堆排序原理及其实现(C++)

骑猪看日落 2024-02-18 22:56 34阅读 0赞

### [https://blog.csdn.net/lzuacm/article/details/52853194][https_blog.csdn.net_lzuacm_article_details_52853194] ###

### **堆排序原理及其实现(C++)** ###

#### **1. 堆排序的引入** ####

我们知道`简单选择排序`的时间复杂度为O(n^2)，熟悉各种排序算法的朋友都知道，这个时间复杂度是很大的，所以怎样减小简单选择排序的时间复杂度呢？简单选择排序主要操作是进行关键字的比较，所以怎样减少比较次数就是改进的关键。简单选择排序中第i趟需要进行`n-i`次比较，如果我们用到前面已排好的序列`a[1...i-1]`是否可以减少比较次数呢？答案是可以的。举个例子来说吧，A、B、C进行比赛，B战胜了A，C战胜了B，那么显然C可以战胜A，C和A就不用比了。正是基于这种思想，有人提出了`树形选择排序`：对n个记录进行两两比较，然后在(\[n/2\]向上取整)个较小者之间在进行两两比较，如此重复，直到选出最小记录。但是这种排序算法需要的辅助空间比较多，所以威洛姆斯(J . Willioms)在1964年提出了`另一种选择排序`，这就是下面要谈的`堆排序`。

#### **2. 什么是堆** ####

首先堆heap是一种数据结构，是一棵完全二叉树且满足性质：所有非叶子结点的值均不大于或均不小于其左、右孩子结点的值.

#### **3. 堆排序思想** ####

堆排序的基本思想是利用heap这种数据结构(可看成一个完全二叉树)，使在排序中比较的次数明显减少。

堆排序的时间复杂度为O(n\*log(n))， 非稳定排序，原地排序(空间复杂度O(1))。

堆排序的关键在于建堆和调整堆，下面简单介绍一下建堆的过程：

第1趟将索引0至`n-1`处的全部数据建大顶(或小顶)堆，就可以选出这组数据的最大值(或最小值)。将该堆的根节点与这组数据的最后一个节点交换，就使的这组数据中最大(最小)值排在了最后。

第2趟将索引0至`n-2`处的全部数据建大顶(或小顶)堆，就可以选出这组数据的最大值(或最小值)。将该堆的根节点与这组数据的倒数第二个节点交换，就使的这组数据中最大(最小)值排在了倒数第2位。

…

第k趟将索引0至`n-k`处的全部数据建大顶(或小顶)堆，就可以选出这组数据的最大值(或最小值)。将该堆的根节点与这组数据的倒数第k个节点交换，就使的这组数据中最大(最小)值排在了倒数第k位。

其实整个堆排序过程中, 我们只需重复做两件事：

*  建堆(初始化+调整堆, 时间复杂度为O(n));
 *  拿堆的根节点和最后一个节点交换(siftdown, 时间复杂度为O(n\*log n) ).

因而堆排序整体的时间复杂度为O(n\*log n).

下面通过一组数据说明堆排序的方法：

9, 79, 46, 30, 58, 49

1: 先将待排序的数视作完全二叉树(按层次遍历顺序进行编号, 从0开始)，如下图:

**![img][]**

2：完全二叉树的最后一个非叶子节点，也就是最后一个节点的父节点。最后一个节点的索引为数组长度len-1，那么最后一个非叶子节点的索引应该是为(len-1)/2.也就是从索引为2的节点开始，如果其子节点的值大于其本身的值。则把他和较大子节点进行交换，即将索引2处节点和索引5处元素交换。交换后的结果如图：

![img][img 1]

**建堆从最后一个非叶子节点开始即可**

3：向前处理前一个节点，也就是处理索引为1的节点，此时79>30,79>58,因此无需交换。

4：向前处理前一个节点，也就是处理索引为0的节点，此时9 < 79,9 < 49, 因此需交换。应该拿索引为0的节点与索引为1的节点交换，因为79>49. 如图:

![img][img 2]

5：如果某个节点和它的某个子节点交换后，该子节点又有子节点，系统还需要再次对该子节点进行判断。如上图因为1处，3处，4处中，1处的值大于3,4出的值，所以还需交换。

![img][img 3]

**牢记：** 将每次堆排序得到的最大元素与当前规模的数组最后一个元素交换。

#### **伪代码如下:** ####

1、由于是完全二叉树, 故有:

PARENT(i)
      return i / 2
    LEFT(i)
      return 2 * i
    RIGHT(i)
      2 * i + 1

*  1
 *  2
 *  3
 *  4
 *  5
 *  6
 *  7

2、Heapify  
以最大堆为例，伪代码：

MAX-HEAPIFY(A, i)

l = LIFT(i)
    r = RIGHT(i)
    if l <= A.heapsize and A[l] > A[i]
      largest = l
    else largest = i
    if r <= A.heapsize and A[r] > A[largest]
      largest = r
    if largest != i
      exchage A[i] with A[largest]
      MAX-HEAPIFY(A, largest)

*  1
 *  2
 *  3
 *  4
 *  5
 *  6
 *  7
 *  8
 *  9
 *  10
 *  11

3、Build Heap  
以最大堆为例，伪代码：

BUILD-MAX-HEAP(A)

