【算法优选】前缀和专题——叁

Bertha 。 2024-04-17 10:33 74阅读 0赞

#### 文章目录 ####

*  ?前言
 *  ?\[和为K的子数组\](https://leetcode.cn/problems/subarray-sum-equals-k/description/)
 *   *  ?题目描述
     *  ?思路解析
     *  ?代码实现
 *  ?\[和可被 K 整除的子数组\](https://leetcode.cn/problems/subarray-sums-divisible-by-k/)
 *   *  ?题目描述
     *  ?解题须知：
     *  ?算法思路：
     *  ?代码实现
 *  ?\[连续数组\](https://leetcode.cn/problems/contiguous-array/submissions/)
 *   *  ?题目描述
     *  ?思路解析
     *  ?代码实现
 *  ?\[矩阵区域和\](https://leetcode.cn/problems/matrix-block-sum/)
 *   *  ?题目描述
     *  ?思路解析
     *  ?代码实现
 *  ⭕总结

## ?前言 ##

***含义***：

*  前缀和实际上就是对于长度为n的数组，我们新建立一个数组长度为n+1，第i个元素的值为前i个元素的和（包括第i个元素）。

***特点***：

1.  前缀和数组比原数组多一个长度。
2.  前缀和的第0个元素的值为0。
3.  根据前缀和数组的特点，求前缀和时。我们只需要用第i个元素的值+第i-1个前缀个数组的值就可能得到第i个前缀和数组的值。（这也是一种动态规划的思想）。

***应用***：

*  前缀和算法可以解决一些在数组中与连续有关的问题

## ?[和为K的子数组][K] ##

### ?题目描述 ###

给你一个整数数组 nums 和一个整数 k ，请你统计并返回 该数组中和为 k 的子数组的个数 。

子数组是数组中元素的连续非空序列。

*  示例 1：  
    输入：nums = \[1,1,1\], k = 2  
    输出：2
 *  示例 2：  
    输入：nums = \[1,2,3\], k = 3  
    输出：2

class Solution {
        
        public int subarraySum(int[] nums, int k) {
        
    
        }
    }

### ?思路解析 ###

![在这里插入图片描述][f43af70567094dce9af02df82cca66d4.png]  
设 i 为数组中的任意位置，⽤ sum\[i\] 表⽰ \[0, i\] 区间内所有元素的和。

想知道有多少个「以 i 为结尾的和为 k 的⼦数组」，就要找到有多少个起始位置为 x1, x2,x3… 使得 \[x, i\] 区间内的所有元素的和为 k 。

那么 \[0, x\] 区间内的和是不是就是sum\[i\] - k 了。于是问题就变成：

*  找到在 \[0, i - 1\] 区间内，有多少前缀和等于 sum\[i\] - k 的即可。

我们不⽤真的初始化⼀个前缀和数组，因为我们只关⼼在 i 位置之前，有多少个前缀和等于sum\[i\] - k 。因此，我们仅需⽤⼀个哈希表，⼀边求当前位置的前缀和，⼀边存下之前每⼀种前缀和出现的次数

### ?代码实现 ###

class Solution {
        
        public int subarraySum(int[] nums, int k) {
        
            Map<Integer, Integer> hash = new HashMap<Integer, Integer>();
            hash.put(0, 1);
            int sum = 0;
            int ret = 0;
            for(int x : nums)
            {
        
                sum += x; // 计算当前位置的前缀和
                ret += hash.getOrDefault(sum - k, 0); // 统计结果
                hash.put(sum, hash.getOrDefault(sum, 0) + 1); // 把当前的前缀和丢到哈希表⾥⾯
            }
            return ret;
        }
    }

## ?[和可被 K 整除的子数组][K 1] ##

### ?题目描述 ###

给定一个整数数组 nums 和一个整数 k ，返回其中元素之和可被 k 整除的（连续、非空） 子数组 的数目。

子数组 是数组的 连续 部分。

*  示例 1：  
    输入：nums = \[4,5,0,-2,-3,1\], k = 5  
    输出：7  
    解释：  
    有 7 个子数组满足其元素之和可被 k = 5 整除：  
    \[4, 5, 0, -2, -3, 1\], \[5\], \[5, 0\], \[5, 0, -2, -3\], \[0\], \[0, -2, -3\], \[-2, -3\]
 *  示例 2:  
    输入: nums = \[5\], k = 9  
    输出: 0

