数据结构（一）树型结构

素颜马尾好姑娘i 2024-04-18 18:47 64阅读 0赞

只总结一些知识点，不包含代码和画图，相关画图推荐相关文章链接。

### 满二叉树 ###

定义： 一棵深度为k，且有2^k-1个节点的树即为满二叉树。即叶子节点都在同一层，除了叶子节点外的所有节点都有两个子节点。

**第n层的节点数**：2^(n-1)

**总节点数**：2^k -1

**树的高度: log2 (总节点数+1)**

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### 完全二叉树 ###

与满二叉树定义类似，不同是最后一层的节点不一定是满的，而除了最后一层的其他层节点数都是满的。

满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树。

### 二叉搜索树（BST） ###

*  左子树上所有结点的值均小于或等于它的根结点的值。
 *  右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值。
 *  左、右子树也分别为二叉查找树。
 *  存在极端情况节点全部位于一条分支上，变成线性查找（比如进入树的顺序是1、2、3、4，会变成一个单一右子树链表）。
 *  查找和插入时间复杂度最好的情况O(Log2n)，最差是O(n)
 *  查找过程即比较当前值小于当前节点，就查找左子树，大于当前节点就插右子树，递归查找。平衡二叉树和红黑树也是同理，只是在插入的时候会判断是否符合树的规则，进行树的调整。

### 平衡二叉树 ###

*  基于二叉搜索树，实现自平衡。避免出现像二叉搜索树极端情况变成链表的情况。
 *  任意节点的两个子树的高度差的绝对值不超过1，也被称为高度平衡树。
 *  平衡因子：节点的左子树和右子树的高度差，在平衡二叉树中只有三个取值，1代表左子树比右子树高，0表示一样高，-1表示右子树比左子树高。
 *  最小失衡子树：在新插入的结点向上查找，以第一个平衡因子的绝对值超过 1 的结点为根的子树称为最小不平衡子树。新插入一个节点可能导致多个节点失衡，但是只要调整最小失衡树就能将失衡的树调整为平衡的树。
 *  调整的方式分为左旋和右旋。平衡二叉树插入节点4种情况，调整的方式也不同。

1.  LL,基于最小失衡树根节点的左孩子的左子树插入,左边高，右旋。
2.  RR,基于最小失衡树根节点的右孩子的右子树插入,右边高，左旋。
3.  LR,基于最小失衡树根节点的左孩子的右子树插入,先左旋再右旋。
4.  RL,基于最小失衡树根节点的右孩子的左子树插入,先右旋再左旋。

*  左旋流程如下

1.  节点的右孩子替代此节点位置
2.  右孩子的左子树变为该节点的右子树
3.  节点本身变为右孩子的左子树

*  右旋流程如下

1.  节点的左孩子代表此节点
2.  节点的左孩子的右子树变为节点的左子树
3.  将此节点作为左孩子节点的右子树。

*  插入和查询的时间复杂度都是O(logn)。
 *  平衡二叉树可以是空树。

详细图解参考这篇文章[https://mp.weixin.qq.com/s/zav3hOoj6eszlOM7YfgYeA][https_mp.weixin.qq.com_s_zav3hOoj6eszlOM7YfgYeA]

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### 红黑树 ###

基于二叉搜索树，通过节点变色和左旋右x

**红黑树的特性**

1.  节点是红色或黑色。
2.  根节点是黑色。
3.  每个叶子节点都是黑色的空节点（NIL节点）。
4.  每个红色节点的两个子节点都是黑色。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)
5.  从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点。

*  根据红黑树的特性左右子树的高度差不会超过2倍，比如左子树是4个黑色节点，右子树是黑红相间就是8个（需要跟左子树保持相同数目的黑色节点）。

**红黑树插入**

调整二叉树的平衡，有两种操作，一种是变色，一种是左旋和右旋。插入数据按照红色节点插入，因为如果插入的节点位置的父节点是黑色的，插入后不影响红黑树结构，如果父节点是红色才需要调整。如果直接插入黑色节点，那么直接就破坏红黑树的结构了。以下如果根据几个场景总结。

1.  红黑树是空树。直接插入节点，节点颜色设置黑色，因为根节点要设置成黑色。
2.  插入的节点key值已经存在，因为本身就是符合条件的红黑树，只要把当前要插入的节点颜色设置成已存在的节点颜色，替换节点即可。
3.  插入节点的父节点为黑色，设置当前节点为红色，直接插入即可。
4.  插入节点的父节点为红色（父节点为红色，祖父节点肯定是存在且为黑色，红黑树不可以是红红，且根节点是黑色），有几种情况。

