二分查找

﹏ヽ暗。殇╰゛Y 2024-04-18 23:03 0阅读 0赞

**二分查找**，最基本的算法之一，也是面试中常被考察的重点，因为基本的算法最能反映出一个人的基础是否扎实。本文对二分查找相关题目做一个总结。

（本人第一次面试就被问到了，自面试以来第二个要求手撕的算法，当时没写出来，看到这篇文章，觉得很详细，转载一下）

**1. 给定一个有序（非降序）数组A，求任意一个i使得A\[i\]等于target，不存在则返回-1**

这个是最原始的二分查找题目，利用数组的有序特性，拆半查找，使得查找时间复杂度为O(logN)。请参考实现代码与注释。

int search(int A[], int n, int target)
    {
        int low = 0, high = n-1;
        while(low <= high)
        {
            // 注意：若使用(low+high)/2求中间位置容易溢出
            int mid = low+((high-low)>>1); 
            if(A[mid] == target)
                return mid;
            else if(A[mid] < target)
                low = mid+1;
            else // A[mid] > target
                high = mid-1;
        }
        return -1;
    }

**2. 给定一个有序（非降序）数组A，可含有重复元素，求最小的i使得A\[i\]等于target，不存在则返回-1**

此题也就是求target在数组中第一次出现的位置。这里可能会有人想先直接用原始的二分查找，如果不存在直接返回-1，如果存在，然后再顺序找到这个等于target值区间的最左位置，这样的话，最坏情况下的复杂度就是O（n）了，没有完全发挥出二分查找的优势。这里的解法具体过程请参考实现代码与注释。

int searchFirstPos(int A[], int n, int target)
    {
        if(n <= 0) return -1;
        int low = 0, high = n-1;
        while(low < high)
        {
            int mid = low+((high-low)>>1);
            if(A[mid] < target)
                low = mid+1;
            else // A[mid] >= target
                high = mid;
        }
        /* 
        循环过程中，当low大于0时，A[low-1]是小于target的，因为A[mid] < target时，
        low=mid+1；当high小于n-1时，A[high]是大于等于target的，因为A[mid] >= target时，
        high = mid；循环结束时，low 等于 high，所以，如果A[low](A[high])等于target，
        那么low(high)就是target出现的最小位置，否则target在数组中不存在。
        */
        if(A[low] != target)
            return -1;
        else
            return low;
    }

**3. 给定一个有序（非降序）数组A，可含有重复元素，求最大的i使得A\[i\]等于target，不存在则返回-1**

此题也就是求target在数组中最后一次出现的位置。与上一题基本一样，但是有个地方要注意，具体请参考实现代码与注释。

int searchLastPos(int A[], int n, int target)
    {    
        if(n <= 0) return -1;
        int low = 0, high = n-1;
        while(low < high)
        {
            /*
            这里中间位置的计算就不能用low+((high-low)>>1)了，因为当low+1等于high
            且A[low] <= target时，会死循环；所以这里要使用low+((high-low+1)>>1)，
            这样能够保证循环会正常结束。
            */
            int mid = low+((high-low+1)>>1);
            if(A[mid] > target)
                high = mid-1;
            else // A[mid] <= target
                low = mid;
        }
        /* 
        循环过程中，当high小于n-1时，A[high+1]是大于target的，因为A[mid] > target时，
        high=mid-1；当low大于0时，A[low]是小于等于target的，因为A[mid] <= target时，
        low = mid；循环结束时，low 等于 high，所以，如果A[high](A[low])等于target，
        那么high(low)就是target出现的最大位置，否则target在数组中不存在。
        */
        if(A[high] != target)
            return -1;
        else
            return high;
    }

**4. 给定一个有序（非降序）数组A，可含有重复元素，求最大的i使得A\[i\]小于target，不存在则返回-1。**

也就是求小于target的最大元素的位置。请参考实现代码与注释。

int searchLastPosLessThan(int A[], int n, int target)
    {
        if(n <= 0) return -1;
        int low = 0, high = n-1;
        while(low < high)
        {
            int mid = low+((high-low+1)>>1); // 注意，不要导致死循环
            if(A[mid] < target)
                low = mid;
            else // A[mid] >= target
                high = mid-1;
        }
        /* 
        循环过程中，当low大于0时，A[low]是小于target的，因为A[mid] < target时，
        low=mid；当high小于n-1时，A[high+1]是大于等于target的，因为A[mid] >= target时，
        high = mid-1；循环结束时，low 等于 high，所以，如果A[low](A[high])小于target，
        那么low(high)就是要找的位置，否则不存在这样的位置（A[0] >= target时）。
        */
        return A[low] < target ? low : -1;
    }

