【算法优选】动态规划之斐波那契数列模型

灰太狼 2024-04-17 10:44 69阅读 0赞

#### 文章目录 ####

*  ?前言
 *  ?\[第 N 个泰波那契数\](https://leetcode.cn/problems/n-th-tribonacci-number/)
 *   *  ?题目描述
     *  ?算法流程
     *  ?代码实现
 *  ?\[使用最小花费爬楼梯\](https://leetcode.cn/problems/min-cost-climbing-stairs/)
 *   *  ?题目描述
     *  ?算法思路
     *   *  ?解法⼀：
         *  ?解法⼆：
     *  ?代码实现：
     *   *  解法一：
         *  解法二：
 *  ?\[解码方法\](https://leetcode.cn/problems/decode-ways/submissions/)
 *   *  ?题目描述
     *  ?算法思路
     *  ?代码实现
 *  ⭕总结

## ?前言 ##

动态规划相关题目都可以参考以下五个步骤进行解答：

1.  状态表⽰
2.  状态转移⽅程
3.  初始化
4.  填表顺序
5.  返回值

后面题的解答思路也将按照这五个步骤进行讲解。

## ?[第 N 个泰波那契数][N] ##

### ?题目描述 ###

泰波那契序列 Tn 定义如下：

T0 = 0, T1 = 1, T2 = 1, 且在 n >= 0 的条件下 Tn+3 = Tn + Tn+1 + Tn+2

给你整数 n，请返回第 n 个泰波那契数 Tn 的值。

*  示例 1：  
    输入：n = 4  
    输出：4  
    解释：  
    T\_3 = 0 + 1 + 1 = 2  
    T\_4 = 1 + 1 + 2 = 4
 *  示例 2：  
    输入：n = 25  
    输出：1389537

class Solution {
        
        public int tribonacci(int n) {
        
    
        }
    }

### ?算法流程 ###

1.  状态表⽰：

这道题可以「根据题⽬的要求」直接定义出状态表⽰：  
dp\[i\] 表⽰：第 i 个泰波那契数的值。

1.  状态转移⽅程：

题⽬已经⾮常贴⼼的告诉我们了：  
dp\[i\] = dp\[i - 1\] + dp\[i - 2\] + dp\[i - 3\]

1.  初始化：

从我们的递推公式可以看出， dp\[i\] 在 i = 0 以及 i = 1 的时候是没有办法进⾏推导的，因为 dp\[-2\] 或 dp\[-1\] 不是⼀个有效的数据。因此我们需要在填表之前，将 0, 1, 2 位置的值初始化。题⽬中已经告诉我们 dp\[0\] = 0,dp\[1\] = dp\[2\] = 1 。

1.  填表顺序：

毫⽆疑问是「从左往右」。

1.  返回值：

应该返回 dp\[n\] 的值。

### ?代码实现 ###

class Solution {
        
        public int tribonacci(int n) {
        
            int[] dp = new int[n + 3];
            dp[0] = 0;
            dp[1] = 1;
            dp[2] = 1;
            for(int i = 0; i <  n; i++) {
        
                dp[i + 3] = dp[i] + dp[i + 1] + dp[i + 2];
            }
            return dp[n];
        }
    }

## ?[使用最小花费爬楼梯][Link 1] ##

### ?题目描述 ###

给你一个整数数组 cost ，其中 cost\[i\] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

*  示例 1：  
    输入：cost = \[10,15,20\]  
    输出：15  
    解释：你将从下标为 1 的台阶开始。  
    \-支付 15 ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。  
    总花费为 15 。
 *  示例 2：  
    输入：cost = \[1,100,1,1,1,100,1,1,100,1\]  
    输出：6  
    解释：你将从下标为 0 的台阶开始。  
    \-支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 2 的台阶。  
    \-支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 4 的台阶。  
    \-支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 6 的台阶。  
    \-支付 1 ，向上爬一个台阶，到达下标为 7 的台阶。  
    \-支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 9 的台阶。  
    \-支付 1 ，向上爬一个台阶，到达楼梯顶部。  
    总花费为 6 。

class Solution {
        
        public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
        
    
        }
    }

### ?算法思路 ###

#### ?解法⼀： ####

1.  状态表⽰：

这道题可以根据「经验+题⽬要求」直接定义出状态表⽰：  
第⼀种：以 i 位置为结尾，然后一系列操作  
dp\[i\] 表⽰：到达 i 位置时的最⼩花费。（注意：到达 i 位置的时候， i 位置的钱不需要算上）

