二叉树基本使用

约定不等于承诺〃 2023-10-18 16:02 19阅读 0赞

**什么是二叉树？**

在计算机科学中，二叉树是每个结点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。二叉树常被用于实现二叉查找树和二叉堆。

**为什么要学习二叉树？**

在树中查找数据项的速度和在有序数组中查找一样快，并且插入数据项和删除数据项的速度和在链表中一样快。  
二叉树结合了数组与链表结构的优点，成为了更加快速的高级数据结构。

下面先用一张图整体理解一下二叉树，  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW5nY29uZ3lpNDIw_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
**下面是有关二叉树的基本术语，有必要了解一下，**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW5nY29uZ3lpNDIw_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW5nY29uZ3lpNDIw_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

### **二叉树有以下几个性质：** ###

性质1：二叉树第i层上的结点数目最多为 2\{i-1\} (i≥1)。  
性质2：深度为k的二叉树至多有2\{k\}-1个结点(k≥1)。  
性质3：包含n个结点的二叉树的高度至少为log2 (n+1)。（很少用，且实用意义不大）

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW5nY29uZ3lpNDIw_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]

满二叉树：  
高度为h，并且由2\{h\} –1个结点的二叉树，被称为满二叉树。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW5nY29uZ3lpNDIw_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]

完全二叉树：  
叶子结点只能出现在最下层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。显然，一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树，而完全二叉树未必是满二叉树。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW5nY29uZ3lpNDIw_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]

在二叉查找树中：(01) 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；(02) 任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；(03) 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。(04) 没有键值相等的节点（no duplicate nodes）。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW5nY29uZ3lpNDIw_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]

**二叉树与二叉搜索树的区别：**

*  二叉树，每一个父节点下最多只能有两个节点，父节点与子节点（或者子树）有着一定的联系规则，这种规则不仅仅限制于排序规则。
 *  二叉搜索树是二叉树的一种特殊二叉树，也是最常用的二叉树。二叉搜索树满足左子节点的关键字小于父节点，父节点的关键字小于或等于右子节点。所有的左子树节点的关键字值小于所有右子树的关键字值。也就是所谓的左小右大。这样有利于进行快速的数据处理。

**二叉树的父、子节点之间一定要有某种联系规则吗**  
答案是肯定的。

试想：如果父节点与子节点之间，没有某种规则进行关联，而是随意对数据进行摆放，那二叉树就是去了它原有的意义。

关联关系都是根据需求而定的，如果需要有序二叉树，则可以选择搜索二叉树。如果需要根据需求设定父子节点之间的联系，则需要从新定义二叉树父子节点之间的联系，如哈夫曼编码是根据字符出现频率和编码设定的父子节点关系。

### 二叉搜索树-查找 ###

从根节点 8 开始，如果所查询的数字大于根节点，则向右子树寻找。

如：查找 13

根节点8 -> 查询右子节点10 ->  
查询右子节点 14 -> 查询左子节点13 -> 返回查询结果

原则：左小右大  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW5nY29uZ3lpNDIw_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]

**二叉搜索树-插入**  
从根节点 开始，如果插入的数字小于根节点，则向左子树寻找。  
如：插入 13  
根节点15 -> 查询左子节点5->  
查询右子节点 12 -> 查询右子节点为空 -> 执行插入操作  
原则：左小右大

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW5nY29uZ3lpNDIw_size_16_color_FFFFFF_t_70 8]

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW5nY29uZ3lpNDIw_size_16_color_FFFFFF_t_70 9]

**二叉搜索树 – 删除**

如果没有子节点：  
直接删除即可

如果左不空，右空：  
用左子树代替当前节点即可

如果左空，右不空：  
直接用右子树代替当前节点即可

如果左右子节点均不为空：  
需要对左子树进行规则遍历，找到节点继承者。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW5nY29uZ3lpNDIw_size_16_color_FFFFFF_t_70 10]

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW5nY29uZ3lpNDIw_size_16_color_FFFFFF_t_70 11]

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW5nY29uZ3lpNDIw_size_16_color_FFFFFF_t_70 12]

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW5nY29uZ3lpNDIw_size_16_color_FFFFFF_t_70 13]

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW5nY29uZ3lpNDIw_size_16_color_FFFFFF_t_70 14]

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW5nY29uZ3lpNDIw_size_16_color_FFFFFF_t_70 15]

以上将二叉树的基本概念，二叉树的插入，遍历以及删除节点大致描述了一下，下面用代码；来说具体实现一下，

**1、首先定义一个节点，通过上面的描述我们大概知道，节点包含几部分，数据域，这里用double，索引，左右节点，**

class Node{
    	public int iData; //数据关键字，key
    	public double dData; //数据的值
    	public Node leftChild ;
    	public Node rightChild;
    	
    	public void displayNode(){
    		System.out.println("{");
    		System.out.println(iData);
    		System.out.println(",  ");
    		System.out.println(dData);
    		System.out.println("} ");
    	}
    }