以下为插入节点的父节点为红色的情况。假设父亲节点的兄弟节点为叔叔节点。

1.  叔叔节点存在，且也为红色的情况。把父节点和叔叔节点设置成黑色，祖父设置成红色。如果祖父节点不是根节点，那么如果祖父的父节点也是红色，继续往上变色调整，如果变到根节点而根节点必须为黑色，则通过左旋右旋调整，和平衡二叉树的LL,LR,RR,RL调整方式一致。如果祖父节点是根节点，那么祖父节点要设置成黑色，此时会变成祖父、父、叔叔节点都变成黑色（黑色节点数增加，这是唯一会增加黑色节点的场景）。
2.  叔叔节点不存在为叶子节点（叔叔不是红色节点肯定是叶子空节点，不然父节点是红色节点，叔叔节点为黑色，两边树高度不一致，就不满足红黑树）。此时和平衡二叉树一致，如果父节点是祖父节点的左孩子，当前插入的是父节点的左边，即LL，则右旋。如果是LR则左旋再右旋，如果是RR则左旋，如果是RL则右旋再左旋。

**红黑树删除**

*  删除即先查到对应的节点，删除节点分三种情况。

1.  如果要删除的节点没有子节点直接删除。
2.  如果有一个子节点，删除后该子节点替换该节点。
3.  如果有两个节点，则用大于当前节点的最小节点替代（比如右孩子如果只有一个节点，就是右孩子，如果右孩子有个左子节点，就是右孩子的左子节点），也称为后继结点。也可以用前继节点，即小于当前节点的最大节点。

*  待删除结点被替代节点替代后（即两个节点交换位置，直接删掉待删除节点），在不考虑结点的键值的情况下，对于树来说，可以认为删除的是替代结点（因为现在待删除节点的位置是在替换节点原来的位置）。所以删除节点，要考虑替换节点位置被删除后，怎么维持树的平衡。

1.  替换结点是红色结点，由于红色节点删除后不会影响树的平衡，只要把替换结点的颜色设为删除的结点的颜色，与删除节点交换位置，将待删除节点删除即可。
2.  替换节点是黑色节点有多种情况。（1）替换节点是其父节点的左子节点。（1.1）兄弟节点是红色（此时可以得知父亲节点是黑色，子节点也是黑色）。先把兄弟节点变黑色，父亲节点变红色，再左旋或右旋。（1.2）替换节点的兄弟节点是黑色（无法确定父节点和子节点的颜色）。情况太多参考下面提供的链接。简单总结就基于替换节点的兄弟节点进行LL RR RL LR（第二个字母表示红色子节点的位置）的处理方式,再变色。如果兄弟节点的子节点没有红色，则把兄弟节点变红，更改替换节点为父节点，自底向上处理，如果到父节点是根节点的情况还是没有，把兄弟节点变红就结束了。删除一个黑色替换节点的核心就是借一个红色节点来变色替换，为什么借红色？因为红色借过来不会影响红黑树的平衡，兄弟节点没得借就把兄弟节点变红，让父亲节点成为替换节点，父亲节点去跟叔叔节点借。

**红黑树时间复杂度**

*  红黑树查找和插入平均时间复杂度O(logN)，最差是O(2logN)。

**为什么有了平衡二叉树还要有红黑树？**

*  因为平衡二叉树要求的是高度平衡，每次插入数据可能都需要调整树结构维持树的高度平衡，如果插入和删除比较频繁的话，会导致树频繁调整使得性能降低。红黑树是一种不严格的平衡树，保持一定的平衡性，树的调整会比平衡二叉树少，但是查询平衡二叉树性能会高一点。如果插入删除比较频繁就用红黑树，查询比较频繁就用平衡二叉树。

详细图解可以参考这篇文章  [https://www.jianshu.com/p/e136ec79235c][https_www.jianshu.com_p_e136ec79235c]

[https_mp.weixin.qq.com_s_zav3hOoj6eszlOM7YfgYeA]: https://mp.weixin.qq.com/s/zav3hOoj6eszlOM7YfgYeA
[https_www.jianshu.com_p_e136ec79235c]: https://www.jianshu.com/p/e136ec79235c