1.  状态转移⽅程：

根据最近的⼀步，分情况讨论：  
▪ 先到达 i - 1 的位置，然后⽀付 cost\[i - 1\] ，接下来⾛⼀步⾛到 i 位置：dp\[i - 1\] + csot\[i - 1\] ；  
▪ 先到达 i - 2 的位置，然后⽀付 cost\[i - 2\] ，接下来⾛⼀步⾛到 i 位置：dp\[i - 2\] + csot\[i - 2\] 。

1.  初始化：

从我们的递推公式可以看出，我们需要先初始化 i = 0 ，以及 i = 1 位置的值。容易得到 dp\[0\] = dp\[1\] = 0 ，因为不需要任何花费，就可以直接站在第 0 层和第 1 层上。

1.  填表顺序：

根据「状态转移⽅程」可得，遍历的顺序是「从左往右」。

1.  返回值：

根据「状态表⽰以及题⽬要求」，需要返回 dp\[n\] 位置的值。

#### ?解法⼆： ####

1.  状态表⽰：

这道题可以根据「经验+题⽬要求」直接定义出状态表⽰：第⼆种：以 i 位置为起点，进行一系列操作。  
dp\[i\] 表⽰：从 i 位置出发，到达楼顶，此时的最⼩花费。

1.  状态转移⽅程：

根据最近的⼀步，分情况讨论：  
▪ ⽀付 cost\[i\] ，往后⾛⼀步，接下来从 i + 1 的位置出发到终点： dp\[i + 1\] + cost\[i\] ；  
▪ ⽀付 cost\[i\] ，往后⾛两步，接下来从 i + 2 的位置出发到终点： dp\[i + 2\] + cost\[i\] ；  
我们要的是最⼩花费，因此 dp\[i\] = min(dp\[i + 1\], dp\[i + 2\]) + cost\[i\] 。

1.  初始化：

为了保证填表的时候不越界，我们需要初始化最后两个位置的值，结合状态表⽰易得： dp\[n - 1\] = cost\[n - 1\], dp\[n - 2\] = cost\[n - 2\]

1.  填表顺序：

根据「状态转移⽅程」可得，遍历的顺序是「从右往左」。

1.  返回值：

根据「状态表⽰以及题⽬要求」，需要返回 dp\[n\] 位置的值。也就是dp\[0\]与dp\[1\]中的较小值

### ?代码实现： ###

#### 解法一： ####

class Solution {
        
        public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
        
            int n = cost.length;
            int[] dp = new int[n + 1];
            for(int i = 2; i <= n; i++) {
        
                dp[i] = Math.min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
            }
            return dp[n];
        }
    }

#### 解法二： ####

class Solution {
        
        public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
        
            // 1. 创建 dp 表
            // 2. 初始化
            // 3. 填表
            // 4. 返回值
            int n = cost.length;
            int[] dp = new int[n];
            dp[n - 1] = cost[n - 1]; dp[n - 2] = cost[n - 2];
            for(int i = n - 3; i >= 0; i--) {
        
                dp[i] = Math.min(dp[i + 1], dp[i + 2]) + cost[i];
            }
            return Math.min(dp[0], dp[1]);
        }
    }

## ?[解码方法][Link 2] ##

### ?题目描述 ###

一条包含字母 A-Z 的消息通过以下映射进行了 编码 ：

‘A’ -> “1”  
‘B’ -> “2”  
…  
‘Z’ -> “26”  
要 解码 已编码的消息，所有数字必须基于上述映射的方法，反向映射回字母（可能有多种方法）。例如，“11106” 可以映射为：

