时间复杂度

以你之姓@ 2024-04-18 11:04 82阅读 0赞

# **时间复杂度** #

## **一、时间复杂度的定义**  ##

一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，**T(n)/f(n)**的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的**同数量级函数**。记作**T(n)=O(f(n))**，称**O(f(n))**为算法的**渐进时间复杂度**(*O**是数量级的符号* )，简称**时间复杂度**。

定义：如果一个问题的规模是n，解这一问题的某一算法所需要的时间为T(n)，它是n的某一函数 ，则T(n)称为这一算法的“**时间复杂性**”。

当输入量n逐渐加大时，时间复杂性的极限情形称为算法的“**渐近时间复杂性**”。

我们常用大O表示法表示时间复杂性，注意它是某一个算法的时间复杂性。大O表示只是说有上界，由定义如果f(n)=O(n)，那显然成立f(n)=O(n^2)，它给你一个上界，但并不是最大上界，但人们在表示的时候一般都习惯表示前者。

此外，一个问题本身也有它的复杂性，如果某个算法的复杂性到达了这个问题复杂性的下界，那就称这样的算法是最佳算法。  
“大O记法”：在这种描述中使用的基本参数是 n，即问题实例的规模，把复杂性或运行时间表达为n的函数。这里的“O”表示量级 (order)，比如说“二分检索是 O(logn)的”,也就是说它需要“通过logn量级的步骤去检索一个规模为n的数组”记法 O ( f(n) )表示当 n增大时，运行时间至多将以正比于 f(n)的速度增长。  
  
这种渐进估计对算法的理论分析和大致比较是非常有价值的，但在实践中细节也可能造成差异。例如，一个低附加代价的O(n2)算法在n较小的情况下可能比一个高附加代价的 O(nlogn)算法运行得更快。当然，随着n足够大以后，具有较慢上升函数的算法必然工作得更快。

# #

## **二、时间复杂度计算步骤**** ** ##

### 1. 计算出基本操作的执行次数T(n)  ###

基本操作即算法中的每条语句（以;号作为分割），语句的执行次数也叫做语句的频度。在做算法分析时，一般默认为考虑最坏的情况。

### 2. 计算出T(n)的数量级   ###

求T(n)的数量级，只要将T(n)进行如下一些操作：  
  忽略常量、低次幂和最高次幂的系数。  
  令f(n)=T(n)的数量级。

### 3. 用大O来表示时间复杂度  ###

int num1, num2;
    for(int i=0; i<n; i++) 
    {
        num1 += 1;
        for(int j=1; j<=n; j*=2) 
        {
            num2 += num1;
        }
    }

当n趋近于无穷大时，如果lim(T(n)/f(n))的值为不等于0的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n))。

## **三、时间复杂度计算举例** ##

### **正常计算的计算步骤** ###

分析：  
①

> 语句int num1, num2;的频度为1；
> 
> 语句i=0;的频度为1；
> 
> 语句i<n; i++; num1+=1; j=1; 的频度为n；
> 
> 语句j<=n; j\*=2; num2+=num1;的频度为n\*log2n；
> 
> T(n) = 2 + 4n + 3n\*log2n

②

忽略掉T(n)中的常量、低次幂和最高次幂的系数。  
f(n) = n\*log2n

③

lim(T(n)/f(n)) = (2+4n+3n\*log2n) / (n\*log2n) = 2\*(1/n)\*(1/log2n) + 4\*(1/log2n) + 3  
当n趋向于无穷大，1/n趋向于0，1/log2n趋向于0  
所以极限等于3。  
T(n) = O(n\*log2n)  
  
**简化的计算步骤**   
再来分析一下，可以看出，决定算法复杂度的是执行次数最多的语句，这里是num2 += num1，一般也是最内循环的语句。  
并且，通常将求解极限是否为常量也省略掉？  
于是，**以上步骤可以简化为：**

1. 找到执行次数最多的语句   
2. 计算语句执行次数的数量级  
3. 用大O来表示结果

继续以上述算法为例，进行分析：

①

执行次数最多的语句为num2 += num1

②

T(n) = n\*log2n  
f(n) = n\*log2n

③

// lim(T(n)/f(n)) = 1  
T(n) = O(n\*log2n)