A.heap-size = A.length
    for A.length / 2 downto 1
      MAX-HEAPIFY(A, i)

*  1
 *  2
 *  3
 *  4

4、Heapsort  
以最大堆为例，伪代码：

HEAPSORT(A)  
BUILD-MAX-HEAP(A)

for i = A.length downto 2
      exchange A[1] with A[i]
      A.heap-size = A.heap-size - 1
      MAX-HEAPIFY(A, 1)

*  1
 *  2
 *  3
 *  4
 *  5

#### **C++完整代码:** ####

#include<cstdio>
    #include<iostream>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    
    void adjust(int arr[], int len, int index)
    {
        int left = 2*index + 1;
        int right = 2*index + 2;
        int maxIdx = index;
        if(left<len && arr[left] > arr[maxIdx]) maxIdx = left;
        if(right<len && arr[right] > arr[maxIdx]) maxIdx = right;  // maxIdx是3个数中最大数的下标
        if(maxIdx != index)                 // 如果maxIdx的值有更新
        {
            swap(arr[maxIdx], arr[index]);
            adjust(arr, len, maxIdx);       // 递归调整其他不满足堆性质的部分
        }
    
    }
    void heapSort(int arr[], int size)
    {
        for(int i=size/2 - 1; i >= 0; i--)  // 对每一个非叶结点进行堆调整(从最后一个非叶结点开始)
        {
            adjust(arr, size, i);
        }
        for(int i = size - 1; i >= 1; i--)
        {
            swap(arr[0], arr[i]);           // 将当前最大的放置到数组末尾
            adjust(arr, i, 0);              // 将未完成排序的部分继续进行堆排序
        }
    }
    
    int main()
    {
        int array[8] = {8, 1, 14, 3, 21, 5, 7, 10};
        heapSort(array, 8);
        for(auto it: array)
        {
            cout<<it<<endl;
        }
        return 0;
    }

*  1
 *  2
 *  3
 *  4
 *  5
 *  6
 *  7
 *  8
 *  9
 *  10
 *  11
 *  12
 *  13
 *  14
 *  15
 *  16
 *  17
 *  18
 *  19
 *  20
 *  21
 *  22
 *  23
 *  24
 *  25
 *  26
 *  27
 *  28
 *  29
 *  30
 *  31
 *  32
 *  33
 *  34
 *  35
 *  36
 *  37
 *  38
 *  39
 *  40
 *  41
 *  42
 *  43

#### **为何堆排序是不稳定排序?** ####

当数组中有相等元素时，堆排序算法对这些元素的处理方法不止一种，故是不稳定的。

#### **可重载比较函数的写法:** ####

#include<memory.h>
    #include<stdio.h>
    #include<stdlib.h>
    void swap(void* x, void* y, size_t sz) {
        void* t = malloc(sz);
        memcpy(t, x, sz);
        memcpy(x, y, sz);
        memcpy(y, t, sz);
        free(t);
    }
    void makeHeap(void* x, int i, int n, size_t sz, int(*cmp)(const void*, const void*)) {
        char* y = (char*)x;
        int l = 2 * i + 1;
        int r = 2 * i + 2;
        int m;
        if (l<n && (*cmp)(y + l*sz, y + i*sz)>0) m = l;
        else m = i;
        if (r<n && (*cmp)(y + r*sz, y + m*sz)>0) m = r;
        if (m != i){
            swap(y + i*sz, y + m*sz, sz);
            makeHeap(x, m, n, sz, cmp);
        }
    }
    void buildHeap(void* x, int n, size_t sz, int(*cmp)(const void*, const void*)) {
        for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--) makeHeap(x, i, n, sz, cmp);
    }
    void heapSort(void* x, int n, size_t sz, int(*cmp)(const void*, const void*)) {
        buildHeap(x, n, sz, cmp);
        char* y = (char*)x;
        for (int i = n - 1; i >= 1; i--){
            swap(y, y + i*sz, sz);
            makeHeap(x, 0, --n, sz, cmp);
        }
    }
    
    void p(int* x,int n){
        for (int k = 0; k < n; k++){
            printf("%d ", x[k]);
        }
        printf("\n");
    }
    
    int less(const void* a, const void* b){
        return *((int*)a) < *((int*)b);
    }
    int greater(const void* a, const void* b){
        return *((int*)a) > *((int*)b);
    }
    int main(){
        int x[] = { 2, 3, 4, 6, 8, 2, 9, 0 };
        // 降序全排列
        heapSort(x, 8, sizeof(int), less);
        p(x, 8);
        // 升序全排列
        heapSort(x, 8, sizeof(int), greater);
        p(x, 8);
        // 最大的4个元素，在数组末尾
        heapSort(x, 4, sizeof(int), less);
        p(x, 8);
    }

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[img 1]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/01/29/3b397c6f63c044e9b3369aa284086672.png
[img 2]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/01/29/722905cafbaa4f5fb249a44fad7df5c4.png
[img 3]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/01/29/f6a6491da2f94b54bc30adb4d2b250e9.png