数量关系：高频考点常用解题方法（二）

桃扇骨 2024-03-25 17:15 20阅读 0赞

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**数量关系 7.高频考点常用解题方法-排列组合问题**

**排列组合之基础概念**

**什么是排列组合？**

排列组合实际上是组合学的最基础概念；

其**中心问题**是：研究给定要求的排列和组合可能出现的**情况总数**；

**即，排列组合归根到底是在计数**；

**计什么数？**计满足各种附加条件的有限个对象的总数。

**举个例子：**

班级有50个同学中；

**条件1**：任选5个人按顺序排成一列，问有多少种情况？**条件2**：任选5个人参加某个活动，问有多少种情况？

两个条件的区别是什么？

条件1有一定的顺序，要排列；

条件2没有顺序，只需要选出来即可，是一种组合。

**那这两个条件的情况书分别要怎么算呢？**

**排列数：**

![6783f61a9f2ae7220d3081375431fc67.png][]

**组合数：**

![802bdbc7a3f1153ce6810be1e4c29d61.png][]

**怎么计算呢？**

从**概念**出发来分析：

不难看出，**组合和排列的联系和区别是：**

**组合**只选，**排列**要选出来再排，或者边排边选；

**故**所有的排列都可以看作先组合，再做全排列；

所有的组合，补充一个排序的阶段，就可以转化为排列问题。

所以容易推出：

![c8e0a482024183af33f33beeca730090.png][]

**总结整理一下：**

**排列：与顺序有关，每个人做不同的事；**

![66ac6da9e0452f5d69020f761ed48cb6.png][]

**组合：与顺序无关，每个人做一样的事。**

![29791f2fdb4f3fcdc5da047dcaa68b1c.png][]

在区分排列和组合的基础上，**当存在一系列的排列组合时，应该如何计算呢？**

通常来说，计算可以被分为**分类计算和分步计算**，我们分别来看；

**分类计算**，顾名思义，分成几种类别，每一类为一种选择；

**通俗的来说**，就是完成一件事情，可以根据某个条件分为几种情况，每种情况都可以独立完成该事情，则将多种情况的结果相加，**所得和即为完成事情的种类数**；

故亦被叫做**加法原理**。

**分步计算**，顾名思义，分为几个步骤，每一步都为一个必要环节；

**通俗的来说**，就是完成一件事情，需要分为多个步骤依次完成，每个步骤为独立，但只有完成每一步才能完成该事情，则将每一步的结果相乘，**所得积即为完成事情的种类数；**

故亦被叫做**乘法原理**。

**总结以上，即有面对排列组合的题目的解题思路为：**

**先看是否有顺序**，来确定用A还是C；

**再看分类还是分步**，分类即将各种情况相加，分步即将各种情况相乘。

最终得到符合情况的总数。

**我们来看例题，代入各种情况来试着排列组合分类分步。**

**例1：**某单位组织职工参加周末培训，其中英语培训和财务培训均在周六，公文写作培训和法律培训均在周日。同一天举办的两场培训每人只能报名参加一场，但不在同一天的培训可以都参加。

则职工小刘有多少种不同的报名方式？

A．4 B．8 C．9 D．16

**解析：根据题意**，给定条件，问小刘不同的报名方式；

根据“同一天只能报一场，不同天的可以都参加”可知小刘可以报名参加的培训场次为1次或2次；

**即：**

只选周六1场或只选周日1场；

或周六周日各选一场；

**分情况看：**

**只报名1场**：可选为2+2=4种；

**报名2场：**即周六2选1，周日2选1，即2x2=4；

只报名1场或报名2场都可以独立的完成此次培训任务，则利用**加法原理**；

**小刘报名方式共4+4=8种。**

**例2：**甲、乙、丙三所学校的学生被安排在周一至周五参观某革命纪念馆。纪念馆每天最多只能安排一所学校，其中甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么共有多少种安排方法？（）。

A．12 B．24 C．36 D.60

**解析：**

**根据题干条件**“甲学校连续参观两天”，先分析**甲的情况：**

**连续两天的可能性**为：周一周二、周二周三、周三周四、周四周五，即4种可能；

则其余两个学校为从剩余3天种选择2天，情况数为：

![6c49305cf190b4caeaea7ae7e4eb7670.png][]

**则安排方法共：**4x6=24种；

答案选B。

**例3：**某商场开展“助农销售”活动，凡购买某种农产品满 300 元者可获得一个礼盒，其中装有 6 种干货中的随机 3 种各 1 小袋，以及 1 袋小米或红豆。问内容不完全相同的礼盒共有多少种可能？

A.50 B.45 C.40 D.30

**解析：**

**看设问**，问内容不完全相同的可能，看内容有哪些组合：

**（6种中随机选3种）x（小米、红豆2选1）**；

即可能性为：

![f39dd1923c0c6eb7f979e4b6bde635a6.png][]

**例4：**某农科院准备挑选2男2女4名科技人员分别去市郊的甲乙丙丁4个乡参加科技支农工作，在报名的人员中有3男4女符合要求，在4名女性中有1位是农科院的副院长，考虑到工作的具体需要，这名副院长不去甲乡，且去丁乡的是女性。符合条件的选法有\_\_\_\_\_\_\_\_种。

A. 198 B. 216 C. 378 D. 432

**解析：**

**题干给定了选择和安排的要求**，可以**正向**求得符合条件的情况数，也可以**逆向求解**，即求出总数再减去不符合的情况；

两种求法我们分别来看：

**●正向求解：**

**分3种情况：**

副院长被选中且去了丁乡、

副院长被选中没去丁乡、

副院长没被选中；

**1.副院长被选中且去了丁乡：**

在其余3名女性中再选1名，3名男性中选2名，3人全排列，则有：

![56c2b828a976fc9395a1a9eb81a06bcb.png][]

**2.副院长被选中没去丁乡：**

在其余3名女性中选1名去丁乡，3名男性中选2名，2名中选1名去甲乡，副院长和另一名男士全排列，则有：

![8302e4f7367ac56261d1cef0948ec124.png][]

**3.副院长没被选中，**则有：

在3名男性中选2名，3名女性中选2名，2名中选1名去丁乡，其余3人全排列，则有：

![49e0d18cd4677c04d4970b2ffc1db158.png][]

**故总情况数**为54+36+108=198种；答案选A。

**●逆向求解：**

先求出3男4女中选择2男2女，其中1女去丁乡的**总情况数：**

即有：

![941390fed80993bdc4d16f3a9657fd4b.png][]

**其中包含了副院长去甲乡的情况**，所以可知符合题意的情况数应小于216，看选项，只能选A。

**再多说一句：**

如果**正面求出**副院长去甲乡的情况数怎么求呢？

首先副院长被选中且去了甲乡，则其余3名女性中选1名，且去了丁乡；

再从3名男性中选2名，2位全排列即可，即有：

![64c36082f8e5e625ddabe631e58ac231.png][]

通过例4，提醒小伙伴们，遇到正面思考较复杂的情况，**可以采用逆向思维**，用**全部情况减去不符合题意**的情况，会来的简单快捷一些。

以上就是**排列组合中的基础概念公式和解法；**

要从基础概念出发多理解，多思考，**分清排列组合，理清分类分步**，简单计算求得答案。

**排列组合之相邻与不相邻**

**首先明确什么样的问题是在考查相邻或不相邻？**

**题型特征：**

出现“...与...连在一起／不能分开”、“...与...必须分开／不能连在一起”即为考查**相邻、不相邻问题**；

**面对此类问题，如何求解呢？**

**●先来看相邻问题：**

假设要求n个元素中有2个元素**必须连在一起，不能分开**，那我们**该2个元素视为一个整体**；

接下来就将**这个整体与余下n-2个元素**一起排列，即参与排列的元素个数变成了**n-1个**；

再考虑**2个元素内部是否有顺序**；

这种方法叫做**“捆绑法”。**

**总结一下：**

相邻问题中，将必须相邻的元素做捆绑，与其他元素一起排列，再考虑被捆绑元素内部顺序。

**●再来看不相邻问题：**

假设要求n个元素中有2个元素**必须分开，不能连在一起；**

这下犯难了，连在一起好办，捆起来好了，不连在一起**咋办？**

不急，我们来分析：

不连在一起意味着二者中**间隔着别人**，可能隔着1个，也可能隔着2个，也可能隔着3个....

