problems/gray-code/
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MTcyODQzMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/18/7813b6650b4c4f8faefd2bef1309ea96.png
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