class Solution {
        
        public int subarraysDivByK(int[] nums, int k) {
        
    
        }
    }

### ?解题须知： ###

*  ***同余定理***

如果 (a - b) % n == 0 ，那么我们可以得到⼀个结论： a % n = = b % n 。

⽤⽂字叙述就是，如果两个数相减的差能被n整除，那么这两个数对n取模的结果相同。

*  J***ava中负数取模的结果，以及如何修正「负数取模」的结果***

Java中关于负数的取模运算，结果是「把负数当成正数，取模之后的结果加上⼀个负号」。

例如： -1 % 3 = -(1 % 3) = -1

因为有负数，为了防⽌发⽣「出现负数」的结果，以 (a % n + n) % n 的形式输出保证为正。

例如： -1 % 3 = (-1 % 3 + 3) % 3 = 2

### ?算法思路： ###

思路与和为K的⼦数组这道题的思路相似  
![在这里插入图片描述][60a14387bbf847c992883610bfa1f2ac.png]  
设 i 为数组中的任意位置，⽤ sum\[i\] 表⽰ \[0, i\] 区间内所有元素的和。

*  想知道有多少个「以 i 为结尾的可被 k 整除的⼦数组」，就要找到有多少个起始位置为 x1,x2, x3… 使得 \[x, i\] 区间内的所有元素的和可被 k 整除。
 *  设 \[0, x - 1\] 区间内所有元素之和等于 a ， \[0, i\] 区间内所有元素的和等于 b ，可得(b - a) % k == 0 。
 *  由同余定理可得， \[0, x - 1\] 区间与 \[0, i\] 区间内的前缀和同余。于是问题就变成：
 *   *  找到在 \[0, i - 1\] 区间内，有多少前缀和的余数等于 sum\[i\] % k 的即可。

我们不⽤真的初始化⼀个前缀和数组，因为我们只关⼼在 i 位置之前，有多少个前缀和等于sum\[i\] - k 。因此，我们仅需⽤⼀个哈希表，⼀边求当前位置的前缀和，⼀边存下之前每⼀种前缀和出现的次数。

### ?代码实现 ###

class Solution {
        
        public int subarraysDivByK(int[] nums, int k) {
        
            Map<Integer, Integer> hash = new HashMap<Integer, Integer>();
            hash.put(0 % k, 1);
            int sum = 0;
            int ret = 0;
            for(int x : nums)
            {
        
                sum += x; // 计算当前位置的前缀和
                int r = (sum % k + k) % k;
                ret += hash.getOrDefault(r, 0); // 统计结果
                hash.put(r, hash.getOrDefault(r, 0) + 1);
            }
            return ret;
        }
    }

## ?[连续数组][Link 1] ##

### ?题目描述 ###

给定一个二进制数组 nums , 找到含有相同数量的 0 和 1 的最长连续子数组，并返回该子数组的长度。

*  示例 1:  
    输入: nums = \[0,1\]  
    输出: 2  
    说明: \[0, 1\] 是具有相同数量 0 和 1 的最长连续子数组。
 *  示例 2:  
    输入: nums = \[0,1,0\]  
    输出: 2  
    说明: \[0, 1\] (或 \[1, 0\]) 是具有相同数量0和1的最长连续子数组。

class Solution {
        
        public int findMaxLength(int[] nums) {
        
    
        }
    }

### ?思路解析 ###

稍微转化⼀下题⽬，就会变成我们熟悉的题：

*  本题让我们找出⼀段连续的区间， 0 和 1 出现的次数相同。
 *  如果将 0 记为 -1 ， 1 记为 1 ，问题就变成了找出⼀段区间，这段区间的和等于 0 。
 *  于是，就和560.和为K的⼦数组这道题的思路⼀样

![在这里插入图片描述][13e7fa70f3504eb79e9b576627b7a067.png]  
设 i 为数组中的任意位置，⽤ sum\[i\] 表⽰ \[0, i\] 区间内所有元素的和。  
想知道最⼤的「以 i 为结尾的和为 0 的⼦数组」，就要找到从左往右第⼀个 x1 使得 \[x1, i\] 区间内的所有元素的和为 0 。那么 \[0, x1 - 1\] 区间内的和是不是就是 sum\[i\] 了。于是问题就变成：

*  找到在 \[0, i - 1\] 区间内，第⼀次出现 sum\[i\] 的位置即可。我们不⽤真的初始化⼀个前缀和数组，因为我们只关⼼在 i 位置之前，第⼀个前缀和等于 sum\[i\] 的位置。因此，我们仅需⽤⼀个哈希表，⼀边求当前位置的前缀和，⼀边记录第⼀次出现该前缀和的位置。