**这么多种可能性，着实不确定怎么隔**；

那我们先不考虑这2位，先看**没有要求的那n-2个；**

如果我们将这n-2个先排好，那这n-2个元素会**创造出n-1个空隙**，那我们选2个空隙给那2位安插进去，是不是一定就被隔开了？

这种方法叫**“插空法”**。

**举个简单的例子：**

现在有7个小球，5个一样的黑球，2个一样的白球，要求排列的时候2个白色球不能挨在一起；

**怎么办？**

**不挨就不挨，先看黑球；**

由于5个黑球是一样的，所以就只有一种情况，排着就行，如图：

![f327b693e43bc5346203db6287c8890e.png][]

则5个黑球创造出了1-6，共6个空隙，2个白球任选6个空隙中的2个空隙安置，必然不会连在一起，**即6选2**，即可完成要求的排列。

**排列情况数为：**

![d71bfe5099b633ad2f2f832c3c255e2e.jpeg][]

**总结一下：**

不相邻问题中，先将不相邻的元素剔除，对剩余元素进行排列，再将被剔除的元素召回，将其插入空隙或两端。

相邻的捆绑，不相邻的插空，理解了么？

一起来看**例题**。

**例1：**两对夫妇各带一个小孩乘坐有6 个座位的游览车，游览车每排只有1 个座位。为安全起见，车的首尾两座一定要坐两位爸爸；两个小孩一定要排在一起。那么，这 6 人的排座方法有（ ）。

A．12 种 B．24 种 C．36 种 D．48 种

**解析：**

![097250a7abf3b91ff0593946054d0124.png][]

**例2：**为加强机关文化建设，某市直机关在系统内举办演讲比赛，3 个部门分别派出3、2、4 名选手参加比赛，要求每个部门的参赛选手比赛顺序必须相连，问不同参赛顺序的种数在以下哪个范围之内？

A.小于1000 B.1000-5000 C.5001-20000 D.大于 20000

**解析：**

**根据题干条件**，需要将每个部分的参赛选手捆绑，捆绑后即出现3个整体，为3个整体排序；

**同时考虑**各整体内部的顺序，即有：

![66842954a0a20bd49a56725009821e4b.png][]

**例3：**单位工会组织拔河比赛，每支参赛队都由3名男职工和3名女职工组成。假设比赛时要求3名男职工的站位不能全部连在一起，则每支队伍有几种不同的站位方式？

A.432 B.504 C.576 D.720

**解析：**

**根据题干条件**“3名男职工不能全连在一起”，读起来有点拗口；

**从正向分析**，需要分为2名男员工站在一起，和3名都不站在一起2种情况；

**逆向切入，**实际上就是全部情况减去3名男职工站在一起的情况数；

**哪种好算呢？**

**正面较复杂的时候，一定是逆向更好算；**

**先求全部情况数：**

即没有任何要求，对3男3女全排列，为：

![6e6cb0b76dd63411d27ef1e7348427fc.png][]

**再算**3名男职工站在一起的情况；

即将3个男职工捆绑在一起，视为一个整体，将该整体与3名女职工全排列，**且考虑**3名男职工内部的排列顺序，即有：

![1e79077862f0b76ed4e942232d4a0c30.png][]

则**总数-逆向**即为：720-144=576，答案选C。

**例4：**某地组织9 名政协委员负责调研农民工子弟小学教学情况。调研结束合影前有 3 名委员因紧急工作已经离开，学校决定安排 3 名小学生代表与委员一起坐在前排。现要求每位小学生的两边都坐着政协委员，一共有多少种不同的方式：

A.7200 B.29600 C.43200 D.362880

**解析：**

**根据题干条件**“小学生两边都坐政协委员”，即意味着小学生不相邻，且小学生不能在两端（否则在两端的话，一边没有政协委员）；

**故先对6名政协委员全排列**，为：

![d6ed9214362de0127c3d53a4e92b8556.png][]

6名政协委员创造出7个空位，但要去除两端的2个空格；

**即在5个空位中选出3个，对3个小学生全排列**，为：

![3a65de83a9fbba579bfc20f45ca77088.png][]

故**排列总数**为：720x60=43200，答案选C。

以上就是排列组合中的**相邻问题和不相邻问题**；

依然要多理解，多思考，读懂题意，分清捆绑和插空，简单计算求得答案。

**排列组合之相同元素分配、平均分组**

**●先来看相同元素分配：**

**题型特征：**从名称出发，不难看出是对**“相同的元素”**进行分配，或者元素是否完全相同，分配它的人及被分配的人并不关心；

**例如：**

**将5个苹果分给3个小朋友**：

此处的苹果就是苹果，没有大小红绿酸甜之分，定位为**“相同元素”**；

**将10个优秀指标分配到3个部门**：

此处的指标就是指标，没有先后等级性别之分，定位为**“相同元素”**；

.....

识别出题型是第一步，**接下来就看看如何解决此类问题；**

依然从**例子**出发：

**假设要将5个苹果分给2个小朋友，每人至少1个**，有多少种分法？

我们来**分析：**

**每个人分几个？**只要大于1个都行，那1+4，2+3，，...，4+1都可以，**这怎么算呢？**

我们把5个苹果摆摆好，如下：

![acc17e2a9793378585d363c4db0060fb.png][]

5个苹果创造出了**4个空隙**（不是6个哦，两端不能算，因为题干要求啦：每人至少分到1个）；

那我们可以**从4个空隙中选1个空隙**，画上一条线或插上一块板子；

这样就分成了两部分**，一边是你的，一边是我的**，即有：

![bc5f79b05825dfffb347f8000ed25560.png][]

**那又假设**要将8个苹果分给3个小朋友，每人至少一个，**怎么分呢？**

简单了不是，**8个苹果摆摆好，创造出7个空隙**，7个空隙中**选2个**位置，插上板子，就分出了3部分，则有：

![2c579a14805d9c2f63d2a0e948f1dd7a.png][]

**那再假设**要将10个苹果分给3个小朋友，每人至少2个，**怎么分？**

来咯，**10个苹果摆摆好，创造出9个空隙**，9个空隙选？咦，不对啊，怎么每个人至少2个啊，咋整？

要不这么着，我们从10个苹果中先给每个人分1个，苹果不是一样的么，就不需要考虑所谓的选择和顺序了，拿了就是拿了；

**拿走了几个？3个**；

**还剩下几个？7个**；

现在再分，每个人至少分1个，那加上之前的1个，是不是就每个人至少有2个了？

**对了吧**，好的，**那继续：**

**7个苹果摆摆好，创造出6个空隙**，6个空隙选2个，插上板子，就分出了3部分，则有：

![c1198288ddf265e87ea86332a9b029cc.png][]

**那又假设**要将n个苹果分给m个小朋友，每人至少一个，**怎么分呢？**

熟练了吧？n个苹果摆摆好，创造出n-1个空隙，n-1个空隙中选出m-1个位置，插上板子，就分出了n个部分，则有：

![e818c74d96e0f4a41f7bc44db3a2d310.png][]

