广度优先遍历与最短路径

左手的ㄟ右手 2024-03-17 11:46 41阅读 0赞

广度优先遍历从某个顶点 v 出发，首先访问这个结点，并将其标记为已访问过，然后顺序访问结点v的所有未被访问的邻接点 \{vi,..,vj\} ，并将其标记为已访问过，然后将 \{vi,...,vj\} 中的每一个节点重复节点v的访问方法，直到所有结点都被访问完为止。

我们可以分为三个步骤：

*  （1）使用一个辅助队列 q，首先将顶点 v 入队，将其标记为已访问，然后循环检测队列是否为空。
 *  （2）如果队列不为空，则取出队列第一个元素，并将与该元素相关联的所有未被访问的节点入队，将这些节点标记为已访问。
 *  （3）如果队列为空，则说明已经按照广度优先遍历了所有的节点。

下图所示，右边蓝色表示从 0 开始遍历节点的顺序，下面是记录距离 0 的距离，可知广度优先遍历能求出无权图的最短路径。

![ba44ff2a87b70b29e59a707055092a33.png][]

下面用代码展示如何用广度优先遍历方式完成遍历，并且查询到最短路径。我们在上一小节代码的基础上增加一全局变量 ord 数组，记录路径中节点的次序。ord\[i\] 表示 i 节点在路径中的次序。同时构造函数做出相应调整，在遍历相邻节点时 每访问一个未被访问的节点进行 ord\[i\] = ord\[v\] + 1记录距离。邻接表的广度优先遍历时间复杂度为 O(V+E)，邻接矩阵的时间复杂度为O(V^2)。

> ...  
> // 构造函数, 寻路算法, 寻找图graph从s点到其他点的路径  
> public ShortestPath(Graph graph, int s)\{  
> // 算法初始化  
> G = graph;  
> assert s >= 0 && s < G.V();  
>   
> visited = new boolean\[G.V()\];  
> from = new int\[G.V()\];  
> ord = new int\[G.V()\];  
> for( int i = 0 ; i < G.V() ; i ++ )\{  
> visited\[i\] = false;  
> from\[i\] = -1;  
> ord\[i\] = -1;  
> \}  
> this.s = s;  
> // 无向图最短路径算法, 从s开始广度优先遍历整张图  
> LinkedList<Integer> q = new LinkedList<Integer>();  
> q.push( s );  
> visited\[s\] = true;  
> ord\[s\] = 0;  
> while( !q.isEmpty() )\{  
> int v = q.pop();  
> for( int i : G.adj(v) )  
> if( !visited\[i\] )\{  
> q.push(i);  
> visited\[i\] = true;  
> from\[i\] = v;  
> ord\[i\] = ord\[v\] + 1;  
> \}  
> \}  
> \}  
> ...

查看从 s 点到 w 点的最短路径长度，若从 s 到 w 不可达，返回-1。

> ...  
> public int length(int w)\{  
> assert w >= 0 && w < G.V();  
> return ord\[w\];  
> \}  
> ...

#### Java 实例代码 ####

### src/runoob/graph/ShortestPath.java 文件代码： ###

> package runoob.graph;  
>   
> import runoob.graph.read.Graph;  
>   
> import java.util.LinkedList;  
> import java.util.Stack;  
> import java.util.Vector;  
>   
> /\*\*  
> \* 广度优先遍历与最短路径  
> \*/  
> public class ShortestPath \{  
> // 图的引用  
> private Graph G;  
> // 起始点  
> private int s;  
> // 记录dfs的过程中节点是否被访问  
> private boolean\[\] visited;  
> // 记录路径, from\[i\]表示查找的路径上i的上一个节点  
> private int\[\] from;  
> // 记录路径中节点的次序。ord\[i\]表示i节点在路径中的次序。  
> private int\[\] ord;  
> // 构造函数, 寻路算法, 寻找图graph从s点到其他点的路径  
> public ShortestPath(Graph graph, int s)\{  
>   
> // 算法初始化  
> G = graph;  
> assert s >= 0 && s < G.V();  
>   
> visited = new boolean\[G.V()\];  
> from = new int\[G.V()\];  
> ord = new int\[G.V()\];  
> for( int i = 0 ; i < G.V() ; i ++ )\{  
> visited\[i\] = false;  
> from\[i\] = -1;  
> ord\[i\] = -1;  
> \}  
> this.s = s;  
> // 无向图最短路径算法, 从s开始广度优先遍历整张图  
> LinkedList<Integer> q = new LinkedList<Integer>();  
> q.push( s );  
> visited\[s\] = true;  
> ord\[s\] = 0;  
> while( !q.isEmpty() )\{  
> int v = q.pop();  
> for( int i : G.adj(v) )  
> if( !visited\[i\] )\{  
> q.push(i);  
> visited\[i\] = true;  
> from\[i\] = v;  
> ord\[i\] = ord\[v\] + 1;  
> \}  
> \}  
> \}  
>   
> // 查询从s点到w点是否有路径  
> public boolean hasPath(int w)\{  
> assert w >= 0 && w < G.V();  
> return visited\[w\];  
> \}  
> // 查询从s点到w点的路径, 存放在vec中  
> public Vector<Integer> path(int w)\{  
> assert hasPath(w) ;  
> Stack<Integer> s = new Stack<Integer>();  
> // 通过from数组逆向查找到从s到w的路径, 存放到栈中  
> int p = w;  
> while( p != -1 )\{  
> s.push(p);  
> p = from\[p\];  
> \}  
>   
> // 从栈中依次取出元素, 获得顺序的从s到w的路径  
> Vector<Integer> res = new Vector<Integer>();  
> while( !s.empty() )  
> res.add( s.pop() );  
>   
> return res;  
> \}  
>   
> // 打印出从s点到w点的路径  
> public void showPath(int w)\{  
> assert hasPath(w) ;  
> Vector<Integer> vec = path(w);  
> for( int i = 0 ; i < vec.size() ; i ++ )\{  
> System.out.print(vec.elementAt(i));  
> if( i == vec.size() - 1 )  
> System.out.println();  
> else  
> System.out.print(" -> ");  
> \}  
> \}  
> // 查看从s点到w点的最短路径长度  
> // 若从s到w不可达，返回-1  
> public int length(int w)\{  
> assert w >= 0 && w < G.V();  
> return ord\[w\];  
> \}  
> \}

[ba44ff2a87b70b29e59a707055092a33.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/15/80df9d79a77c4a578c17e4ce8a91ff70.png