猜数字大小 II

迈不过友情╰ 2024-03-26 11:39 16阅读 0赞

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题目描述：

我们正在玩一个猜数游戏，游戏规则如下：

1.  我从 `1`到 `n` 之间选择一个数字。
2.  你来猜我选了哪个数字。
3.  如果你猜到正确的数字，就会 **赢得游戏** 。
4.  如果你猜错了，那么我会告诉你，我选的数字比你的 **更大或者更小** ，并且你需要继续猜数。
5.  每当你猜了数字 `x` 并且猜错了的时候，你需要支付金额为 `x` 的现金。如果你花光了钱，就会 **输掉游戏** 。

给你一个特定的数字 `n` ，返回能够 **确保你获胜** 的最小现金数，**不管我选择那个数字** 。

![11dbb7c0a57a48d4b24201eab53c4808.png][]

输入：n = 10
    输出：16
    解释：制胜策略如下：
    - 数字范围是 [1,10] 。你先猜测数字为 7 。
        - 如果这是我选中的数字，你的总费用为 $0 。否则，你需要支付 $7 。
        - 如果我的数字更大，则下一步需要猜测的数字范围是 [8,10] 。你可以猜测数字为 9 。
            - 如果这是我选中的数字，你的总费用为 $7 。否则，你需要支付 $9 。
            - 如果我的数字更大，那么这个数字一定是 10 。你猜测数字为 10 并赢得游戏，总费用为 $7 + $9 = $16 。
            - 如果我的数字更小，那么这个数字一定是 8 。你猜测数字为 8 并赢得游戏，总费用为 $7 + $9 = $16 。
        - 如果我的数字更小，则下一步需要猜测的数字范围是 [1,6] 。你可以猜测数字为 3 。
            - 如果这是我选中的数字，你的总费用为 $7 。否则，你需要支付 $3 。
            - 如果我的数字更大，则下一步需要猜测的数字范围是 [4,6] 。你可以猜测数字为 5 。
                - 如果这是我选中的数字，你的总费用为 $7 + $3 = $10 。否则，你需要支付 $5 。
                - 如果我的数字更大，那么这个数字一定是 6 。你猜测数字为 6 并赢得游戏，总费用为 $7 + $3 + $5 = $15 。
                - 如果我的数字更小，那么这个数字一定是 4 。你猜测数字为 4 并赢得游戏，总费用为 $7 + $3 + $5 = $15 。
            - 如果我的数字更小，则下一步需要猜测的数字范围是 [1,2] 。你可以猜测数字为 1 。
                - 如果这是我选中的数字，你的总费用为 $7 + $3 = $10 。否则，你需要支付 $1 。
                - 如果我的数字更大，那么这个数字一定是 2 。你猜测数字为 2 并赢得游戏，总费用为 $7 + $3 + $1 = $11 。
    在最糟糕的情况下，你需要支付 $16 。因此，你只需要 $16 就可以确保自己赢得游戏。

#### 解法： ####

#### 1.记忆化递归： ####

简单地思路梳理：

我们可以枚举1到n中的每一个数字，记为x，那么分为两种情况，猜中了和没猜中

*  假如 x 正好是选中的数，那么，付出的代价为 0；
 *  假如 x 不是选中的数，那么，付出的代价为 x，然后，我们会得到提示，选中的数比 x 大还是比 x 小：
    
     *  假如比 x 小，我们只要求得 1 到 x-1 的最小代价，再加上 x 就能得到猜 x 时的最小代价；
     *  假如比 x 大，我们只要求得 x+1 到 n 的最小代价，再加上 x 就能得到猜 x 时的最小代价；
     *  而选中的数有可能在 x 的左边，也可能在 x 的右边，为了保证我们能够赢得游戏，我们需要备用的现金应该是左右两边的最小代价的最大值再加上 x 本身。

当我们枚举完这些 x 后，取其中的最小值就是我们需要备用的现金。

所以，我们可以得到递推公式：

![226dc0e389414f119aa67f1ab8750bab.png][] 你会发现存在很多重复的计算，比如，计算 f(1)(4) 的时候会计算 f(1)(2) 和 f(1)(3)，而计算 f(1)(3) 的时候也会计算 f(1)(2)，所以，我们可以加上缓存记录已经计算过的数值，这就是记忆化搜索

class Solution {
        public int getMoneyAmount(int n) {
            int[][] memo = new int[n + 2][n + 2];
            return dfs(1, n, memo);
        }
    
        private int dfs(int start, int end, int[][] memo) {
            if (start >= end) {
                return 0;
            }
    
            if (memo[start][end] != 0) {
                return memo[start][end];
            }
    
            int ans = Integer.MAX_VALUE;
            for (int k = start; k <= end; k++) {
                ans = Math.min(ans, Math.max(dfs(start, k - 1, memo), dfs(k + 1, end, memo)) + k);
            }
    
            return memo[start][end] = ans;
        }
    }

#### 2.动规（区间DP）： ####

再上一步的记忆化递归中，我们发现，每次计算区间\[x,y\]都依赖与更小的区间，那么调整区间的计算顺序，我们不妨先计算小的区间，这样在计算大的区间的时候就不必重新计算小的区间了。

*  状态定义：dp\[i\]\[j\]表示选中的数在 \[i,j\] 之间时能够确保获胜需要备用的现金数；
 *  状态转移：dp\[i\]\[j\]=min\{k=i->j\}(max(dp\[i\]\[k-1\], dp\[i\]\[k+1\]) + k);
 *  初始值：对于只有一个数时，选中的数肯定就是这个数，代价为0，所以，初始值为 dp\[i\]\[i\] = 0，Java中不需要特殊处理；
 *  返回值：dp\[1\]\[n\]；

典型的区间dp的写法：

枚举长度从小到大：

class Solution {
        public int getMoneyAmount(int n) {
            // dp[i][j]表示选择的数在[i,j]之间时能够确保获胜的最小钱数
            // dp[i][j]=min{k=i->j}(max(dp[i][k-1], dp[i][k+1]) + k)
            int[][] dp = new int[n + 2][n + 2];
            for (int len = 2; len <= n; len++) {
                //长度从小到大枚举
                for (int i = 1; i <= n - len + 1; i++) {
                    //从小到大，也就是举例 [1,1+len]  [2,2+len]这样
                    int j = i + len - 1;
                    int min = Integer.MAX_VALUE;
                    for (int k = i; k <= j; k++) {
                        //注意k在后面的整体之中，为什么加k，因为是没选中k，所以要付出代价为k
                        //然后比较原来的数据和当前没选中需要花费的最大的代价，取最大代价中最小的
                        min = Math.min(min, Math.max(dp[i][k - 1], dp[k + 1][j]) + k);
                    }
                    dp[i][j] = min;
                }
            }
            return dp[1][n];
        }
    }

代码说明：

注意，for循环中的len是我们枚举的长度，不是整个数字n的长度。

[Link 1]: https://leetcode.cn/problems/guess-number-higher-or-lower-ii/description/
[11dbb7c0a57a48d4b24201eab53c4808.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/26/18f4884d72be4060bb7068f3636deed4.png
[226dc0e389414f119aa67f1ab8750bab.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/26/53dcf253587440b8bbecaeabb5e3de63.png