**这种方法叫“插板法”。**

**总结一下：**

**将n个元素分给m个人**，**每人至少一个**，则从n-1个空隙中选m-1个即可；

将n个元素分给m个人，**每人至少分a+1个**，则先从n个中每人分a个，还剩n-am个，则从n-am-1个空隙中选m-1个即可。

**●再来看平均分组问题：**

**题型特征：**从名称出发，依然容易看出**“将n个元素平均分成m组”；**

**重要的是怎么求解呢？**

举个**简单的例子**：

现在有赵钱孙李4名同学，要将4名同学平均分成两个组，**有多少种分法呢**？

那我们来选咯，**先从4个人中选2个，再从2个人中选2个，**即：

![a5fd69584ebfe5452382d2b88782ecf6.png][]

**但是问题来了～**

原本呢，我选完2个人，那剩下的2个人**已经自动成为一组了**，比如我选了赵钱为一组，那孙李就自动是另一组了；

**但！**我从4个人中选2个的时候，**又包含了**一次选出孙李，使赵钱成为一组的情况，也就是我把赵钱为一组、孙李为一组的情况算了2次；

**其余组合亦是如此，是不是？**

如果还没有理解，那我们来**列举**一下：

![dc98bf226cd88ef5807eadda028e7dee.png][]

**看出来了么？**

我们分为了两组，题干并没有要求贴上组1和组2的标签，所以4、5、6分别与1、2、3重复；

也就是说我们上面分出来的2组中，人为的对这2组强加了一个排序，**但实际上并不需要排序**，所以对于上面求出的情况数，还需要再处理一下，即**除掉**对该2组排序的情况；

那对2组排序，**情况数为多少？**

![c66a9601f919851ee3d1ec55502861c2.png][]

**那再假设**，将8个元素平均分为4组，**怎么分？**

这次清楚了，应该是8个选2个，然后6个选2个，然后4个选2个，然后再除掉对4个组进行的排序，即有：

![dd8f042c5ad13a8e6bb48c47e4844180.png][]

**那再假设下**，如果要求将12个元素分为2，2，2，3，3的5组，**怎么分？**

**这还算平均么？**也算呐，同样为2个元素的有3组，这3组是一个平均，同样有3个元素的有2组，这2组是一个平均；

那我们从12个中选2个，再从10个中选2个，然后8个选2个，这是3组咯，**除掉**对3组进行的排序；

再继续，从6个中选3个，从3个中选3个，然后**再除掉**对这2组的排序，即有：

![340c60bacb23fcc9b538772041f544ae.png][]

**总结一下：**

将n个元素平均分为m组，则每次取每组的个数，再除掉对组数的全排列（即组数的阶乘）。

理解了么？

一起来看例题。

**例1：**某领导要把20项任务分给三个下属，每个下属至少分得三项任务，则共有多少种不同的分配方式：

A. 28 B. 36 C .54 D. 78

**解析：**

**根据题意**，属于**“相同元素分配问题”**，每个下属至少分3项，则先给每人分2项，即分出去3x2=6项，还余14项，每人至少分一项；

**即将题干问题转化为：**

14项任务分给3个人，每个人至少一项：

即从13个空隙中选2个插板，有：

![f44d0123f1cc79e0d9675fd779538dd7.png][]

**例2：**某单位共有10个进修的名额分到下属科室，每个科室至少一个名额，若有 36 种不同分配方案，问该单位最多有多少个科室？

A.7 B.8 C.9 D.10

**解析：**

**根据题意**，10个名额分到科室，每个科室至少一个名额，即**“相同元素分配问题”**，

假设有m+1个科室，则**问题为**：

10个名额，分给m+1个科室，每个科室至少一个名额，即有：

![07f26e6b4ecae541267b68c0b37cd306.png][]

**例3：**将10名运动员平均分成两组进行对抗赛，问有多少种不同的分法？

A.120 B.126 C.240 D.252

**解析：**

**根据题意**，考查平均分组问题，将10名分为两组，则有：

![e215f13d173930737be5262fc3af0b06.png][]

**例4：**某公司销售部拟派3名销售主管和6名销售人员前往3座城市进行市场调研，每座城市派销售主管1名，销售人员2名。

那么，不同的人员派遣方案有：

A.540 种 B.1080 种 C.1620 种 D.3240 种

**解析：**

**根据题意，**将3名销售主管平均分为3组，6名销售人员平均分为3组，即有：

![e4d37957bcf3db17ed1e58bcfc153106.png][]

以上就是排列组合中的**相同元素分配问题和平均分组问题；**

继续强调：

一定要理解，要思考，要读懂题意；

更要分清空隙个数和组数，然后简单计算即可求得答案。

**排列组合之定序与错位排序**

**●先来看定序问题：**

**题型特征：**从名称出发，不难看出是给定的元素中存在“顺序一定或者一样的无顺序元素”；**有点抽象？**

举个简单的例子：

**例如：**

**对a、b、c进行排序，不考虑b和c之间的顺序**，**则一共有多少种排法？**

**“对a、b、c进行排序”**很容易理解，不就是**3个元素全排列么？**

那**“不考虑b和c之间的顺序”**指**什么？**

不就是说b可以在c之前，也可以在c之后，**两个元素之间的顺序无所谓；**

到这里有同学疑惑了，那**这和b与c相邻有什么区别**？难道这和相邻问题是一样的？

**非也非也！**

**我们将本题的情形列举一下**：

先列出**a、b、c的全排列**，共6种，如下：

![75750a79c3066451443a56dd32e8e7f8.png][]

又因**“不考虑b和c的顺序”**，即b在c之前的情形和b在c之后的情形在题干看来是一样的，不需要分开；

那么，由于在对a、b、c全排列时，b和c也参与了全排列，那我们**就需要将b和c之间的全排列除掉**！

即**情况数**应为：

![af2de3e6560afc2ab3732af1ca97f870.png][]

**再比如**，对a、b、c、d进行排序，要求**c要在排在b前面**，则**一共有多少种排法**？

**此时跟上面的例子有什么区别呢？**

**题干条件不同：**

“不考虑b和c的顺序”“要求c排在b前面”，看起来说法不同，但实际上**结果是一样的**，都是除掉了b和c之间的全排列，只留下或只考虑一种情况；

即依然是要除掉2个元素的全排列，那此时的情况数应为：

![cb512b7981ffe2c5920318c73ecaa40a.png][]

**那再假设**，要求对a、b、c、d、e进行排序，**不考虑b、c、d之间的顺序**，则**一共有多少种排法？**

首先依然是对a、b、c、d、e全排列，**然后要除掉谁呢？**

除掉b、c、d三者之间的顺序，只保留1种情况，即要除掉b、c、d之间的全排列，则情况数应为：

![7542c81dade1a527a8ecce2e87c115d4.png][]

**再假设**要对n个元素排序，不考虑其中m个元素的顺序或其中m个元素顺序一定，则情况数为n个元素的全排列**除掉m个元素的全排列**；

❗这种方法叫**“缩倍法”**，即对全排列的倍数进行缩小；

注意：务必区分定序问题与相邻或不相邻问题哟！

**总结一下：**

定序问题中：

顺序一定=没有顺序=不考虑顺序；

先全部参与全排列，再除掉定序元素的全排列。

**●再来看错位排序问题：**

**什么是错位排序呢？**

指排列好的n个元素，经过一次再排序后，**每个元素都不在原来的位置上**，即为这n个元素的错排；

举个简单的例子，a、b、c、d有自己固定的位置，再一次排序变成了b、a、d、c，即为错位排列。

**错位排序是由著名数学家欧拉提出的，最典型的错位排序问题是装错信封问题**，即：

一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法由多少种？

**这怎么算哦？**

**如果是**a、b两个元素错个位，还好弄，情况数也就是个1；

**再如果是**a、b、c三个元素错个位，也还算好弄，大不了列举一下：

![12f015abe01fa644d527afd174494107.png][]