**5. 给定一个有序（非降序）数组A，可含有重复元素，求最小的i使得A\[i\]大于target，不存在则返回-1。**

也就是求大于target的最小元素的位置。请参考实现代码与注释。

int searchFirstPosGreaterThan(int A[], int n, int target)
    {
        if(n <= 0) return -1;
        int low = 0, high = n-1;
        while(low < high)
        {
            int mid = low+((high-low)>>1);
            if(A[mid] > target)
                high = mid;
            else // A[mid] <= target
                low = mid+1;
        }
        /* 
        循环过程中，当low大于0时，A[low-1]是小于等于target的，因为A[mid] <= target时，
        low=mid+1；当high小于n-1时，A[high]是大于target的，因为A[mid] > target时，
        high = mid；循环结束时，low 等于 high，所以，如果A[high](A[low])大于target，
        那么high(low)就是要找的位置，否则不存在这样的位置（A[n-1] <= target时）。
        */
        return A[high] > target ? high : -1;
    }

**6. 给定一个有序（非降序）数组A，可含有重复元素，求target在数组中出现的次数**

求出第一次出现位置和最后一次出现位置。由于前面都已实现，这里不多解释。请参考实现代码与注释

int count(int A[], int n, int target)
    {
        int firstPos = searchFirstPos(A, n, target); // 第一次出现位置
        if(firstPos == -1)
            return 0;
        int lastPos = searchLastPos(A, n, target);  // 最后一次出现位置
        return lastPos-firstPos+1;  // 出现次数
    }

此题描述或者改为求目标值在数组中的索引范围。

**7. 给定一个有序（非降序）数组A，若target在数组中出现，返回位置，若不存在，返回它应该插入的位置**

如    \[1,3,5,6\], 5 → 2  
\[1,3,5,6\], 2 → 1  
\[1,3,5,6\], 7 → 4  
\[1,3,5,6\], 0 → 0

int searchInsert(int A[], int n, int target) {
        // 如果比最大值还大，那插入位置就是位置n
        if(A[n-1] < target) 
            return n;
        int low = 0, high = n-1;
        while(low < high)
        {
            int mid = low+((high-low)>>1);
            if(A[mid] >= target)
                high = mid;
            else // A[mid] < target
                low = mid+1;
        }
        /*  
        循环过程中，当low大于0时，A[low-1]是小于target的，因为A[mid] < target时， 
        low=mid+1；当high小于n-1时，A[high]是大于等于target的，因为A[mid] >= target时， 
        high = mid；循环结束时，low 等于 high，所以，如果A[low](A[high])等于target， 
        那么low(high)就是target出现的位置，否则low就是target在数组中应该插入的位置。 
        */
        return high;
    }

**8. 给定一个有序（非降序）数组A，可含有重复元素，求绝对值最小的元素的位置**

找第一个大于等于0的位置，然后和前一个元素的绝对值比较，返回绝对值较小的元素的位置。请参考实现代码与注释

int searchMinAbs(int A[], int n)
    {
        int low = 0, high = n-1;
        while(low < high)
        {
            int mid = low+((high-low)>>1);
            if(A[mid] < 0)
                low = mid+1;
            else // A[mid] >= 0
                high = mid;
        }
        /* 循环结束时，如果low != n-1，A[low] >= 0，如果low>0，A[low-1] < 0 */
        if(low > 0 && abs(A[low-1]) < abs(A[low]))
            return low-1;
        else
            return low;
    }

**9. 给定一个有序（非降序）数组A和一个有序（非降序）数组B，可含有重复元素，求两个数组合并结果中的第k(k>=0)个数字。**

这个题目出现了两个数组，有序的，不管怎样我们就应该首先考虑二分查找是否可行。若使用顺序查找，时间复杂度最低为O(k)，就是类似归并排序中的归并过程。使用用二分查找时间复杂度为O(logM+logN)。二分查找的具体实现过程请参考实现代码与注释。

