【算法问题】错排问题

超、凢脫俗 2024-02-18 13:19 29阅读 0赞

#### 目录 ####

*  1.概述
 *  2.代码实现
 *   *  2.1.获取错排情况总数
     *  2.2.获取每种错排情况
 *  3.应用

## 1.概述 ##

（1）`n` 个有序的元素有 `n!` 个不同的排列，**如果一个排列使得所有的元素不在原来的位置上，则称这个排列为错排（也称重排）**。例如，\[1, 2\] 的错排是唯一的，只有 1 个，即 \[2, 1\]。\[1, 2, 3\] 的错排有 2 个，即 \[3, 1, 2\]，\[2, 3, 1\]。

（2）设 i 个有序元素的错排有 Ai 个，则 n 个有序的元素的错排个数为：**An = (n - 1) \* (An-1 \+ An-2)**，具体推导过程如下：

*  设共有 n 个有序元素，考虑第 n 个元素，如果将其放在某一个位置，一共有 n - 1 种情况；
 *  然后再考虑第 i (1 ≤ i < n) 个元素，这时有两种情况：
    
     *  **如果将其放到位置 n**，那么对于除 n 以外的 n - 1 个元素，由于第 i 个元素放到了位置 n，所以剩下的 n - 2 个元素进行错排即可，故有 An-2 种情况；
     *  **如果第 i 个元素不放到位置 n**，这时对于这 n - 1 个元素的错排，有 An-1 种放法。
 *  又根据乘法和加法法则，综上得到 **An = (n - 1) \* (An-1 \+ An-2)**，并且 A1 = 0， A2 = 1；

## 2.代码实现 ##

### 2.1.获取错排情况总数 ###

（1）获取错排情况总数的代码实现如下：

class Solution {
        
        public int countDerangements(int n) {
        
            if (n == 1) {
        
                return 0;
            } else if (n == 2) {
        
                return 1;
            } else {
        
                int prev = 0;
                int curr = 1;
                for (int i = 3; i <= n; i++) {
        
                    int temp = (i - 1) * (prev + curr);
                    prev = curr;
                    curr = temp;
                }
                return curr;
            }
        }
    }

（2）测试代码如下：

class Test {
        
    	public static void main(String[] args) {
        
            Solution solution = new Solution();
            int n = 4;
            System.out.println(n + " 个有序元素的错排情况有 " + solution.countDerangements(n) + " 种");
        }
    }

输出结果如下：

4 个有序元素的错排情况有 9 种

### 2.2.获取每种错排情况 ###

（1）获取每种错排情况的代码实现如下：

class Solution {
        
    
        List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
        List<Integer> nums = new ArrayList<>();
    
        public List<List<Integer>> findDerangements(int n) {
        
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
        
                nums.add(i);
            }
            derangementHelper(0);
            return res;
        }
    
        private void derangementHelper(int start) {
        
            //递归到最后一个位置
            if (start == nums.size()) {
        
                //将当前排列添加到结果列表中
                res.add(new ArrayList<>(nums));
                return;
            }
            for (int i = start; i < nums.size(); i++) {
        
                //如果当前位置的元素不等于 start + 1，则交换位置
                if (nums.get(i) != start + 1) {
        
                    swap(i, start);
                    //递归处理剩下的元素
                    derangementHelper(start + 1);
                    //回溯，恢复原始位置
                    swap(i, start);
                }
            }
        }
    
        private void swap(int i, int j) {
        
            int temp = nums.get(i);
            nums.set(i, nums.get(j));
            nums.set(j, temp);
        }
    }

> 需要注意的是，上面的代码是用于理解错排问题和递归解法的示例，对于较大的 n，递归可能会导致性能问题，实际生产环境中可能需要考虑使用其他方法来解决错排问题。

（2）测试代码如下：

class Test {
        
        public static void main(String[] args) {
        
            Solution derangement = new Solution();
            int n = 4;
            List<List<Integer>> derangements = derangement.findDerangements(n);
            System.out.println(n + " 个有序元素的错排情况有 " + derangements.size() + " 种，分别如下：");
            for (List<Integer> derangementList : derangements) {
        
                System.out.println(derangementList);
            }
        }
    }

输出结果如下：

4 个有序元素的错排情况有 9 种，分别如下：
    [2, 1, 4, 3]
    [2, 3, 4, 1]
    [2, 4, 1, 3]
    [3, 1, 4, 2]
    [3, 4, 1, 2]
    [3, 4, 2, 1]
    [4, 3, 2, 1]
    [4, 3, 1, 2]
    [4, 1, 2, 3]

## 3.应用 ##

错排问题是一个经典的组合数学问题，也称为“卡塔兰数”问题。它的应用场景有很多，下面列举几个常见的应用场景：

*  **密码学**：错排问题可以用于密码学中的置换密码算法。通过将明文中的字符进行错排，即改变它们的位置，可以增加密码算法的安全性和随机性。
 *  **计算机网络**：在计算机网络中，错排问题可以用于调度算法和路由算法的设计。通过对数据包进行错排，可以避免数据包之间的冲突和重复，提高网络传输效率。
 *  **排序算法**：错排问题可以用于改进排序算法的稳定性和性能。通过对元素进行错排，可以减少相等元素之间的交换和比较次数，从而提高排序算法的效率。
 *  **组合优化**：错排问题在组合优化领域有广泛的应用。例如，在任务调度、资源分配和作业调度等问题中，通过错排的方式可以有效地避免冲突和重复，优化任务或资源的分配方案。
 *  **硬币排列问题**：在硬币排列问题中，错排问题可以用于计算硬币的不重叠排列方式。通过错排的方法，可以得到硬币排列的可能性，用于解决硬币组合和排列问题。