列举完得出情况数也就是个2；

**那再如果是**a、b、c、d四个元素错位呢？也列举？

过于复杂繁琐啦～

**那怎么办呢？**

我们明确在数量关系中考查错位排序时，并不会考的太复杂太深，**我们只需要记住几个结论，就可以对付数量中的错位排序题**，**什么结论呢？**

当对**1个元素**错位排序时，情况数为**0**；

当对**2个元素**错位排序时，情况数为**1**；

当对**3个元素**错位排序时，情况数为**2**；

当对**4个元素**错位排序时，情况数为**9**；

当对**5个元素**错位排序时，情况数为**44**；

当对**6个元素**错位排序时，情况数为**265**；

**到这里就足够足够了！**

在此基础上，我们一起来看例题了。

**例1：**一张节目表上原有3 个节目，如果保持这 3 个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法：

A.20 B.12 C.6 D.4

**解析：**

**根据题意**，属于“定序问题”，共5个节目，其中3个节目定序；

则**先对5个节目进行全排列，再除掉3个定序的全排列**，即有：

![3da78279a939b934de6ea3018b6db940.png][]

**例2：**扶贫干部某日需要走访村内6个贫困户甲、乙、丙、丁、戊和己。已知甲和乙的走访次序要相邻，丙要在丁之前走访，戊要在丙之前走访，己只能在第一个或最后一个走访。

问走访顺序有多少种不同的安排方式？

A.24 B.16 C.48 D.32

**解析：**

**根据题意**，走访顺序要求甲乙相邻、丙在丁前、戊在丙前，己在首或尾；

即甲乙相邻，戊、丙、丁三户顺序一定，己首或尾；

**则先将甲乙捆绑**，视为一个整体，与戊、丙、丁进行全排列，再除掉戊、丙、丁的全排列；

同时考虑甲乙之间的顺序，即有：

![36733e539f471ec66587e72da503f431.png][]

**例3：**将相邻的4个车位中停放了4辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这4个车位，要求所有车都不得停在原来的车位中，则一共有多少种不同的停放方式？

A.9 B.12 C.14 D.16

**解析：**

**根据题意**，考查4个元素的错位排序，调取记忆中的数据，答案选A。

**例4：**某单位从下属的5 个科室各抽调了一名工作人员，交流到其他科室，如每 个科室只能接收一个人的话，有多少种不同的人员安排方式？

A.120 B.78 C.44 D.24

**解析：**

**根据题意**，考查5个元素的错位排序，调取记忆中的数据，答案选C。

以上就是排列组合中的**定序问题和错位排序问题**；

又来强调咯：

一定要理解，要思考，要读懂题意，分清相邻、不相邻和定序，记住相应的结论，简单计算即可求得答案。

**排列组合之环形和可重复**

**●先来看环形排列：**

**题型特征：**又要**从名称出发了**，看出来了么？

**排成了环，首尾相连了！**

那连就连了，**对排列有什么影响么？**

**我们来分析：**

n个元素排列，**有多少种情况？**

**我们都很熟悉了，不就是n！么？**

那现在条件变了，**n个元素要首尾相连的排，咋整？**

**举个简单的例子：**

**假如**我们对3个元素a、b、c进行排列，**全排列的情形有3！种**，即6种，**列举一下**即为：

abc、bca、cab、acb、cba、bac；

**没问题吧？**

那现在如果要求这三位**围成一个圆**来排列，会出现什么情况？

我们把上面6种排列都给它**首尾相连**起来，则有：

![5eaf745c03806e5707af4389ee214a4c.png][]

有没有发现当围成一个圆时，会有**3种直线排列围出一样的环形排列：**

就像排头到了排尾，排尾到了排头一样，**围起来的时候没有了排头排尾之分**，也**没有了谁先谁后之分**，3个元素只剩下了2种环形排列；

**同理**，4个元素也是一样，5个元素亦然...

**得出结论：**

n个元素做环形排列时，要在全排列的基础上**除掉**n个元素你先我后的n种情况，即有：

![4735df7b71880915119b10d28728179f.png][]

**●再来看可重复排列：**

首先要明确**什么叫可重复排列？**

可重复排列**不同于**其他所有的排列组合，其他排列组合种每个元素只出现一次，但是在可重复排列中，**会有可以重复出现的元素；**

**举个简单的例子**：

甲乙玩猜号码游戏，甲给乙出的题目是猜出纸条上的数字3xxx的后3位，请问乙**最多**要猜多少次可以猜出答案（每次答案不重复）？

**这怎么猜呢？**

可以确定的是xxx都是数字，可选择的范围是0-9，即每一位上都有10中选择；

也就是每个x都可以选0-9中的数字，即：0-9中的每个数字都可以被重复选择3次；

**这就是可重复排列；**

**怎么选呢？**

很简单呐，每个x都有10种选择，那3个x就有：

10x10x10=1000种组合...

不重复的猜，倒霉的乙也许要猜到第1000才能猜对哟！

**那如果**甲给的是**3xxxx**，乙要猜多少次呢？

每个x依然是有10种选择，0-9种每个数字可以被重复选择4次，此处@所有人，**提醒咯**：

![b3b631743df8b2af2938b0afa91fcfb9.png][]

**谁当底数？谁当指数？**

务必要搞清楚，搞反了可就错大发了！

可重复排列，谁可以重复，那谁的数量是底数！

可以重复多少次？次数则为指数！

**就以上的例子来说：**

0-9的数字可以被重复，数字的数量为10，则10为底数；

**可以被重复选多少次？**

3个x，则可以被重复选3次，3为指数；

4个x，则可以被重复选4次，4为指数。

此处感谢乙，让我们来总结一下：

![7178ed9891c7183a74f0342bb17c4ef9.png][]

到这里，可算是把我们特殊情形介绍完咯，来看例题吧！

**例1：**6个小朋友围成一圈做游戏，小华和小明需要挨在一起，问有多少种安排方法?()

A.360 B.240 C.120 D.48

**解析：**

**根据题意**，属于“环形排列且相邻问题”；

先用**捆绑法**将小华和小明捆在一起，与其他4个小朋友进行**环形全排列**，即对**5“个”小朋友**进行环形全排列，同时再考虑小华和小明内部的顺序，即有：

![58372a6633baa1c70fd88e4a6c54b6d9.png][]

**例2：**某小学组织6个年级的学生外出参观包括A科技馆在内的6个科技馆，每个年级任选一个科技馆参观，则有且只有两个年级选择A科技馆的方案有：

A.1800 种 B.18750 种 C.3800 种 D.9375 种

**解析：**

**根据题意**，出现“任选”，即有科技馆可以被重复选择；

**又**“有且只有两个年级选A”，则从6个年级中选出2个去参观A，

其余4个年级任选5个科技馆中的一个，即有：

![08768b20b245e6cab7ddc4c0412e1be2.png][]

**例3：**有4个不同的信箱，有5封不同的信件欲投其中，则不同的投法有：

A.5 种 B.1024 种 C.40 种 D.625种

**解析：**

根据题意，5封信被投入4个信箱，即：

有4个信箱可以被选择，每个信箱可以被选择5次；

![c77fe4f38fd75bb646e9f0e6dd40a99d.png][]

以上就是**排列组合中的环形排列和可重复排列问题**；

到这里，我们的排列组合就全部介绍完了；

喜大普奔呐～～～

**回过头来梳理一下：**

排列组合我们介绍了**基础概念和公式、相邻与不相邻问题、相同元素分配和平均分组问题、定序问题和错位排序问题、环形排列和可重复排列问题**；

**复杂么？**

说实话，有一点；

**但是**，这是一个过程，只要梳理清楚了这个过程，这就不算问题；

该理解的理解，该记住的记住，该刷题的刷题；

老话说的一定没问题：**你走过的每一步，都！算！数！**

**数量关系 8.高频考点常用解题方法-概率问题**

**概率**

**概率是什么？**

概率即某种情况发生的**可能性**，一般以**0～1**之间的实数来表示；

**越靠近1**，则该情况发生的可能性越大；

**越靠近0**，则该情况发生的可能性越小。

**其公式为：**

![009ee87dded633e2ebe2190060f5866c.png][]