**2、二叉树查找，**

private Node root ;
    	
    	public Tree() { //初始化为一个空树
    		root = null;
    	}
    	
    	// 根据给定的key值查询
    	public Node find(int key){
    		Node current = root; // 从root节点开始查询
    		while (current.iData != key) {
    			if (key < current.iData) { //向左子树查询
    				current = current.leftChild;
    			} else {   //向右子树查询
    				current = current.rightChild;
    			}
    			if (current == null) {
    				return null;
    			}
    		}
    		return current;
    	}

3、二叉树插入，

//插入
    	public void insert(int id ,double dd) {
    		
    		Node newNode = new Node();
    		newNode.iData = id;
    		newNode.dData = dd;
    		if (root == null) {
    			root = newNode;
    		} else {
    			Node current = root ;//从root节点开始
    			Node parent ; //定义一个父节点，该父节点与current相关
    			while (true) {
    				parent = current;
    				if (id < current.iData) { //go left
    					current = current.leftChild;
    					if (current == null) {
    						parent.leftChild = newNode;
    						return;
    					}
    				} else { //go right
    					current = current.rightChild;
    					if (current == null) {
    						parent.rightChild = newNode;
    						return;
    					}
    				}
    				
    			}
    		}
    	}

**4、二叉树删除，删除的情况最复杂，根据上文的描述大家应该可以知道，我们需要分为多种情况来考虑，这也是考察对二叉树的联想能力，**

//根据key删除一个节点
    	public boolean delete(int key){
    		Node current = root ;
    		Node parent = root ;
    		boolean isLeftChild = true;
    		
    		while (current.iData != key) {
    			parent = current;
    			if (key < current.iData) {
    				isLeftChild = true;
    				current = current.leftChild;
    			} else {
    				isLeftChild = false ;
    				current = current.rightChild;
    			}
    			if (current == null) {
    				return false;
    			}
    		}
    		
    		//found node to delete
    		//如果没有子节点，直接删除即可
    		if (current.leftChild == null && current.rightChild == null) {
    			if (current == root) { //如果删除的节点为root
    				root = null; //空树
    			} 
    			else if(isLeftChild){ //如果删除左子节点
    				 parent.leftChild = null;
    			}
    			else { //如果删除右子节点
    				parent.rightChild = null;
    			}
    		}
    		
    		//如果没有右节点，用左子树代替当前节点即可。
    		else if(current.rightChild == null){
    			if (current == root) {
    				root = current.leftChild;
    			} 
    			else if (isLeftChild) {
    				parent.leftChild = current.leftChild;
    			}
    			else {
    				parent.rightChild = current.leftChild;
    			}
    		}
    		
    		//如果没有左节点，直接用右子树代替当前删除的节点
    		else if (current.leftChild == null) {
    			if (current == root) {
    				root = current.rightChild;
    			}
    			else if (isLeftChild) {
    				parent.leftChild = current.rightChild;
    			}
    			else {
    				parent.rightChild = current.rightChild;
    			}
    		}
    		
    		// 如果左右子节点均不为空，则需要寻找到节点继承者
    		else {
    			// 寻找继承者
    			Node successor = getSuccessor(current); 
    			
    			if (current == root) {
    				root = successor;
    			}
    			else if (isLeftChild) {
    				parent.leftChild = successor ;
    			}
    			else {
    				parent.rightChild = successor;
    			}
    			
    			successor.leftChild = current.leftChild; //getsuccessort里边定义了successor的右节点，此时需要定义下左节点。
    		}
    		
    		return true;
    	}
    
    
    
    //获取被删除的节点的额继承节点
    	private Node getSuccessor(Node delNode){
    		Node successorParent = delNode; //初始化继承者的父节点
    		Node successor = delNode;//初始化继承者几点
    		Node current = delNode.rightChild; //从当前节点开始寻找继承者，必须从右子树里寻找继承者，
    											//因为右子树比当前节点的值大
    		
    		while (current != null) {  //寻找右子树的最左节点作为继承者。保证右子树大于继承者，最左节点是最小的。
    			successorParent = successor;
    			successor = current;
    			current = current.leftChild;
    		}
    		
    		if (successor != delNode.rightChild) { //如果继承者不是当前删除节点的右子节点。说明右子树不止一层
    			successorParent.leftChild = successor.rightChild; // successort的右子树成为了父类的左子树
    			successor.rightChild = delNode.rightChild; //successort的右子树指向被删除节点的右子树
    		}
    		return successor;
    	}

