排序算法简介与时间空间复杂度

梦里梦外; 2024-03-27 11:04 47阅读 0赞

1.排序算法的介绍：

排序也称排序算法(Sort Algorithm)，排序是将一组数据，依指定的顺序进行排列的过程

2.排序的分类：

1.  内部排序:  
    指将需要处理的所有数据都加载到\*\*内部存储器(内存)\*\*中进行排序。
2.  外部排序法：  
    **数据量过大**，无法全部加载到内存中，需要借助\*\*外部存储(文件等)\*\*进行排序。
3.  常见的排序算法分类(见右图):

![在这里插入图片描述][725ef25827b84761ac14aa1eb278cea7.png]

3.算法的时间复杂度

度量一个程序(算法)执行时间的两种方法

1.  事后统计的方法

这种方法可行, 但是有两个问题：一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，需要实际运行该程序；  
二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素, 这种方式，要在同一台计算机的相同状态下运行，才能比较那个算法速度更快。

1.  事前估算的方法  
    通过分析某个算法的时间复杂度来判断哪个算法更优

4.时间频度

基本介绍  
时间频度：一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为 T(n)。\[举例说明\]

举例说明-基本案例  
比如计算 1-100 所有数字之和, 我们设计两种算法

![在这里插入图片描述][affe61ec4e6e46f69e3699f84d8e0c05.png]

举例说明-忽略常数项  
![在这里插入图片描述][38d78d6b654241c29dbdb5c9af7081b5.png]

结论:

1.  随着 n 值变大，5n^2+7n 和 3n^2 + 2n ，执行曲线重合, 说明 这种情况下, 5 和 3 可以忽略。
2.  而 n^3+5n 和 6n^3+4n ，执行曲线分离，说明多少次方式关键

时间复杂度

1.  一般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模 n 的某个函数，用 T(n)表示，若有某个辅助函数 f(n)，使得当 n 趋近于无穷大时，T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数，则称 f(n)是 T(n)的同数量级函数。  
    记作 T(n)=Ｏ( f(n) )，称Ｏ( f(n) ) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
2.  T(n) 不同，但时间复杂度可能相同。 如：T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2 它们的 T(n) 不同，但时间复杂  
    度相同，都为 O(n²)。
3.  计算时间复杂度的方法：
    
    1，用常数 1 代替运行时间中的所有加法常数 T(n)=n²+7n+6 => T(n)=n²+7n+1
    
    2，修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项 T(n)=n²+7n+1 => T(n) = n²
    
    3，去除最高阶项的系数 T(n) = n² => T(n) = n² => O(n²)

常见的时间复杂度

1.  常数阶 O(1)
2.  对数阶 O(log2n)
3.  线性阶 O(n)
4.  线性对数阶 O(nlog2n
5.  平方阶 O(n^2)
6.  立方阶 O(n^3)
7.  k 次方阶 O(n^k)
8.  指数阶 O(2^n)

常见的时间复杂度对应的图:

![在这里插入图片描述][0520d5e1129949ffbb7732ea21cb85d8.png]

说明：

1.  常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜ Ο(nk) ＜Ο(2n) ，随着问题规模 n 的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低
2.  从图中可见，我们应该尽可能避免使用指数阶的算法

常数阶 O(1)

![在这里插入图片描述][fe1d1d614043496094980f658a78cfc0.png]

对数阶 O(log2n)

![在这里插入图片描述][408e615752ef48e780dbe9fbb156b8e2.png]

线性阶 O(n)

![在这里插入图片描述][f2a52865042f4470ae3ba0882aecd6c8.png]

线性对数阶 O(nlogN）

![在这里插入图片描述][761ded9171164828a82d82caee2dd221.png]

平方阶 O(n²)

![在这里插入图片描述][d3b2eb811e10400eb88509dc698046a2.png]

立方阶 O(n³)、K 次方阶 O(n^k）

说明：参考上面的 O(n²) 去理解就好了，O(n³)相当于三层 n 循环，其它的类似

平均时间复杂度和最坏时间复杂度

1.  平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。
2.  最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会  
    比最坏情况更长。
3.  平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致，和算法有关(如图:)。

![在这里插入图片描述][2e79ab0f31124c76a7c8b7b109bc7441.png]

4.算法的空间复杂度简介

基本介绍

1.  类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模 n 的函数。
2.  空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模 n 有关，它随着 n 的增大而增大，当 n 较大时，将占用较多的存储单元，例  
    如快速排序和归并排序算法, 基数排序就属于这种情况
3.  在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看，更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间

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