**从公式出发提示我们：**

遇到正向情况较复杂的，可以**逆向**来计算；

**从公式出发也不难看出：**

为什么我们前面说排列组合是概率的基础，概率的公式中**分子分母都在求情况数**，都是在一定条件下的排列组合；

既然如此，**那概率中一定会涉及到排列还是组合，分步还是分类；**

**即务必要分清：**

是否有顺序，是独立的完成还是其中的一步！

当然，除排列组合外，还有**一种情况数无穷多或这无法计数**，则可以通过**区域面积或者长度**来计算概率，即涉及到了**几何图形**的概率，虽然考查较少，但我们也要了解一下；

**例如：**

为了完成毕业课题，小王需要完成一块田的种植，该田的形状和面积给定，其中有部分是营养土，有部分是普通土壤，有部分是...土，假设种子都被均匀的洒在田中且发芽率一致，则种子被洒在营养土中概率为？

这里就不涉及情况数了，**怎么计算？**

算营养土面积占总面积的比例，求出的即为设问的概率。

理解了吧？

我们一起来看例题。

**例1：**某场羽毛球单打比赛采取三局两胜制。假设甲选手在每局都有80%的概率赢乙选手，那么这场单打比赛甲有多大的概率战胜乙选手？

A.0.768 B.0.800 C.0.896 D.0.92420

**解析：**

根据“三局两胜制”可知，甲赢得乙有**几种情况**，需要分情况讨论，且每种情况都可以独立的赢得乙；

即为分类，求出每种情况的概率之后，**相加**得总概率：

**情况1：**

甲第一局和第二局胜，则直接胜出，概率为：80%x80%；

**情况2：**

甲第一局胜，第二局败，第三局胜，则概率为：80%x20%x80%；

**情况3：**

甲第一局败，第二局和第三局胜，则概率为：80%x20%x80%；

**相加即为：**

80%x80%+80%x20%x80%+80%x20%x80%

=0.8x0.8+0.8x0.8x0.2x2

=0.64+0.64x0.4

=0.64x1.4

末尾为6，答案选C。

**例2：**某宵节时某单位工会组织猜灯谜活动，需要在标号1、2、3、4 四个灯笼上 贴上四道不同难度的谜语，1号灯笼对应难度最低的灯谜，2、3、4 号灯笼对应灯谜的难度依次递增。工作人员安排了一位志愿者帮忙贴灯谜，但由于匆忙忘记告诉志愿者灯谜的难度，那么灯谜位置全部贴错的概率是：

![38dcf6acce2fa9f51717000abdc87d1e.png][]

**解析：**

根据**“全部贴错”**可知，考查错位排序问题；

则思路为：

分母为总的情况数，分子为错位排序情况数；

对4个元素错位排列，调取记忆中的数据，情况数为9；

**总情况数为：**4个元素的全排列，即4！

![1ab0042f207334436ba38a0a4ed3b1a6.png][]

**例3：**某单位工会组织桥牌比赛，共有8 人报名，随机组成 4 队，每队 2人。那么，小王和小李恰好被分在同一队的概率是（ ）。

![65fae3630030a6637c72fa266cb47736.png][]

**解析：**

根据**“每队2人”**，可知考查平均分组问题；

思路为：

分母为平均分组的总情况数，分子为除小王和小李外的其余6人的平均分组情况数；

根据平均分组结论，即有：

![bd7c3173f985eb76a6f8358c875b9176.png][]

**例4：**有5对夫妇参加一场婚宴，他们被安排在一张10个座位的圆桌就餐，但是婚礼操办者并不知道他们彼此之间的关系，只是随机安排座位。问5对夫妇恰好都被安排在一起相邻而坐的概率是多少：

A.在 1‰到 5‰之间 B.在 5‰到 1%之间 C.超过 1% D.不超过 1‰

**解析：**

根据题意可知，考查**环形排列和相邻问题**；

因**“5对夫妇相邻而座”**可知，需要将5对夫妇各自捆绑，变为5个组参与环形排列，且考虑内部顺序，即有：

思路为：

分母为10人环形排列总情况数，分子为带内部顺序的5组的环形排列；

**根据环形排列结论：**

![914f31442a291b2509a8775fe865d726.png][]

**例5：**小波通过往圆圈里投掷米粒（米粒本身长度不计，视为一个点）的方式决定自己的周末活动经过试验，他将米粒投进圆圈内的成功率达到100%，但投掷在圆内的位置随机如果米粒到圆心的距离大于圆半径的一半，那么他周末去看电影；若米粒到圆心的距离小于半径的 1/4，他会去打篮球；否则，他将在家看书据此可知小波周末不在家看书的概率为（ ）。

![65658dd1015f657a5b0dfdc7728a221e.png][]

**解析：**

根据题意，出现圆圈、圆的半径等，考虑该概率与几何图形有关，辅助画图：

![20dfddd0e502f49bfdfb15b4543808fd.png][]

![d73a67585e930cac117a71cc589d082d.png][]

以上就是**排列组合**基础上的概率问题；

通过例题的展示，相信大家也看出来了，排列组合有多重要，概率其实仅仅是求出两种情况数后附加的一个步骤；

**数量关系9.高频考点常用解题方法-容斥问题**

**什么是容斥问题呢？**

**容斥问题**同**排列组合和概率**一样，都是数量关系中常考查的**有关计数**的问题；

**容和斥**，**容**即容纳、包容，**斥**即排斥、排除；

即**容斥问题**中一定会**存在包含和排除**的关系；

**如此抽象呢？**

其实说白了，也就是**集合问题**，而**集合与集合之间又很容易存在交叉**，那么在计数的时候，如果直接两个集合数相加，很容易出现**重复被加**的元素，那么重复的部分就需要被排除掉；这就是**容斥问题**。

**容斥问题常考查的题型如下：**

两集合问题、三集合问题和多集合问题；

其中**多集合问题**常考查**最值**，我们将其放在最值的篇幅里介绍；

本篇我们先来看**两集合问题和三集合问题**；

**●首先来看两集合问题**：

从**例子**入手来分析；

**例：**某乡有32户果农，其中有26户种了柚子树，有24户种了橘子树，还有5户既没有种柚子树也没有种橘子树，那么该乡同时种植柚子树和橘子树的果农有( )

A.23户 B.22户 C.21户 D.24户

**本题中**，给定了**一个总数、两个不同的集合**柚子A、橘子B，我们用**文氏图**表示如下：

![f56d90984aaa9b988520110840e25bd2.png][]

**由题意可知**，数值与图示的对应关系应为：

方框为32、红色部分为26，绿色部分为24，都不满足为5；

**其中**红色部分和绿色部分有重叠，**重叠部分**即为设问所求“同时种植柚子树和橘子树的果农”

![6be4a6a0e4c4e0e421d515184da70669.png][]

从图示不难发现，当我们计算A+B时，红色和绿色的重叠部分**被加了两次**，重复的需要排除掉，所以需要减去重复部分，即表示为：

![8e50540619552cea12fe1abfdef5fc01.png][]

那么例题就迎刃而解了：

**代入数据：**

32-5=26+24-都种的；

求得都种的为：50-27=23，答案选A。

**●再来看三集合问题；**

依然从**例子**入手：

**例：**某小学开展特色课外兴趣班，有篮球、绘画、舞蹈3种课程，其中报名篮球的有13位，报名绘画的有21位，报名舞蹈的有18位，既报名舞蹈又报名绘画的有8位，既报名篮球又报名绘画的有5位，既报名篮球又报名舞蹈的有6位，三种课程都报名的有2位；

问：报名兴趣班的一共有多少同学？

有了两集合的思路，对于**三集合我们直接来看文氏图**：

![00deccb8f555e5e218ab6a0b26a7f9cd.png][]