### ?代码实现 ###

class Solution {
        
        public int findMaxLength(int[] nums) {
        
            Map<Integer,Integer> hashmap = new HashMap<>();
            hashmap.put(0,-1);
            int sum = 0;
            int ret = 0;
            for(int i = 0; i < nums.length; i++) {
        
                sum += (nums[i] == 0 ? -1 : 1);
                if(hashmap.containsKey(sum)) {
        
                    ret = Math.max(ret,i - hashmap.get(sum));
                } else {
        
                    hashmap.put(sum,i);
                }
            }
            return ret;
        }
    }

## ?[矩阵区域和][Link 2] ##

### ?题目描述 ###

给你一个 m x n 的矩阵 mat 和一个整数 k ，请你返回一个矩阵 answer ，其中每个 answer\[i\]\[j\] 是所有满足下述条件的元素 mat\[r\]\[c\] 的和：

i - k <= r <= i + k, j - k <= c <= j + k 且(r, c) 在矩阵内。

*  示例 1：  
    输入：mat = \[\[1,2,3\],\[4,5,6\],\[7,8,9\]\], k = 1  
    输出：\[\[12,21,16\],\[27,45,33\],\[24,39,28\]\]
 *  示例 2：  
    输入：mat = \[\[1,2,3\],\[4,5,6\],\[7,8,9\]\], k = 2  
    输出：\[\[45,45,45\],\[45,45,45\],\[45,45,45\]\]

class Solution {
        
        public int[][] matrixBlockSum(int[][] mat, int k) {
        
    
        }
    }

### ?思路解析 ###

⼆维前缀和的简单应⽤题，关键就是我们在填写结果矩阵的时候，要找到原矩阵对应区域的「左上⻆」以及「右下⻆」的坐标（推荐⼤家画图）

关于二维前缀和的求法，不懂得宝子可以去看看博主写的[《【算法优选】 前缀和专题——壹》][Link 3]进行查看学习

左上⻆坐标： x1 = i - k，y1 = j - k ，但是由于会「超过矩阵」的范围，因此需要对 0 取⼀个 max 。因此修正后的坐标为： x1 = max(0, i - k), y1 = max(0, j - k) ;  
右下⻆坐标： x1 = i + k，y1 = j + k ，但是由于会「超过矩阵」的范围，因此需要对 m- 1 ，以及 n - 1 取⼀个 min 。因此修正后的坐标为： x2 = min(m - 1, i + k),  
y2 = min(n - 1, j + k)

然后将求出来的坐标代⼊到「⼆维前缀和矩阵」的计算公式上即可~（但是要注意下标的映射关系）

### ?代码实现 ###

class Solution {
        
        public int[][] matrixBlockSum(int[][] mat, int k) {
        
            int m = mat.length, n = mat[0].length;
            // 1. 预处理前缀和矩阵
            int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
            for(int i = 1; i <= m; i++) {
        
                for (int j = 1; j <= n; j++) {
        
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1] + mat[i - 1][j - 1];
                }
            }
            // 2. 使⽤
            int[][] ret = new int[m][n];
            for(int i = 0; i < m; i++) {
        
                for (int j = 0; j < n; j++) {
        
                    int x1 = Math.max(0, i - k) + 1;
                    int y1 = Math.max(0, j - k) + 1;
                    int x2 = Math.min(m - 1, i + k) + 1;
                    int y2 = Math.min(n - 1, j + k) + 1;
                    ret[i][j] = dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1] + dp[x1 - 1][y1 - 1];
                }
            }
            return ret;
        }
    }

## ⭕总结 ##

关于《【算法优选】 前缀和专题——叁》就讲解到这儿，感谢大家的支持，欢迎各位留言交流以及批评指正，如果文章对您有帮助或者觉得作者写的还不错可以点一下关注，点赞，收藏支持一下！

[K]: https://leetcode.cn/problems/subarray-sum-equals-k/description/
[f43af70567094dce9af02df82cca66d4.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/14/dad6de48c8cb4e049120c9204d8db0ca.png
[K 1]: https://leetcode.cn/problems/subarray-sums-divisible-by-k/
[60a14387bbf847c992883610bfa1f2ac.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/14/36b66e5c7ea1414d9b11e09034463ed6.png
[Link 1]: https://leetcode.cn/problems/contiguous-array/submissions/
[13e7fa70f3504eb79e9b576627b7a067.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/14/187b021c66e6418a98a4e1938eb9820b.png
[Link 2]: https://leetcode.cn/problems/matrix-block-sum/
[Link 3]: https://blog.csdn.net/m0_71731682/article/details/133818965?spm=1001.2014.3001.5501