高数定理集合啦

叁歲伎倆 2024-02-21 09:35 32阅读 0赞

haha~  
最近在准备数学竞赛，好久没有发布笔记啦，今天就来一波高数里常用的定理吧，不全面的话后续会更新哒~

1.  **费马定理**：对于一个函数的局部极值点，如果导数存在，那么导数在该点处必须为零，即 `f'(x)=0`。
2.  **罗尔定理**：如果函数 f(x) 在闭区间 \[a, b\] 上满足以下三个条件：(i) 在 \[a, b\] 上连续；(ii) 在 (a, b) 上可导；(iii) f(a) = f(b)，那么存在至少一个 c ∈ (a, b)，使得 `f'(c) = 0`。
3.  **界值定理**：假设函数 f(x) 在闭区间 \[a, b\] 上连续，并且 f(a) 和 f(b) 的符号不同（即 f(a) \* f(b) < 0）。那么对于任意处于 f(a) 和 f(b) 之间的实数 k，存在至少一个实数 c ∈ (a, b)，使得`f(c) = k`。
4.  .**零点定理**：如果函数 f(x) 在区间 \[a, b\] 上连续，并且 f(a) 和 f(b) 的符号不同（即 `f(a) * f(b) < 0）`，那么在开区间 (a, b) 内至少存在一个实数 c，使得`f(c) = 0`。
5.  **拉格朗日中值定理**：如果函数 f(x) 在闭区间 \[a, b\] 上满足以下两个条件：(i) 在 \[a, b\] 上连续；(ii) 在 (a, b) 上可导，那么存在至少一个 c ∈ (a, b)，使得`f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)`。
6.  **柯西中值定理**：设函数 f(x) 和 g(x) 在闭区间 \[a, b\] 上满足以下两个条件：(i) 在 \[a, b\] 上连续；(ii) 在 (a, b) 上可导且 g’(x) ≠ 0，那么存在至少一个 c ∈ (a, b)，使得 `[f(b) - f(a)]/[g(b) - g(a)] = f'(c)/g'(c)`。
7.  **泰勒定理**：设函数 f(x) 在包含点 a 的开区间上有 n + 1 阶导数，则对于这个开区间内的任意 x，存在一个介于 x 和 a 之间的数 c，使得 f(x) 等于其在点 a 处以及其 (n + 1) 阶导数值的幂和的和，即`f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)/2!(x - a)^2 + ... + f^(n)(a)/n!(x - a)^n + Rn(x)`。  
    ![在这里插入图片描述][2f9a5833c6574ef082493efdc4b3564b.png]
8.  **牛顿-莱布尼茨公式**：假设函数 F(x) 是函数 f(x) 在闭区间 \[a, b\] 上的一个原函数（即 F’(x) = f(x)），那么函数 f(x) 在 \[a, b\] 上的定积分可以通过 F(x) 在 \[a, b\] 上的两个端点值之差来表示，即`∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)`。
9.  **Stolz定理**：假设 \{an\} 和 \{bn\} 分别是两个数列，满足 bn 严格递增，并且极限`lim(n→∞) an/bn = L`（其中 L 可能为实数或 ±∞）。那么，对于每个 n 任何大于 n 都有 `lim(k→∞) ak/bk = L`。
10. **加强的积分中值定理**：设函数 f(x) 和 g(x) 在闭区间 \[a, b\] 上连续，且 g(x) 不等于零。如果存在常数 K，使得`|∫[a,b]f(x)g(x)dx| ≤ K∫[a,b]|f(x)|dx`成立，则存在至少一个 c ∈ (a, b)，使得 `∫[a,b]f(x)g(x)dx = f(c)∫[a,b]g(x)dx`。
11. **二重积分中值定理**：如果函数 f(x, y) 在闭矩形区域 D 上连续，且 g(x, y) 是 D 上的非负可测函数且不恒为零。那么存在至少一个点 (c, d) ∈ D，使得`∬D f(x, y)g(x, y) dA = f(c, d) ∬D g(x, y) dA`，其中 dA 表示二重积分的元素面积。

这些定理在数学分析和积分学中起到重要的作用，可以帮助我们理解函数的特性、证明存在性、计算极限等。

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