**其中**篮球为A，绘画为B，舞蹈为C；

**那么根据题意**，数值与图示的对应关系应为：

绿色为13，红色为21，蓝色为18；

绿色与红色重叠的部分为5，红色与蓝色重叠的部分为8，蓝色与绿色重叠的部分为6；

三色都重叠的部分为2；都不满足为0，**求方框**；

在两集合中我们知道要除掉重叠的部分，在三集合中亦然；

**怎么除呢？**

从颜色出发，**我们把目标定为**：无论什么颜色，有色部分只能留下一种颜色；

**即**两色重叠的部分去掉一色，三色重叠的部分去掉两色；

![f9744e07bbb1c37c51db088f30bf2225.png][]

到这里，我们来**验证下颜色：**

红绿去掉一色、红蓝去掉一色、蓝绿去掉一色，**但是！**这个过程中，**三色重叠的部分被去掉了三次**，去掉3次意味着没有颜色了，但我们要求保留一色，所以在以上公式的基础上，我们需要**再加回一次三色**，即：

![fad1d3dd2673f23275e2e3fcd70eba5d.png][]

那么**例题**求解如下：

**代入数据即有：**

总数-都不满足的（为0）=13+21+18-5-8-6+2=35，即总人数为35。

**此为三集合标准型，那什么是不标准型呢？**

**●三集合非标准型；**

**给定的数据不同，如图所示：**

![9f6831b9b2634714b9447fc09c69492e.png][]

**标准型**给定的是两两和三者之间的数据，而**非标准型**给定的是如图所示的：1、2、3、4的数据；

**用文字描述**即为：只满足两者的数据，即从满足两者的数值中除去了满足三者的数值；

**那这个时候如果用公式应该如何表示呢？**

我们依然从颜色出发，**将目标定为**：

无论什么颜色，有色部分只能保留一种颜色；

如果此时计算A+B+C，**则应该怎么去掉重复呢？**

从图示出发即有：

![8e94b85661f409d9cdd0fcdc44d0a4aa.png][]

以上就是两集合和三集合容斥问题；

理解清楚题意，可以**辅助画图**理清集合之间的关系，在此基础上来看例题；

**例1：**学校有300 个学生选择参加地理兴趣小组、生物兴趣小组或者两个小组同时 参加，如果 80%学生参加地理兴趣小组，50%学生参加生物兴趣小组。

问同时参加地理和生物兴趣小组的学生人数是多少：

A.240 B.150 C.90 D.60

**解析：**

**题干**出现2个小组人数问题，**考查两集合容斥**；

**两集合人数分别为**：

地理300x80%=240人，生物300x50%=150人；

**根据公式可知：**

总数-都不满足=240+150-都参加

其中都不满足为0，即有：

都参加=240+150-300=90，答案选C。

**例2：**工厂组织职工参加周末公益活动，有80%的职工报名参加，报名参加周六活动的人数与报名参加周日活动的人数比为 2：1，两天的活动都报名参加的为只报名参加周日活动的人数的50%，问未报名参加活动的人数是只报名参加周六活动的人数的？（ ）

A．20% B．30% C．40% D．50%

**解析：**

**题干**出现周六周日两个集合，**考查两集合容斥**；

条件出现**各类比例关系**：

周六=2周日，周六且周日=50%只周日；

假设周六且周日的人数为x，通过画文氏图辅助理清集合关系：

![eb9cd1654436c39f5605e151341b371f.png][]

重叠部分为x，则只周日=2x，周日=3x，周六=6x，只周六=6x-x=5x

则周末参加活动的总人数为：6x+3x-x=8x；

总人数为8x／80%=10x，即未报名活动的人数为2x；

**则设问所求为：**

未报名／只周六=2x/5x=40%，答案选C。

**例3：**为丰富职工业余文化生活，某单位组织了合唱、象棋、羽毛球三项活动。在该单位的所有职工中，参加合唱活动的有189 人，参加象棋活动的有 152人，参加羽毛球活动的有 135 人，参加两种活动的有 130 人，参加三种活动的有69 人，不参加任何一种活动的有 44 人。

该单位的职工人数为（ ）人。

A．233 B．252 C．321 D．520

**解析：**

**题干**出现合唱、象棋和羽毛球三集合，**考查三集合容斥；**

**再看条件**，判断是标准型还是非标准型；

根据“参加两种活动的人”可知，考查非标准型；

根据**非标准型公式**，代入数值即有：

总数-都不满足=总数-44

=189+152+135-130-2x69

即总数=189+152+135-130-2x69+44

可以计算的结果，也可以看尾数：

9+2+5，尾数为6；

6-0-8+4，尾数为2，答案选B。

**例4：**对某单位的100 名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛、电影和戏剧。其中 58 人喜欢看球赛，38 人喜欢看戏剧，52 人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18 人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有 16 人，三种都喜欢看的有 12 人，则只喜欢看电影的有（ ）

A. 22 人 B. 28 人 C. 30 人 D. 36 人

**解析：**

**题干**出现球赛、电影和戏剧三集合，**考查三集合容斥**；

**再看条件**，根据3个“既...又..”可知为**考查标准型**；

根据**标准型公式**，代入数值即有：

总数-都不满足

=58+38+52-18-16-球赛且电影+12=100

**求得**：

球赛且电影=26人；

那设问的“只喜欢看电影的人”怎么求呢？

如果一时想不到，别忘了**画图来辅助理清**：

![e8fe99eef9080f965fd70442144f4e72.png][]

只喜欢电影的人应为绿色不重叠部分，即：

只电影

=电影-电影且戏剧-电影且球赛+三种都喜欢

=52-16-26+12，尾数为2，答案选A。

以上就是**容斥问题中的两集合和三集合问题**；

**数量关系10. 高频考点常用解题方法-最值问题**

**什么类型的题目是最值问题呢？**

出现“最多、最少／至少、最大、最小...”即为最值问题；

在数量关系中最值关系的考查，常出现的有**如下3种描述：**

**“至少....才能保证...”**

**“最多的人/最少的城市/排第..名的.....至少/最多......”**

**“全部/都/共同...至少...”**

3种描述分别对应**3种题型**，每种题型对应**最佳的解题方法**，我们分2篇来一一介绍。

**本篇先看前两种：**

●**先来看“至少+保证”**

**怎么理解呢？**

**举个例子**：

甲有一个苹果和一车共666个梨，乙对甲说，我想要一个苹果；但甲觉得梨更好，一直给乙梨，直到给了乙666个梨之后，不情不愿的把唯一的苹果给了乙；

乙简直无语至极，甚至快被气死了，但好在拿到了苹果，虽然是第667次才拿到.....

