【软考】数据结构与算法基础 - 常见的算法设计思想（动态规划）

矫情吗；* 2024-03-23 19:38 10阅读 0赞

## 一、动态规划算法是什么？ ##

动态规划是一种常用的算法设计思想  
动态规划通过在每一步解决子问题并将结果存储在表中来最大化算法的效率。  
动态规划是一种非常强大的算法设计思想，它可以解决许多复杂的问题。

## 二、动态规划算法的核心思想 ##

它通过将原问题分解为一系列相互依赖的小问题，并将小问题的解决方案存储起来，以便在解决更大问题时重用这些解决方案，从而避免了重复计算，提高了算法的效率。

它将问题分解为多个子问题，并将子问题的解组合起来，达到解决原问题的目的。

它的核心思想是将原问题分解为一系列子问题（多个子问题），按顺序求解这些子问题，并将子问题的解决方案存储下来，以避免重复计算。在求解较大问题时，通过重用已经计算过的子问题解决方案，动态规划能够加速算法的求解过程。

## 三、动态规划算法的应用场景 ##

动态规划通常用于**解决问题的规模较大的情况**，因为它的时间复杂度是指数级别的，但是在实际应用中，动态规划的效率通常比其他算法设计思想更高。

动态规划适用于具有重叠子问题和最优子性质的问题。

动态规划通常用于求解以下问题：

*  最优子段和问题：给定一个数组和一个目标值，要求找出该数组中是否存在一段子数组，使得该子数组的元素和等于目标值。
 *  最长公共子序列问题：给定两个序列，要求找出这两个序列的最长公共子序列的长度。
 *  最大子段和问题：给定一个数组，要求找出该数组中最高的连续子数组的元素和。
 *  背包问题：给定一些物品和一个背包，每个物品都有自己的重量和价值，要求在不超过背包容量的情况下，使得背包中的总价值最大。
 *  最优装载问题：给定一些物品和一个船，每个物品都有自己的重量，要求装载船的物品重量不超过船的容量，并且装载的物品总价值最大。

## 四、动态规划算法的注意事项 ##

需要注意的是，动态规划算法并不一定能够得到问题的最优解，它只能得到一个最优解或近似最优解。在实际应用中，需要根据具体问题进行分析和设计，选择合适的动态规划策略和状态转移方程，以保证算法的正确性和效率。

动态规划的实现过程往往比其他算法设计思想更为复杂，因此需要更多的时间和精力来实现。此外，动态规划的时间复杂度通常是指数级别的，因此在实际应用中，需要考虑如何优化算法，以降低时间复杂度。

## 五、动态规划算法的实现方式 ##

首先，确定一个评价指标，用于评估每个解决方案的有效性。  
然后，在每一步解决子问题，并将结果存储在表中。  
在解决子问题时，需要遵循一些特定的条件，以确保解决方案是有效的。  
最后，根据表中的结果来找到最优的解决方案。

## 六、动态规划算法的常见应用 ##

### 6.1 求解最短路径问题 ###

Question：在一个图中，找到从起点到终点的最短路径。

动态规划的解决方案是：  
首先，设定一个表来保存从起点到每个节点的最短路径。  
然后，遍历所有的节点，  
对于每个节点，设定两个变量  
一个变量 min\_dist 来保存从起点到这个节点的最短路径  
一个变量 visited 来保存这个节点是否已经被访问。

如果这个节点是起点，就将 min\_dist 设为 0，将 visited 设为 true。  
如果这个节点已经被访问，就跳过这个节点。  
否则，遍历所有从起点到这个节点的路径，并计算每条路径的距离。  
如果已经找到了更短的路径，就更新 min\_dist 的值，并将 visited 设为 true。  
最后，将 min\_dist 的值保存在表中，并重复这个过程，直到找到了从起点到终点的最短路径。

### 6.2 求解最小生成树问题。 ###

Question：在一个带权的图中，找到一棵生成树，使得这棵生成树的边权和最小。

动态规划的解决方案是：  
首先，设定一个表来保存从每个节点到其他节点的最小生成树。  
然后，遍历所有的节点，  
对于每个节点，设定两个变量  
一个变量 min\_cost 来保存从这个节点到其他节点的最小生成树的边权和，  
一个变量 visited 来保存这个节点是否已经被访问。

如果这个节点是起点，我们就将 min\_cost 设为 0，将 visited 设为 true。  
如果这个节点已经被访问，就跳过这个节点。  
否则，遍历所有从这个节点到其他节点的边，并计算每条边的边权和。  
如果已经找到了更小的边权和，就更新 min\_cost 的值，并将 visited 设为 true。  
最后，将 min\_cost 的值保存在表中，并重复这个过程，直到找到了从起点到所有节点的最小生成树。

在这个过程中，需要遵循一些特定的条件，以确保解决方案是有效的。  
例如，需要确保每个节点只能被访问一次，每条边只能被加入一次，等等。

### 6.3 背包问题 ###

给定一些物品和一个背包，每个物品都有自己的重量和价值，要求在不超过背包容量的情况下，使得背包中的总价值最大。