“AAJF” ，将消息分组为 (1 1 10 6)  
“KJF” ，将消息分组为 (11 10 6)  
注意，消息不能分组为 (1 11 06) ，因为 “06” 不能映射为 “F” ，这是由于 “6” 和 “06” 在映射中并不等价。

给你一个只含数字的 非空 字符串 s ，请计算并返回 解码 方法的 总数 。

题目数据保证答案肯定是一个 32 位 的整数。

*  示例 1：  
    输入：s = “12”  
    输出：2  
    解释：它可以解码为 “AB”（1 2）或者 “L”（12）。
 *  示例 2：  
    输入：s = “226”  
    输出：3  
    解释：它可以解码为 “BZ” (2 26), “VF” (22 6), 或者 “BBF” (2 2 6) 。
 *  示例 3：  
    输入：s = “06”  
    输出：0  
    解释：“06” 无法映射到 “F” ，因为存在前导零（“6” 和 “06” 并不等价）。

class Solution {
        
        public int numDecodings(String s) {
        
    
        }
    }

### ?算法思路 ###

类似于斐波那契数列~

1.  状态表⽰：

根据以往的经验，对于⼤多数线性 dp ，我们经验上都是「以某个位置结束或者开始」做⽂章，这⾥我们继续尝试「⽤i位置为结尾」结合「题⽬要求」来定义状态表⽰。dp\[i\] 表⽰：字符串中 \[0，i\] 区间上，⼀共有多少种编码⽅法。

1.  状态转移⽅程：

定义好状态表⽰，我们就可以分析 i 位置的 dp 值，如何由「前⾯」或者「后⾯」的信息推导出  
来。

关于 i 位置的编码状况，我们可以分为下⾯两种情况：

*  让 i 位置上的数单独解码成⼀个字⺟；
 *  让 i 位置上的数与 i - 1 位置上的数结合，解码成⼀个字⺟。

下⾯我们就上⾯的两种解码情况，继续分析：

*   *  让i位置上的数单独解码成⼀个字⺟，就存在「解码成功」和「解码失败」两种情况：
 *   *   *  解码成功：当 i 位置上的数在 \[1, 9\] 之间的时候，说明 i 位置上的数是可以单独解码的，那么此时 \[0, i\] 区间上的解码⽅法应该等于 \[0, i - 1\] 区间上的解码⽅法。因为 \[0, i - 1\] 区间上的所有解码结果，后⾯填上⼀个 i 位置解码后的字⺟就可以了。此时 dp\[i\] = dp\[i - 1\] ；
 *   *   *  解码失败：当 i 位置上的数是 0 的时候，说明 i 位置上的数是不能单独解码的，那么此时 \[0, i\] 区间上不存在解码⽅法。因为 i 位置如果单独参与解码，但是解码失败了，那么前⾯做的努⼒就全部⽩费了。此时 dp\[i\] = 0 。
 *   *  让 i 位置上的数与 i - 1 位置上的数结合在⼀起，解码成⼀个字⺟，也存在「解码成功」和「解码失败」两种情况：
 *   *   *  解码成功：当结合的数在 \[10, 26\] 之间的时候，说明 \[i - 1, i\] 两个位置是可以解码成功的，那么此时 \[0, i\] 区间上的解码⽅法应该等于 \[0, i - 2 \]区间上的解码⽅法，原因同上。此时dp\[i\] = dp\[i - 2\] ；
 *   *   *  解码失败：当结合的数在 \[0, 9\] 和 \[27 , 99\] 之间的时候，说明两个位置结合后解码失败（这⾥⼀定要注意 00 01 02 03 04 …这⼏种情况），那么此时 \[0, i\] 区间上的解码⽅法就不存在了，原因依旧同上。此时 dp\[i\] = 0 。

综上所述： dp\[i\] 最终的结果应该是上⾯四种情况下，解码成功的两种的累加和（因为我们关⼼的是解码⽅法，既然解码失败，就不⽤加⼊到最终结果中去），因此可以得到状态转移⽅程（ dp\[i\] 默认初始化为 0 ）：

*  当 s\[i\] 上的数在 \[1, 9\] 区间上时： dp\[i\] += dp\[i - 1\] ；
 *  当 s\[i - 1\] 与 s\[i\] 上的数结合后，在 \[10, 26\] 之间的时候： dp\[i\] += dp\[i - 2\] ；