**此时**，我们用**“至少+保证”**来描述一下：

**即至少经过667次**，才能保证乙一定会拿到苹果。

这一类最值的解法叫做**“最不利构造”**：

即**要什么不给什么**，穷尽所有不要的之后，再给那个要的，就是答案；

**整理总结一下即为**：

**“至少+保证”**类题型，找到最不利的情况数，那么再经过一次，就可以完成“保证”，**即答案为：最不利+1。**

**●再来看两最、排名+最多／最少问题，即：**

**“最多+至少、最少+最多、排第...+最多／最少”**

**这又怎么理解？**

**依然举个例子：**

甲的一车现在有666个梨，要分给ABCDE5个人，每个人得到的数量互不相同，那么如果最终A得到的梨的数量排在第四，那么A最多能得到多少个梨？

这这...搞半天5个人的数量都是未知馁？

**我们尝试来分析一下：**

**总和是一个定值**，想让A尽可能的**多**，那么就需要其余四个人尽可能**少**且各不相同；

**那假设**A的数量为x，排名第四；

那**第三名**尽可能少的话，那就比A多一个好了，即为x+1；

**第二名呢？要比第三名多一个，即为**x+2；

**第一名呢**？比第二名多一个，即为x+3；

第五名呢？要最少，那给1个好了。

这样一来，5个人**按照顺序排成了一个数列**，且满足5个人之和为666，

**即有：**

(x+3)+(x+2)+(x+1)+x+1=4x+7=666

求得x=164.75

也就是说，x最多为164.75个，取整取多少？

**最多**为164.75，那只能取164了！

那如果问最少呢？那就需要取165了。

**整理总结一下：**

**“和定且两最或排名+最”**问题，采用**数列构造**的方式求解；

**解法步骤为：**

**先**根据题意为所有的元素**排序**；

**再**求谁**设谁为x**；

**然后**根据题意，构造出**其他元素的值**；

**最后**列方程**求和**，解出x的值。

**注意咯！**

此时如果x为整数，那么直接选择；

如果x为小数呢？问最多和最少的取值是不同的：

**问最多**，**舍小数**；

**问最少**，**小数进位**，即无论小数为几，皆取小数为1加上去。

好！趁热打铁来看例题～

**例1：**某高校举办一次读书会共有37位同学报名参加，其中中文、历史、哲学专业各有10 位同学报名参加此次读书会，另外还有4位化学专业学生和3位物理专业学生也报名参加此次读书会，那么一次至少选出多少位学生，能保证选出的学生中至少有5位学生是同一专业的。

A.17 B.20 C.19 D.39

**解析：**

**题干设问“至少...+保证”**，可知需要**构造最不利**；

分析要满足“至少5为学生是同一专业的”，怎么办？

**要什么不给什么！**

**要5个？不给，最多给你4个！**

**看专业：**

中文、历史、哲学各10位同学、化学4位、物理3位；

**怎么给？**

4位化学的都给！3位物理的都给！

中文、历史、哲学的各给4位！

最后再不情不愿的随机给1位，这一位的专业一定是中文、历史、哲学中的某个；

至此，最不利+1就构造好了；

答案应为：（4+3+4+4+4）+1=20，答案选B。

**例2：**某演唱会主办方为观众准备了白红橙黄绿蓝紫7种颜色的荧光棒各若干只，每名观众可在入口处任意选取 2 只，若每种颜色的荧光棒都足够多，那么至少（）名观众中，一定有两人选取的荧光棒颜色完全相同。

A.14 B.22 C.28 D.29

**解析：**

**题干设问“至少...一定”**，即**“至少+保证**”类题型，需要**构造最不利；**

要满足“有两人选取的荧光棒颜色完全相同”，怎么办？

**要什么不给什么！**

每个来的人选的就恰好和前面的不同；

那荧光棒的不同组合会有多少种？

来看题干，7种颜色的荧光棒足够多，每人任选2只；

有2种情况：

![16aa1304ea22c099eadc2e9514eb7da0.png][]

**例3：**某街道服务中心的80名职工通过相互投票选出6名年度优秀职工，每人都只投一票，最终 A、B、C、D、E、F 这 6 人当选。已知A票数最多，共获得20张选票；B、 C 两人的票数相同，并列第2；D、E 两人票数也相同，并列第3；F 获得10张选票，排在第4。

那么B、C 获得的选票最多为（）张。

A.11 B.12 C.13 D.14

**解析：**

**根据题意**，考查**“排名+最”**问题，可知需**构造数列**；

**看题干**：6人为有顺序的序列，

排序为：

![9f52274c40465ecfa04830851bdfa320.png][]

**设问要求**“B、C”最多，那就需要让D、E尽可能少；

那只要让D、E稍微比F强一点就行，得票11张；

即有：20+2x+22+10=52+2x=80

解得：x=14，答案选D。

**例4：**某通信信道可以传输的信号由1、2、3、4 四个数字组成，每组信号包含4个数字（可重复），且前两个数字必须为奇数。某次传输过程中共传输了250组信号，其中传输次数最多的信号传输了x次。

问 x 的最小值为:

A.2 B.3 C.4 D.5

**解析：**

**根据题意**，考查**“两最”**问题，可知需**构造数列**；

**看题干**，信号的传输次数之间没有明确的排序，即所有的信号都可以传输同样多次；

**那一共有多少组不同的信号呢？**

**看条件：**

每组4个数字可重复，且前两位是奇数；

那第一位和第二位均有1、3两种可能；第三位和第四位均有1、2、3、4四种可能；

情况数为：2x2x4x4=64种；

则**若每组信号均传输最多，并列第一**，传输次数为x次，即有：

64x=250，解得x=3.9...，问最小，取小数为1，加上去，得：x=4。

答案选C。

**例5：**某新能源汽车企业计划在A、B、C、D 四个城市建设72个充电站，其中在B市建设的充电站数量占总数的 1/3，在C市建设的充电站数量比A市多6个，在D市建设的充电站数量少于其他任一城市。

问至少要在C 市建设多少个充电站？

A．20 B．18 C．22 D．21

**解析：**

**根据题意**，考查**“排名+最”**问题，可知需**构造数列**；

A、B、C、D为**有顺序的序列**，其中B市充电站数量为：72/3=24个；

**如何排序呢？**

其他三个城市中，可以确定的是C市最多，但设问又想让它尽量少，那么我们就让他小于24，则四者的排序为：

![85981a7226aac2ebe6cd3c56778a7730.png][]

要求“C最少”，则**其他要尽量多**，那就让D仅次于A，为x-7，即有：

x+x-6+x-7=48;

解得x=20.3333.....，**问最少，小数部分取1加上去**，即x=21，

答案选D。

以上就是最值问题种的**最不利和数列构造**；

牢牢记住题型特征，稳稳对应解题方法，简单迅速求得结果！

继续看**最值问题**中的最后一种常考题型，也就是我们在容斥问题中提到过的**多集合题**：

**最值**

**题干特征：**“全部／都／共同...至少...”

这样看，有点抽象，我们看个**例题**：

**例：**某社团共有46 人，其中 35 人爱好戏剧，30 人爱好体育，38 人爱好写作，40 人爱好收藏，这个社团至少有多少人以上四项活动都喜欢：

A、5 B、6 C、7 D、8

直观一看，**很熟悉呐，这就是集合呗；**

是的，集合我们一定不陌生了，但是我们前面介绍的是**两集合和三集合**的求值问题，这里出现了**4个集合**，而且设问也与前面不同，**问“至少...都喜欢...”？**

**“至少”这是最值的描述**，问最少，属于多集合的最值问题，**如何求解呢？**

上一篇我们接触的两种最值问题，求解的时候都是**根据题干条件构造了一种情形**，沿着这个思路来看，**多集合中我们也需要构造个什么情形**，**怎么构造呢？**

我们**尝试来分析一下：**

![977f4cc758fe77f0cd753681f145be8c.png][]

通过**文氏图**可知：

A、B、C、D分别为喜欢四项活动的，其中：

**两色重叠**部分为喜欢两项的；

**三色重叠**部分为喜欢三项的；

**四色重叠**部分为喜欢四色的；

如果按照集合的思路，我们需要知道二重和三重部分的数据、都不满足的数据，才能一步一步推出来四色，但是太复杂了这，万一再出个**5个集合、6个集合呢？**

关键再回看题干，题干也没给这个数据呐，想复杂着推也推不了，咋整？

我们说**正面情形较复杂时，可以逆向切入：**

**四项都喜欢人数=总人数-不都喜欢的人数**

**四项都喜欢的人最少？**那就需要**不都喜欢的人最多**。

**那不都喜欢的人数哪里来呢？**

这时**回看题干**，我们不难发现：

46人中：

①有35人爱好戏剧，那么就有46-35=11人**不喜欢**戏剧；

②有30人爱好体育，那么就有46-30=16人**不喜欢**体育；

③有38人爱好写作，那么就有46-38=8人**不喜欢**写作；

④有40人爱好收藏，那么就有46-40=6人**不喜欢**收藏。

...