int findKthIn2SortedArrays(int A[], int m, int B[], int n, int k)
    {
        if(m <= 0) // 数组A中没有元素，直接在B中找第k个元素
            return B[k];
        if(n <= 0) // 数组B中没有元素，直接在A中找第k个元素
            return A[k];
        int i = (m-1)>>1; // 数组A的中间位置
        int j = (n-1)>>1; // 数组B的中间位置
        if(A[i] <= B[j])  // 数组A的中间元素小于等于数组B的中间元素
        {
            /*
            设x为数组A和数组B中小于B[j]的元素数目，则i+1+j+1小于等于x，
            因为A[i+1]到A[m-1]中还可能存在小于等于B[j]的元素；
            如果k小于i+1+j+1，那么要查找的第k个元素肯定小于等于B[j]，
            因为x大于等于i+1+j+1；既然第k个元素小于等于B[j]，那么只
            需要在A[0]~A[m-1]和B[0]~B[j]中查找第k个元素即可，递归调用下去。
            */
            if(k < i+1+j+1)
            {
                if(j > 0)
                    return findKthIn2SortedArrays(A, m, B, j+1, k);
                else // j == 0时特殊处理，防止死循环
                {
                    if(k == 0)
                        return min(A[0], B[0]);
                    if(k == m)
                        return max(A[m-1], B[0]);
                    return A[k] < B[0] ? A[k] : max(A[k-1], B[0]);
                }
            }
            /*
            设y为数组A和数组B中小于于等于A[i]的元素数目，则i+1+j+1大于等于y；
            如果k大于等于i+1+j+1，那么要查找到第k个元素肯定大于A[i]，因为
            i+1+j+1大于等于y；既然第k个元素大于A[i]，那么只需要在A[i+1]~A[m-1]
            和B[0]~B[n-1]中查找第k-i-1个元素，递归调用下去。
            */
            else
                return findKthIn2SortedArrays(A+i+1, m-i-1, B, n, k-i-1);
        } 
        // 如果数组A的中间元素大于数组B的中间元素，那么交换数组A和B，重新调用即可
        else
            return findKthIn2SortedArrays(B, n, A, m, k);
    }

**10. 一个有序（升序）数组，没有重复元素，在某一个位置发生了旋转后，求target在变化后的数组中出现的位置，不存在则返回-1**

如 0 1 2 4 5 6 7 可能变成 4 5 6 7 0 1 2

我们先比较中间元素是否是目标值，如果是返回位置。如果不是，我们就应该想办法将搜索区间减少一半。因为存在旋转变化，所以我们要多做一些判断。我们知道因为只有一次旋转变化，所以中间元素两边的子数组肯定有一个是有序的，那么我们可以判断target是不是在这个有序的子数组中，从而决定是搜索这个子数组还是搜索另一个子数组。具体请参考实现代码与注释。

int searchInRotatedArray(int A[], int n, int target) 
    {
        int low = 0, high = n-1;
        while(low <= high)
        {
            int mid = low+((high-low)>>1);
            if(A[mid] == target) 
                return mid;
            if(A[mid] >= A[low]) 
            {
                // low ~ mid 是升序的
                if(target >= A[low] && target < A[mid])
                    high = mid-1;
                else
                    low = mid+1;
            }
            else
            {
                // mid ~ high 是升序的
                if(target > A[mid] && target <= A[high])
                    low = mid+1;
                else
                    high = mid-1;
            }
        }
        return -1;
    }

如果这样的数组中存在重复元素，还能使用二分吗？答案是不能。请看几个例子

\[1, 2, 2, 2, 2\], \[2, 1, 2, 2, 2\], \[2, 2, 1, 2, 2\], \[2, 2, 2, 1, 2\], \[2, 2, 2, 2, 1\]这些都是有第一个数组旋转一次变化来的，我们不能通过二分确定是否存在元素1.

**11. 一个有序（升序）数组，没有重复元素，在某一个位置发生了旋转后，求最小值所在位置**

如果中间元素小于左端元素，则最小值在左半区间内（包含中间元素）；如果中间元素大于右端元素，则最小值在右半区间内（包含中间元素）。请参考实现代码与注释。

int searchMinInRotatedArray(int A[], int n) 
    {
        if(n == 1)
            return 0;
        int low = 0, high = n-1;
        while(low < high-1) // 保证mid != low且mid != high
        {
            int mid = low+((high-low)>>1);
            if(A[mid] < A[low]) // 最小值在low~mid
                high = mid;
            else // A[mid] > A[low], // 最小值在mid和high之间
                low = mid;
        }
        return A[low] < A[low+1] ? low : low+1;
    }

**12. 一个有序（升序）数组，没有重复元素，在某一个位置发生了旋转后，求第k(k > 0)小元素的位置**

我们可以利用上一题的解答，求出最小值所在位置后，便可以求出第k小元素。请参考实现代码与注释

int searchKthInRotatedArray(int A[], int n, int k) 
    {
        int posMin = searchMinInRotatedArray(A, n);
        return (posMin+k-1)%n;
    }