动态规划之下降路径最小和

╰半夏微凉° 2024-03-16 22:48 41阅读 0赞

## 1. 题目分析 ##

题目链接选自力扣 : [下降路径最小和][Link 1]  
![image.png][]  
如果光看这个题目说明的话, 是有点抽象的. 我们结合实例 1 来看 :  
![image.png][image.png 1]  
**总的来说就是, 起始点是第一行中的任意一点, 每个点只有三个方向可以走即向下, 左下, 右下. 当到达最后一行的任意一点即算作到达终点. 期间不同的路径上不同的点对应有不同的值, 最终那条路径的值总和最小则返回这个值.**

## 2. 状态表示 ##

我们以 dp\[i\]\[j\] 表示从第一行的某个位置出发到达 ( i, j ) 位置时的最小路径和.

## 3. 状态转移方程 ##

利用我们之前的经验. 以最近的一步划分问题. 那么这个问题里最近的一步又是什么呢 ?  
![image.png][image.png 2]  
很容易看出, 想要到达 ( i, j ) 位置一共有三种最近的情况.

1.  从 ( i-1, j-1 ) 位置到达 ( i, j ) 位置

无论从第一行中的那个位置开始, 都需要先经过指定的 ( i-1, j-1 ) . 然后再从这个点到达 ( i, j ) 位置. 那么这种情况下,**这条路径的最小和也就是到达 ( i-1, j-1 ) 位置的最小和, 正好对应我们的状态表示, 即 dp\[i-1\]\[j-1\]. 最后在加上到达 ( i, j ) 位置的值 matrix\[i\]\[j\].**

1.  从 ( i-1, j ) 位置到达 ( i, j ) 位置

**同样的 从 ( i-1, j ) 到达 ( i, j ) 位置的最小和即为 dp\[i-1\]\[j\] + matrix\[i\]\[j\]**

1.  从 ( i-1, j+1 ) 位置到达 ( i, j ) 位置

**同理, 从 ( i-1, j ) 到达 ( i, j ) 位置的最小和即为 dp\[i-1\]\[j+1\] + matrix\[i\]\[j\]**

**要找的是所有路径的最小和. 因此最终的 dp\[i\]\[j\] = min(dp\[i-1\]\[j-1\], dp\[i-1\]\[j\], dp\[i-1\]\[j+1\]) + matrix\[i\]\[j\]**

## 4. 初始化 ##

初始化是为了保证填表的时候不会发生错误. 根据状态转移方程, 要填写某个点的时候, 需要知道它上一层的正下、左下、右下三个位置的值的. 第一行和第一列以及最后一列的值根据状态转移方程进行填写的时候都会发生越界错误. 因此这都是我们需要进行初始化的.  
![image.png][image.png 3]  
还是根据我们之前新开一行一列的办法.**但是这时候就不止多开一列了而是两列. 因为最后一列也需要初始化.**

**这里的初始化是有很多细节的. 针对不同的位置初始化有所不同**

1.**当我们初始化第一行的第一个位置时.**

它依赖上面的三个位置都是我们新增的位置. 不受其他具体值的影响. 因此这些新增的位置的值也不能影响这个位置原本的值 matrix\[0\]\[0. **根据状态转移方程我们取得是三个方向的最小值. 当这三个方向取 0 的时候, 最小值一定就是 matrix\[0\]\[0\] 本身了. 因此新增的第一行初始化都为 0**  
![image.png][image.png 4]

1.  **对第二行的第一个位置进行初始化的时候**

对这个位置进行填表的时候, 根据状态转移方程它受到三个位置的影响和自身的值. 但是右下方向红星的值是我们防止初始化新增的, 它不能影响最终填表的值, 这个位置的值只能受另外两个位置的直接影响. 状态转移方程中取得是三个位置的最小值. **因此新增的第一列初始化都为无穷大**  
![在这里插入图片描述][7ab244e257c7471eb017c0dd95991084.png]

**同理, 最后一列的新增位置的初始化也应该为无穷大.**

## 5. 填表顺序 ##

从状态转移方程不难看出, 填写某个位置时需要知道上一层的三个方向的位置. 因此填表顺序是从上到下每一行. 每一行中从哪儿开始都行.**只需要确保从上往下填写每一行就行.**

## 6. 返回值 ##

返回值这里有点特殊, **根据我们的状态表示, 是从第一行的任意一点到达结尾的任意一点的最小路径和. 因此在最后一行的每一个点都有可能是最小和**. 因此返回的是最后一行值最小的那个

## 代码演示 ##

class Solution {
        
        public int minFallingPathSum(int[][] matrix) {
        
            
            // 1. 建立 dp 表
            int m = matrix.length;
            int n = matrix[0].length;
            int[][] dp = new int[m + 1][n + 2];
    
            // 2. 初始化
            // 第一行初始化为 0
            // 第一列和最后一列初始化为无穷大
            for(int i = 1; i <= m; i++) {
        
                dp[i][0] = dp[i][n+1] = Integer.MAX_VALUE;
            }
            
            // 3. 填写 dp 表
            for(int i = 1; i <= m; i++) {
        
                for(int j = 1; j <= n; j++) {
        
                    // 需要注意, 没有三个参数的最小值方法
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j-1], Math.min(dp[i-1][j], dp[i-1][j+1]))
                        + matrix[i-1][j-1];
                }
            }
    
            // 如果为默认为 0, 第一次比较 dp[m][j] 为正值时会影响最小取值
            int taget = Integer.MAX_VALUE; // 为最大值才不会影响最小值取值
            
            // 4. 确认返回值
            for(int j = 1; j <= n; j++) {
        
                taget = Math.min(taget, dp[m][j]);
            }
            
            return taget;
        }
    }

[Link 1]: https://leetcode.cn/problems/minimum-falling-path-sum/
[image.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/15/0c0310037ae044bca5fe0ab751a9d79e.png
[image.png 1]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/15/e7d73fc0eb1f471e939769e17fcf6b3b.png
[image.png 2]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/15/636e4fc3d2fa4fb99e4a747c0cc9b4a6.png
[image.png 3]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/15/2645525b395b43129cf82eda3787267d.png
[image.png 4]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/15/6c3133c3bd4f47c7aa50fe8762fad2df.png
[7ab244e257c7471eb017c0dd95991084.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/15/6c75dca3a522454cb2d437134141270f.png