\-------------------------------------------------------------------------------  
**一些补充说明**   
最坏时间复杂度   
  算法的时间复杂度不仅与语句频度有关，还与问题规模及输入实例中各元素的取值有关。一般不特别说明，讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。这就保证了算法的运行时间不会比任何更长。  
  
求数量级   
即求对数值(log)，默认底数为10，简单来说就是“一个数用标准科学计数法表示后，10的指数”。例如，5000=5x10 3 (log5000=3) ，数量级为3。另外，一个未知数的数量级为其最接近的数量级，即最大可能的数量级。  
  
求极限的技巧   
要利用好1/n。当n趋于无穷大时，1/n趋向于0   
  
\------------------------------------------------------------------------  
**一些规则(引自：[时间复杂度计算][Link 1]** **)**   
1) 加法规则   
T(n,m) = T1(n) + T2(n) = O (max ( f(n), g(m) )  
  
2) 乘法规则   
T(n,m) = T1(n) \* T2(m) = O (f(n) \* g(m))  
  
3) 一个特例（问题规模为常量的时间复杂度）   
在大O表示法里面有一个特例，如果T1(n) ＝ O(c)， c是一个与n无关的任意常数，T2(n) = O ( f(n) ) 则有  
T(n) = T1(n) \* T2(n) = O ( c\*f(n) ) = O( f(n) )  
也就是说，在大O表示法中，任何非0正常数都属于同一数量级，记为O(1)。  
  
4) 一个经验规则   
复杂度与时间效率的关系：  
c < log2n < n < n\*log2n < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n! （c是一个常量）  
|------------------|-------------------|-------------|  
   较好            一般        较差  
其中c是一个常量，如果一个算法的复杂度为c 、 log2n 、n 、 n\*log2n,那么这个算法时间效率比较高 ，如果是 2n , 3n ,n!,那么稍微大一些的n就会令这个算法不能动了，居于中间的几个则差强人意。

理解补充

1.一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

2.一般情况下，算法的基本操作重复执行的次数是模块n的某一个函数f（n），因此，算法的时间复杂度记做：T（n）=O（f（n））。随着模块n的增大，算法执行的时间的增长率和f（n）的增长率成正比，所以f（n）越小，算法的时间复杂度越低，算法的效率越高。
    
    在计算时间复杂度的时候，先找出算法的基本操作，然后根据相应的各语句确定它的执行次数，再找出T（n）的同数量级（它的同数量级有以下：1，Log2n ，n ，nLog2n ，n的平方，n的三次方，2的n次方，n！），找出后，f（n）=该数量级，若T(n)/f(n)，求极限可得到一常数c，则时间复杂度T（n）=O（f（n））。

3.常见的时间复杂度

按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：

常数阶O(1),  对数阶O(log2n),  线性阶O(n),  线性对数阶O(nlog2n),  平方阶O(n^2)， 立方阶O(n^3),...， k次方阶O(n^k), 指数阶O(2^n) 。

其中，

1.  O(n)，O(n^2)， 立方阶O(n^3),...， k次方阶O(n^k) 为多项式阶时间复杂度，分别称为一阶时间复杂度，二阶时间复杂度。。。。

2.O(2^n)，指数阶时间复杂度，该种不实用。

3.对数阶O(log2n),   线性对数阶O(nlog2n)，除了常数阶以外，该种效率最高。

例：算法：

for（i=1;i<=n;++i）

{

for(j=1;j<=n;++j)

{

c[ i ][ j ]=0; //该步骤属于基本操作 执行次数：n^2

for(k=1;k<=n;++k)

c[ i ][ j ]+=a[ i ][ k ]*b[ k ][ j ];

//该步骤属于基本操作执行次数：n^3

}

则有 T（n）= n^2+n^3，根据上面括号里的同数量级，我们可以确定 n^3为T（n）的同数量级;

则有f（n）= n^3，然后根据T（n）/f（n）求极限可得到常数c;

则该算法的 时间复杂度：T（n）=O（n^3)。

## **四、时间复杂度各种情况分析** ##

### 1.并列循环的复杂度分析  ###

将各个嵌套循环的时间复杂度相加。  
例如：  
　　for (i=1; i<=n; i++)  
　　    x++;  
　　for (i=1; i<=n; i++)  
　　    for (j=1; j<=n; j++)  
　　        x++;  
解：  
第一个for循环  
T(n) = n  
f(n) = n  
时间复杂度为Ο(n)  
  