如果上述两个判断都不成⽴，说明没有解码⽅法， dp\[i\] 就是默认值 0 。

1.  初始化：

*  ⽅法⼀（直接初始化）：  
    由于可能要⽤到 i - 1 以及 i - 2 位置上的 dp 值，因此要先初始化「前两个位置」。  
    初始化 dp\[0\] ：
 *   *  当 s\[0\] == ‘0’ 时，没有编码⽅法，结果 dp\[0\] = 0 ；
 *   *  当 s\[0\] != ‘0’ 时，能编码成功， dp\[0\] = 1

初始化 dp\[1\] ：

*   *  当 s\[1\] 在 \[1，9\] 之间时，能单独编码，此时 dp\[1\] += dp\[0\] （原因同上，dp\[1\] 默认为 0 ）
 *   *  当 s\[0\] 与 s\[1\] 结合后的数在 \[10, 26\] 之间时，说明在前两个字符中，⼜有⼀种编码⽅式，此时 dp\[1\] += 1
 *  ⽅法⼆（添加辅助位置初始化）：  
    可以在最前⾯加上⼀个辅助结点，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：
 *   *  辅助结点⾥⾯的值要保证后续填表是正确的；
 *   *  下标的映射关系

1.  填表顺序：

毫⽆疑问是「从左往右」

1.  返回值：

应该返回 dp\[n - 1\] 的值，表⽰在 \[0, n - 1\] 区间上的编码⽅法。

### ?代码实现 ###

class Solution {
        
    
        public int numDecodings(String ss) {
        
            // 1. 创建 dp 表
            // 2. 初始化
            // 3. 填表
            // 4. 返回值
            int n = ss.length();
            char[] s = ss.toCharArray();
            int[] dp = new int[n];
            if(s[0] != '0') {
        
                dp[0] = 1; // 初始化第⼀个位置
            }
            if(n == 1) {
        
                return dp[0]; // 处理边界情况
            }
            // 初始化第⼆个位置
            if(s[1] != '0' && s[0] != '0') {
        
                dp[1] += 1;
            }
            int t = (s[0] - '0') * 10 + s[1] - '0';
            if(t >= 10 && t <= 26) {
        
                dp[1] += 1;
            }
            for(int i = 2; i < n; i++) {
        
                // 先处理第⼀种情况
                if(s[i] != '0') {
        
                    dp[i] += dp[i - 1];
                }
                // 处理第⼆种情况
                int tt = (s[i - 1] - '0') * 10 + s[i] - '0';
                if(tt >= 10 && tt <= 26) {
        
                    dp[i] += dp[i - 2];
                }
            }
            return dp[n - 1];
        }
    }

代码优化如下：

class Solution {
        
    
        public int numDecodings(String ss) {
        
            // 1. 创建 dp 表
            // 2. 初始化
            // 3. 填表
            // 4. 返回值
            int n = ss.length();
            char[] s = ss.toCharArray();
            int[] dp = new int[n + 1];
            dp[0] = 1; // 保证后续填表是正确的
            if(s[1 - 1] != '0') dp[1] = 1;
            for(int i = 2; i <= n; i++) {
        
                // 先处理第⼀种情况
                if(s[i - 1] != '0') {
        
                    dp[i] += dp[i - 1];
                }
                // 处理第⼆种情况
                int tt = (s[i - 2] - '0') * 10 + s[i - 1] - '0';
                if(tt >= 10 && tt <= 26) {
        
                    dp[i] += dp[i - 2]; 
                }
            }
            return dp[n];
        }
    }

## ⭕总结 ##

关于《【算法优选】 动态规划之斐波那契数列模型》就讲解到这儿，感谢大家的支持，欢迎各位留言交流以及批评指正，如果文章对您有帮助或者觉得作者写的还不错可以点一下关注，点赞，收藏支持一下！

[N]: https://leetcode.cn/problems/n-th-tribonacci-number/
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[Link 2]: https://leetcode.cn/problems/decode-ways/submissions/