高等数学：海伦公式证明

淡淡的烟草味﹌ 2023-10-16 13:48 63阅读 0赞

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式。它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。表达式为：  
 S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) S=\\sqrt\{p(p-a)(p-b)(p-c)\} S=p(p−a)(p−b)(p−c)其中  p = a + b + c 2 p=\\frac\{a+b+c\}\{2\} p=2a\+b\+c

它的特点是形式漂亮，便于记忆。

相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，所以被称为海伦公式。中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术。

如图，对于任意一个三角形，有

① h 2 = a 2 − x 2 ② ( c − x ) 2 + h 2 = b 2 h^\{2\}=a^\{2\}-x^\{2\} ② (c-x)^\{2\}+h^\{2\}=b^\{2\} h2=a2−x2②(c−x)2\+h2=b2

将①带入②得：  
 ( c − x ) 2 + a 2 − x 2 = b 2 (c-x)^\{2\}+a^\{2\}-x^\{2\}=b^\{2\} (c−x)2\+a2−x2=b2 c 2 − 2 c x + a 2 = b 2 c^\{2\}-2cx+a^\{2\}=b^\{2\} c2−2cx\+a2=b2 x = c 2 + a 2 − b 2 2 c x=\\frac\{c^\{2\}+a^\{2\}-b^\{2\}\}\{2c\} x=2cc2\+a2−b2代入①得：  
 h = a 2 − ( c 2 + a 2 − b 2 2 c ) 2 h=\\sqrt\{a^\{2\}-(\\frac\{c^\{2\}+a^\{2\}-b^\{2\}\}\{2c\})^\{2\}\} h=a2−(2cc2\+a2−b2)2  
则  S = 1 2 c a 2 − ( c 2 + a 2 − b 2 2 c ) 2 S=\\frac\{1\}\{2\}c\\sqrt\{a^\{2\}-(\\frac\{c^\{2\}+a^\{2\}-b^\{2\}\}\{2c\})^\{2\}\} S=21ca2−(2cc2\+a2−b2)2 S = c 2 4 a 2 − ( c 2 + a 2 − b 2 2 c ) 2 S=\\sqrt\{\\frac\{c^\{2\}\}\{4\}\}\\sqrt\{a^\{2\}-(\\frac\{c^\{2\}+a^\{2\}-b^\{2\}\}\{2c\})^\{2\}\} S=4c2a2−(2cc2\+a2−b2)2  
 S = c 2 a 2 4 − c 2 4 × ( c 2 + a 2 − b 2 ) 2 4 c 2 S=\\sqrt\{\\frac\{c^\{2\}a^\{2\}\}\{4\}-\\frac\{c^\{2\}\}\{4\}\\times\\frac\{(c^\{2\}+a^\{2\}-b^\{2\})^\{2\}\}\{4c^\{2\}\}\} S=4c2a2−4c2×4c2(c2\+a2−b2)2  
 S = c 2 a 2 4 − ( c 2 + a 2 − b 2 ) 2 4 2 S=\\sqrt\{\\frac\{c^\{2\}a^\{2\}\}\{4\}-\\frac\{(c^\{2\}+a^\{2\}-b^\{2\})^\{2\}\}\{4^\{2\}\}\} S=4c2a2−42(c2\+a2−b2)2  
 S = ( c a 2 + c 2 + a 2 − b 2 4 ) ( c a 2 − c 2 + a 2 − b 2 4 ) S=\\sqrt\{(\\frac\{ca\}\{2\}+\\frac\{c^\{2\}+a^\{2\}-b^\{2\}\}\{4\})(\\frac\{ca\}\{2\}-\\frac\{c^\{2\}+a^\{2\}-b^\{2\}\}\{4\})\} S=(2ca\+4c2\+a2−b2)(2ca−4c2\+a2−b2)（平方差）  
 S = ( 2 c a + c 2 + a 2 − b 2 4 ) ( 2 c a − ( c 2 + a 2 − b 2 ) 4 ) S=\\sqrt\{(\\frac\{2ca+c^\{2\}+a^\{2\}-b^\{2\}\}\{4\})(\\frac\{2ca-(c^\{2\}+a^\{2\}-b^\{2\})\}\{4\})\} S=(42ca\+c2\+a2−b2)(42ca−(c2\+a2−b2)) S = ( ( c + a ) 2 − b 2 4 ) ( b 2 − ( c − a ) 2 4 ) S=\\sqrt\{(\\frac\{(c+a)^\{2\}-b^\{2\}\}\{4\})(\\frac\{b^\{2\}-(c-a)^\{2\}\}\{4\})\} S=(4(c\+a)2−b2)(4b2−(c−a)2) S = ( ( c + a + b ) ( c + a − b ) 4 ) ( ( b + c − a ) ( b − c + a ) 4 ) S=\\sqrt\{(\\frac\{(c+a+b)(c+a-b)\}\{4\})(\\frac\{(b+c-a)(b-c+a)\}\{4\})\} S=(4(c\+a\+b)(c\+a−b))(4(b\+c−a)(b−c\+a)) S = ( c + a + b 2 ) ( c + a − b 2 ) ( b + c − a 2 ) ( b − c + a 2 ) S=\\sqrt\{(\\frac\{c+a+b\}\{2\})(\\frac\{c+a-b\}\{2\})(\\frac\{b+c-a\}\{2\})(\\frac\{b-c+a\}\{2\})\} S=(2c\+a\+b)(2c\+a−b)(2b\+c−a)(2b−c\+a)  
 S = ( a + b + c 2 ) ( a + b + c 2 − b ) ( a + b + c 2 − a ) ( a + b + c 2 − c ) S=\\sqrt\{(\\frac\{a+b+c\}\{2\})(\\frac\{a+b+c\}\{2\}-b)(\\frac\{a+b+c\}\{2\}-a)(\\frac\{a+b+c\}\{2\}-c)\} S=(2a\+b\+c)(2a\+b\+c−b)(2a\+b\+c−a)(2a\+b\+c−c)  
这就完成了我们的证明，这个证明本身没有任何的思考难度，不过最后算面积的过程可以用来训练我们的计算能力（如果你是初一生啊什么的，需要训练公式运用）