那**不都喜欢**和①②③④**这4个不喜欢**之间**有什么关系呢？**

**不都喜欢**可能是：

不喜欢其中1个，不喜欢其中2个，不喜欢其中3个，甚至一个都不喜欢；

此时我们用**文氏图**来表示，即有：

![8e0bdaacf43347bc2e528613c8f5ab5c.png][]

**方框**为总数，4个集合分别为不喜欢其中之一的，可知：

**两色重叠**部分即为不喜欢其中之二的；

**三色重叠**部分即为不喜欢其中之三的；

**四色重叠**部分即为不喜欢4者的；

**都不满足的**即为都喜欢的；

那我们求**不都喜欢的人数**时，即求：

![a7bfce543ad2cb850856d779f7028fde.png][]

如果想要**不都喜欢最大**，那就是**重叠部分最少**，这时就需要**将4个集合分开**，**让他们不再有任何重叠**，即变为下图的形式：

![5e6fc4d7a675f63f0b79a482e7119d43.png][]

**那么此时**便构造出了**“不都喜欢的人是最多的”**情形；

则有**“都喜欢的最少”=总数-“不都喜欢的最多”**

再回到上面的**例子**，就可以迎刃而解了：

戏剧、体育、写作和收藏中，不都喜欢的人最多为：

11+16+8+6=41，

则可求得：

都喜欢的至少为：46-41=5人。

**整理总结**一下即为：

**题干给定条件为：**

**多个集合**，问**“至少...都”**的情形，则逆向思考，找出每个集合的**反面**，**求和**，再用总量**做差**，求得答案。

此种方法即为：**多集合反向构造**。

除此之外，多集合的考查，**也会出现在“至少...都”的基础上加限制条件的问法；**

**例如**：共有100个人参加某公司的招聘考试，考试的内容共有5道题，1～5题分别有80人、92人、86人、78人和74人答对。答对3道和3道以上的人员能通过考试，请问至少有多少人能通过这次考试？( )

A．30 B．55 C．70 D．74

依然是给定了**多个集合**，问**“至少...能”**，但是却加上了一个**限制条件“答对3道和3道以上的人可以通过”**

**那这个时候怎么构造呢？**

我们一起来**分析**：

**能通过考试的人需满足：**答对**3**或**4**或**5**道；

现在题干中**已知了**被答对的题目的总数，**假设**通过的人数为x，则有未通过的人数未100-x，且未通过的人答对题目为0或1或2：

**我们有等量关系：**

**通过的人答对的题**\+未通过的人答对的题=**答对的题总量**

即有：

![b4a1636a28e6d58d3387948774d80c66.png][]

如果想让x尽量小，那就需要其他的三个数尽量大；

那通过的人答对的题最多为5，那就**第一个框填5**；

未通过的人答对的题最多为2，那就**第一个框填2**；

**即得：**

5x+2（100-x）=总数=80+92+86+78+74；

200+3x=410

3x=210

求得x=70，答案选C。

**这是正面求解的，那可不可以反面求解呢？**

当然可以；

先求得**被答错的题量**，从第一题到第五题，答错的人分别为：

20、8、14、22、26；

被答错的题目总量为20+8+14+22+26=90题；

现在问**通过的人最少的情况**，需要**构造出未通过的人最多；**

根据题意，通过的人答错的题为0或1或2 ，未通过的人答错的题为3或4或5；

**依然有等量关系：**

**通过的人答错的题**\+未通过的人答错的题=**答错的题总量**

即有：

![0632bf7310f270d9a12f5192b0b4a143.png][]

如果想要**未通过的人最多**，那其他三个数就要尽量小；

则有：

0x+3（100-x）=90

100-x=30

解得x=70，答案选C。

我们会发现本题中**反向构造**更简单些，所以推荐反向哈～

**整理一下反向**，即有：

问**“通过的人最少”**，则构造**“未通过的人最多”**的情形；

记住：**构造最多，找其最少！**

根据**限制条件**：

未通过的是答错的题多了，**至少**答错了3道；

求出“被答错”的总量，**总量／至少量=至多人！**

**总人数-逆向至多人=正向至少人！**

**理解了么？**

文字不够直观对吧？代入数据：

被答错的总量为90，未通过考试的人至少答错3题，则90/3=30为**最多情形**下未通过考试的人！

100-30=70，即为**最少情形下**通过考试的人。

**整理总结一下**即为：

题干给定条件为：

**多个集合**，问限制条件下的**“至少...都”**，**反向构造最多情形，构造最多找其最少；**

那如果问限制条件下的**“最多...”**，**直接找其最少！**

简单计算求得结果。

以上**两类多集合最值**题型，**问最少反向构造最多**，问最多**直接求；**

可以直接记结论，更推荐在理解清楚过程的基础上强化记忆，印象会更深刻。

**接下来就看例题了。**

**例1：**阅览室有100本杂志，小赵借阅过其中75本，小王借阅过70本，小刘借阅过60本，则三人共同借阅过的杂志最少有（ ）本。

A．5 B．10 C．15 D．30

**解析：**

**根据题意**，给定**3个集合**，问**“共同...最少”**，可知考查**多集合反向构造问题**；

**找每个集合的反向**：

小赵借阅过75本，那没被小赵借阅过的为：

100-75=25本；

小王借阅过70本，那没被小赵借阅过的为：

100-70=30本；

小刘借阅过60本，那没被小赵借阅过的为：

100-60=40本；

找到每个集合的反向之后，对其**求和**，即有：

没被共同借阅过的书最多有：

25+30+40=95本；

再用总量**做差**：

则共同被借阅多的最少为100-95=5本；

答案选A。

**例2：**某软件公司对旗下甲、乙、丙、丁四款手机软件进行使用情况调查，在接受调查的1000 人中，有 68%的人使用过甲软件，有 87%的人使用过乙软件，有 75%的人使用过丙软件，有 82%的人使用过丁软件。那么，在这 1000 人中，使用过全部四款手机软件的至少有（ ）人。

A．120 B．250 C．380 D．430

**解析：**

**根据题意**，给定**4个集合**，问“全部...至少”，可知考查**多集合反向构造问题；**

**找每个集合的反向**：

使用过甲软件的人有68%，那么没使用过甲软件的为：

（1-68%）x1000=320人；

使用过乙软件的人有87%，那么没使用过甲软件的为：

（1-87%）x1000=130人；

使用过丙软件的人有75%，那么没使用过甲软件的为：

（1-75%）x1000=250人；

使用过丁软件的人有82%，那么没使用过甲软件的为：

（1-82%）x1000=180人。

**求和**即得没全部使用过的人最多为：

320+130+250+180=880人，

再用总量**做差**：

则全部使用过的人最少为：1000-880=120人，

答案选A。

**例3：**有书法大赛的观众对5幅作品进行不记名投票。每张选票都可以选择5幅作品中的任意一幅或多幅，但只有在选择不超过2幅作品时才为有效票。5幅作品的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的69%、63%、44%、58%和56%。

问本次投票的有效率最高可能为多少？（ ）

A．65% B．70% C．75% D．80%

**解析：**

**根据题意**，给定**5个集合**，**求限制条件下的最值问题**；

问**“投票有效率最高”**，即有效票张数**最多**，**直接找其最少；**

**“有效票”**有**什么是最少？**

根据**限制条件**：

**“选择不超过2幅作品为有效”**，也就是：

选择**最多2幅**作品，那对应的最少就是，**最少3个未被选；**

假设观众共100名，则**未被勾选数共**

500-（69+63+44+58+56）

=500-290=210；

未被勾选数**总量**为210，**总量／最少=最多**；

即**有效最多**=210/3-70，有效率即为70/100=70%，

答案选B。

以上就是**最值问题、容斥问题**中的**多集合反向构造**题型；

通过例题的展示，相信大家也看出来了，如果没有前面分析理解的过程，是没有办法快很准的找到方向的。

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