四种常见的博弈论

怼烎@ 2024-01-16 00:43 117阅读 0赞

**巴什博弈：**

**只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。**

**显然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：如果n=（m+1）r+s，（r为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k（≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这样的取法，那么先取者 肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。**

**威佐夫博弈（Wythoff Game）：**

**有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。**

**这种情况下是颇为复杂的。我们用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。**

**可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak + k。两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜；反之，则后拿者取胜。**

**那么任给一个局势（a，b），怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式：ak =\[k（1+√5）/2\]，bk= ak + k （k=0，1，2，...n 方括号表示取整函数)奇妙的是其中出现了黄金分割数（1+√5）/2 = 1.618...因此，由ak，bk组成的矩形近似为黄金矩形，由于2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=\[a（√5-1）/2\]，若a=\[j（1+√5）/2\]，那么a = aj，bj = aj + j，若不等于，那么a = aj+1，b = aj + j + 1，若都不是，那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异局势。**

**尼姆博奕：**

**有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。**

**这种情况最有意思，它与二进制有密切关系，我们用（a，b，c）表示某种局势，首先（0，0，0）显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是（0，n，n），只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致（0，0，0）。仔细分析一下，（1，2，3）也是奇异局势，无论自己如何拿，接下来对手都可以将其变为（0，n，n）的情形。**

**计算机算法里面有一种叫做按位模2加，也叫做异或的运算，我们用符号（+）表示这种运算，先看（1，2，3）的按位模2加的结果：**

**1 =****二进制01**

**2 =****二进制10**

**3 =****二进制11 （+）**

**———————**

**0 =****二进制00 （注意不进位）**

**对于奇异局势（0，n，n）也一样，结果也是0。**

**任何奇异局势（a，b，c）都有a（+）b（+）c =0。**

**注意到异或运算的交换律和结合律，即a（+）a=0，:**

**a****（+）b（+）(a（+）b)=(a（+）a)（+）(b（+）b)=0（+）0=0。**

**所以从一个非奇异局势向一个奇异局势转换的方式可以是：**

**1****）使 a = c（+）b**