为了能够展示出二叉树的结构，下面是一个打印二叉树的方法，

//打印树
    	public void displayTree(){
    		Stack globalStack = new Stack();
    		globalStack.push(root);
    		int nBlanks =32;getClass();
    		boolean isRowEmpty = false;
    		System.out.println("=========================================================================");
    		while(isRowEmpty == false) {
    			Stack localStack = new Stack();
    			isRowEmpty = true;
    			for (int  j =0;j<nBlanks;j++) {
    				System.out.print(" ");
    			}
    			
    			while (globalStack.isEmpty() == false) {
    				Node temp = (Node)globalStack.pop();
    				if (temp!=null) {
    					System.out.print(temp.iData);
    					localStack.push(temp.leftChild);
    					localStack.push(temp.rightChild);
    					if (temp.leftChild != null || temp.rightChild !=null) {
    						isRowEmpty = false;
    					}
    				}
    				else {
    					System.out.print("--");
    					localStack.push(null);
    					localStack.push(null);
    				}
    				for (int j = 0;j<nBlanks*2-2;j++) {
    					System.out.print(" ");
    				}
    			}
    			System.out.println();
    			nBlanks /= 2;
    			while (localStack.isEmpty() == false) {
    				globalStack.push(localStack.pop());
    			}
    		}
    		System.out.println("=========================================================================");
    	}

下面我们写一段测试代码，来验证一下上面的几个方法，

public static void main(String[] args) {
    		
    		int value;
    		
    		Tree theTree = new Tree();
    		theTree.insert(50, 1.3);
    		theTree.insert(25, 1.1);
    		theTree.insert(75, 1.7);
    		
    		theTree.insert(12, 1.3);
    		theTree.insert(37, 1.9);
    		theTree.insert(43, 1.4);
    		
    		theTree.insert(87, 1.6);
    		theTree.insert(93, 1.2);
    		theTree.insert(97, 1.5);
    		
    		theTree.insert(30, 1.4);
    		theTree.insert(19, 1.3);
    		
    		Node node = theTree.find(93);
    		System.out.println(node.dData);
    		
    		theTree.displayTree();
    		System.out.println("删除一个节点 -------------");
    		theTree.delete(25);
    		theTree.traverse(1);
    		
    		/*theTree.traverse(1);
    		
    		System.out.println("----------------");
    		theTree.traverse(2);
    		System.out.println("----------------");
    		theTree.traverse(3);*/
    		
    		/*theTree.delete(25);
    		theTree.displayTree();*/
    		
    	}

运行一下，可以看到打印结果，  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW5nY29uZ3lpNDIw_size_16_color_FFFFFF_t_70 16]  
可以看到，二叉树的删除，插入和查找基本完成，下面说说二叉树的几种遍历方式，

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW5nY29uZ3lpNDIw_size_16_color_FFFFFF_t_70 17]

从这三种遍历方式的描述来看，我们大概可以知道数据节点的访问顺序，下面我们用代码实现一下这三种遍历方式，

public static List preList = new ArrayList();		//前序遍历结果保存
    	public static List afterList = new ArrayList();		//后续遍历结果保存
    	public static List inList = new ArrayList();		//中序遍历结果保存
    	
    	//遍历
    	//前序遍历，从根节点开始遍历。
    	private void preOrder(Node localRoot){
    		if (localRoot != null) {
    			preList.add(localRoot.iData);
    			System.out.print(localRoot.iData+"  " );
    			preOrder(localRoot.leftChild);
    			preOrder(localRoot.rightChild);
    		}
    	}
    	//中序
    	private void inOrder(Node localRoot){
    		if (localRoot !=null) {
    			inOrder(localRoot.leftChild);
    			inList.add(localRoot.iData);
    			System.out.print(localRoot.iData+"  ");
    			inOrder(localRoot.rightChild);
    		}
    	}
    	//后序
    	private void postOrder(Node localRoot){
    		if (localRoot != null) {
    			postOrder(localRoot.leftChild);
    			postOrder(localRoot.rightChild);
    			afterList.add(localRoot.iData);
    			System.out.print(localRoot.iData+"  ");
    		}
    	}
    	
    	//测试三种遍历方式打印出的结果有何不同之处
    	public void traverse(int type){
    		switch (type) {
    		case 1:
    			System.out.print("\npre order :");
    			preOrder(root);
    			System.out.println(Arrays.toString(preList.toArray()));
    			break;
    		case 2:
    			System.out.print("\nin order :");
    			inOrder(root);
    			System.out.println(Arrays.toString(inList.toArray()));
    			break;
    		case 3:
    			System.out.print("\npost order :");
    			postOrder(root);
    			System.out.println(Arrays.toString(afterList.toArray()));
    			break;
    		default:
    			break;
    		}
    	}

下面继续使用我们的测试代码，对遍历的结果进行打印输出，可以看到，三种遍历方式的结果已经成功输出，  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW5nY29uZ3lpNDIw_size_16_color_FFFFFF_t_70 18]

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW5nY29uZ3lpNDIw_size_16_color_FFFFFF_t_70]: https://img-blog.csdnimg.cn/20190324212528662.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW5nY29uZ3lpNDIw,size_16,color_FFFFFF,t_70
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW5nY29uZ3lpNDIw_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: https://img-blog.csdnimg.cn/20190324212658511.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW5nY29uZ3lpNDIw,size_16,color_FFFFFF,t_70
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