NEFU离散数学实验特别篇1-树和图

电玩女神 2024-04-17 13:37 63阅读 0赞

### 树相关概念 ###

> 离散数学中，树是一种重要的数据结构，它是一种无向连通图，并且不存在环。下面是树的相关概念和公式：
> 
> 1. 顶点数为n的树，边数为n-1。
> 
> 2. 度数为k的树中有k个分支。
> 
> 3. 一棵树中最多只有两个度数大于1的顶点，这些顶点称为树的端点或叶子，其余顶点称为分支或内部点。
> 
> 4. 一棵有n个顶点的满二叉树，深度为h，共有2^(h+1)-1个结点，其中叶子结点数为2^h。
> 
> 5. 一棵有n个顶点的完全二叉树，深度为h，共有2^h个结点，其中叶子结点数为2^(h-1)或2^h。
> 
> 6. 一棵二叉树的深度为h，最多有2^h-1个结点，最少有h个结点。
> 
> 7. 一棵n个结点的树，最多h=n-1，最小为1，树的高度即为树的深度。
> 
> 8. 一个树森林（由若干棵树组成）中，所有树的节点数n等于边数m+森林中树的棵树。
> 
> 9. 一棵树的生成森林中，边数为n-1。
> 
> 10. 一颗有n个顶点的有根树，每个顶点都有度数，度数为0的顶点称为叶子顶点，度数不为0的顶点称为内部顶点，如果叶子顶点的数量为m，那么内部顶点的数量为n-m。

#### 1. (程序题)2元完全正则树 ####

#### ![f96ee47f4d6e40c191d14f4c362b171d.png][] ####

> **思路**  
> P178概念题目啦  
> 知道啥是2元完全正则树即可  
> 概念拆分：  
> r元树：T的每个分支点至多有r个儿子  
> r元正则树：T的每个分支点恰好有r个儿子  
> r元完全正则树：T是r元正则树，且所有树叶的层数均为树高  
> 树的层数：树根到任意一点的通路长度  
> 树的高：最大层数

![43c48e73451144fbb0de5843905595a6.png][]

> 可以发现，对于树高为h的2元完全正则树
> 
> 顶点数=![2^\{h+1\}-1][2_h_1_-1]
> 
> 边数=0+2+4+8+16....  
> 树叶=![2^h][2_h]

#include<stdio.h>
    #include<stdlib.h>
    #include<math.h>
    
    int main(){
    	int h;
    	scanf("%d",&h);
    	int edge=0;
    	for(int i=1;i<=h;i++)edge+=1<<(i);
    	printf("%d %d %d",(1<<(h+1))-1,edge,1<<h);
    	return 0;
    }

#### 2. (程序题)树的边数![f6b3ea0d2e624355afa0b808008ee338.png][] ####

> 思路  
> 2元正则树：T的每个分支点恰有2个儿子  
> 其实想想最特殊的情况，2元完全正则树嘛（可以先看后面的一道题目）  
> 可以发现m = 2 ( t − 1 ) m=2(t-1)m=2(t−1)

#include<stdio.h>
    #include<stdlib.h>
    #include<math.h>
    int main(){
    	int t;
    	while(~scanf("%d",&t)){
    		printf("%d\n",2*(t-1));
    	}
    	return 0;
    }

### 图相关概念 ###

> 离散数学是一门研究离散化的数学学科，图论是其中的一个分支，涉及到一些基本概念和公式，包括：
> 
> 1. 图的基本概念：  
> \- 顶点（vertex）：图中的节点。  
> \- 边（edge）：连接顶点的线段。  
> \- 无向图（undirected graph）：图中的边没有方向。  
> \- 有向图（directed graph）：图中的边有方向。  
> \- 加权图（weighted graph）：图中的边带有权值。
> 
> 2. 图的表示方法：  
> \- 邻接矩阵：用一个矩阵来表示图中顶点之间的关系。  
> \- 邻接表：用链表来存储图中顶点之间的关系。  
> \- 关联矩阵：用一个矩阵来表示图中边与顶点之间的关系。

#### 1. (程序题)度数序列 ####

![faa792ef4d3742878f07586fca8d1dc9.png][]

> **思路**  
> 可以看一下书本P135的例6.3  
> 根据握手定理：所有顶点度数之和为边数两倍。  
> 那么有推论，**奇度顶点的个数一定是偶数的。**

#include<stdio.h>
    #include<stdlib.h>
    #include<math.h>
    int main(){
    	int n;
    	while(~scanf("%d",&n)){
    		int cnt=0;
    		for(int i=1,x;i<=n;i++){
    			scanf("%d",&x);
    			if(x&1)cnt++;// 如果x是奇数，计数器cnt加1 
    		}
    		if(cnt&1)puts("no"); // 如果计数器cnt是奇数，输出"no"
    		else puts("yes");
    	}
    	return 0;
    }

#### 2. (程序题)平面图 ####

![a47c3ec60acb4183b557d1782f6b7526.png][]

> **思路**  
> 书本P159定理6.16  
> 设G为任意的连通的平面图，则n-m+r=2。其中n为顶点数，m为边数，r为面数满足
> 
> n-m+r=2

#include<stdio.h>
    #include<stdlib.h>
    #include<math.h>
    int main(){
    	int n,r;
    	while(~scanf("%d%d",&n,&r)){
    		printf("%d\n",n+r-2);
    	}
    	return 0;
    }

#### 3. (程序题)计算连通分支数 ####

![78e5477eabce40eda8d95e40a61a3a6f.png][]

> **思路**  
> 书P159推论  
> G是具有k（k>=2）个连通分支的平面图，则n-m +r=k +1

#include<stdio.h>
    #include<stdlib.h>
    #include<math.h>
    int main(){
    	int n,m,r;
    	scanf("%d%d%d",&n,&m,&r);
    	printf("%d",n-m+r-1);
    	return 0;
    }

#### 4. (程序题) 求悬挂顶点 ####

![3bedbff66bca499bb734ce0c69e4dc73.png][]

> **思路**  
> 根据握手定理：所有顶点度数之和为边数两倍  
> 悬挂顶点度数为1。  
> 设有x个悬挂顶点
> 
> **2m=(2+3+4+5+6)t+x  
> x=2m-20t**

#include<stdio.h>
    #include<stdlib.h>
    #include<math.h>
    int main(){
    	int m,t;
    	scanf("%d%d",&m,&t);
    	printf("%d",2*m-20*t);
    }

[f96ee47f4d6e40c191d14f4c362b171d.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/12/64bf4aff87e1429d876109bac4423d3c.png
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[2_h_1_-1]: https://latex.csdn.net/eq?2%5E%7Bh&plus;1%7D-1
[2_h]: https://latex.csdn.net/eq?2%5Eh
[f6b3ea0d2e624355afa0b808008ee338.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/12/efbeb9d44af64407929bc79293dca258.png
[faa792ef4d3742878f07586fca8d1dc9.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/12/f7334c1c415a4590b42224cd846a1ec8.png
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[78e5477eabce40eda8d95e40a61a3a6f.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/12/0e43a861abd54b43b52823ad8a6f2c6c.png
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