第二个for循环  
T(n) = n^2  
f(n) = n^2  
时间复杂度为Ο(n2)  
整个算法的时间复杂度为Ο(n+n2) = Ο(n2)。

###    2.函数调用的复杂度分析  ###

例如：  
public void printsum(int count)\{  
    int sum = 1;  
    for(int i= 0; i<n; i++)\{  
       sum += i;  
    \}     
    System.out.print(sum);  
\}  
分析：  
记住，只有可运行的语句才会增加时间复杂度，因此，上面方法里的内容除了循环之外，其余的可运行语句的复杂度都是O(1)。  
所以printsum的时间复杂度 = for的O(n)+O(1) = 忽略常量 = O(n)。

这里其实可以运用公式 num = n\*(n+1)/2，对算法进行优化，改为：  
public void printsum(int count)\{  
    int sum = 1;  
    sum = count \* (count+1)/2;     
    System.out.print(sum);  
\}  
这样算法的时间复杂度将由原来的O(n)降为O(1)，大大地提高了算法的性能。

###    3.混合情况（多个方法调用与循环）的复杂度分析  ###

例如：  
public void suixiangMethod(int n)\{  
    printsum(n);//1.1  
    for(int i= 0; i<n; i++)\{  
       printsum(n); //1.2  
    \}  
    for(int i= 0; i<n; i++)\{  
       for(int k=0; k  
        System.out.print(i,k); //1.3  
      \}  
  \}  
suixiangMethod 方法的时间复杂度需要计算方法体的各个成员的复杂度。  
也就是1.1+1.2+1.3 = O(1)+O(n)+O(n2) ----> 忽略常数 和 非主要项 == O(n2)  
  
\-----------------------------------------------------------------------

### **更多的例子**  ###

**O(1)**** **  
    交换i和j的内容  
    temp=i;  
    i=j;  
    j=temp;                      
    以上三条单个语句的频度为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关

的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。

**O(n^2)**** **

sum=0；       /\* 执行次数1 \*/  
for(i=1;i<=n;i++)        
   for(j=1;j<=n;j++)   
   sum++；       /\* 执行次数n2 \*/  
解：T(n) = 1 + n2 = O(n2)  
   for (i=1;i<n;i++)  
   \{    
       y=y+1;        ①     
       for (j=0;j<=(2\*n);j++)      
          x++;        ②        
   \}           
解：语句1的频度是n-1  
  语句2的频度是(n-1)\*(2n+1) = 2n2-n-1  
   T(n) = 2n2-n-1+(n-1) = 2n2-2  
   f(n) = n2  
   lim(T(n)/f(n)) = 2 + 2\*(1/n2) = 2  
   T(n) = O(n2).

**O(n)**                                    
         O(n3)   
          for(i=0;i<n;i++)  
          \{    
           for(j=0;j<i;j++)    
           \{  
            for(k=0;k<j;k++)  
            x=x+2;    
           \}  
          \}  
           解：当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 可以取

0,1,...,m-1 ,  所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i

从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)\*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/2次

T(n) = n(n+1)(n-1)/2 = (n^3-n)/2

f(n) = n^3

所以时间复杂度为O(n^3)。

## **五、时间复杂度常用结论** ##

访问数组中的元素是常数时间操作，或说O(1)操作。一个算法如 果能在每个步骤去掉一半数据元素，如二分检索，通常它就取 O(log n)时间。用strcmp比较两个具有n个字符的串需要O(n)时间。常规的矩阵乘算法是O(n^3)，因为算出每个元素都需要将n对 元素相乘并加到一起，所有元素的个数是n^2。  
    指数时间算法通常来源于需要求出所有可能结果。例如，n个元 素的集合共有2n个子集,所以要求出所有子集的算法将是O(2^n)的。指数算法一般说来是太复杂了，除非n的值非常小，因为，在 这个问题中增加一个元素就导致运行时间加倍。不幸的是，确实有许多问题 (如著名的“巡回售货员问题” )，到目前为止找到的算法都是指数的。如果我们真的遇到这种情况，通常应该用寻找近似最佳结果的算法替代之。

## **六、常用排序算法的时间复杂度** ##

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