高等数学：傅里叶变换（二）

小鱼儿 2023-10-15 11:51 4阅读 0赞

#### 文章目录 ####

*  2. 数字信号处理的傅里叶变换
 *   *  2.1 傅里叶变换
     *  2.2 周期函数的傅里叶变换
     *  2.3 时域采样的频域分析
     *  2.4 时域采样定理

## 2. 数字信号处理的傅里叶变换 ##

### 2.1 傅里叶变换 ###

重新定义  ω 0 = 2 π T \\displaystyle \\omega\_0 = \\frac\{2\\pi\}\{T\} ω0=T2π, 有分析公式:  X n = X ( n j ω 0 ) = 1 T ∫ t 0 t 0 + T x ( t ) ⋅ e − j n ω 0 t d t \\displaystyle X\_n = X(nj\\omega\_0) = \\frac\{1\}\{T\}\\int\_\{t\_0\}^\{t\_0+T\}x(t)\\cdot e^\{-jn\\omega\_0 t\}\\mathrm\{d\}t Xn=X(njω0)=T1∫t0t0\+Tx(t)⋅e−jnω0tdt  
两边乘以 T 得:  T X n = 2 π ω 0 X ( n j ω 0 ) = ∫ t 0 t 0 + T x ( t ) ⋅ e − j n ω 0 t d t \\displaystyle TX\_n = \\frac\{2\\pi\}\{\\omega\_0\}X(nj\\omega\_0) = \\int\_\{t\_0\}^\{t\_0+T\}x(t)\\cdot e^\{-jn\\omega\_0 t\}\\mathrm\{d\}t TXn=ω02πX(njω0)=∫t0t0\+Tx(t)⋅e−jnω0tdt

合成公式:  x ( t ) = ∑ n = − ∞ + ∞ X n e j n ω 0 t = ∑ n ω 0 = − ∞ + ∞ X ( n j ω 0 ) ω 0 e j n ω 0 t Δ ( n ω 0 ) \\displaystyle x(t) = \\sum\_\{n=-\\infty\}^\{+\\infty\}X\_n e^\{jn\\omega\_0 t\} = \\sum\_\{n\\omega\_0=-\\infty\}^\{+\\infty\}\\frac\{X(nj\\omega\_0)\}\{\\omega\_0\} e^\{jn\\omega\_0 t\}\\Delta(n\\omega\_0) x(t)=n=−∞∑\+∞Xnejnω0t=nω0=−∞∑\+∞ω0X(njω0)ejnω0tΔ(nω0)  
令周期  T → ∞ T \\to \\infty T→∞, 即  ω 0 → 0 \\omega\_0 \\to 0 ω0→0,  ω = n ω 0 \\omega = n\\omega\_0 ω=nω0 变得连续, 并且重新定义  X ( j ω ) = 2 π ω 0 X ( n j ω 0 ) , \\displaystyle X(j\\omega) = \\frac\{2\\pi\}\{\\omega\_0\}X(nj\\omega\_0), X(jω)=ω02πX(njω0),  
则我们有  
 n ω 0 → ω Δ ( n ω 0 ) → d ω X ( j n ω 0 ) ω 0 → X ( j ω ) 2 π ∑ n ω 0 = − ∞ + ∞ → ∫ − ∞ + ∞ n\\omega\_0 \\to \\omega \\Delta(n\\omega\_0) \\to \\mathrm\{d\}\\omega \\displaystyle \\frac\{X(jn\\omega\_0)\}\{\\omega\_0\} \\to \\frac\{X(j\\omega)\}\{2\\pi\} \\displaystyle \\sum\_\{n\\omega\_0=-\\infty\}^\{+\\infty\} \\to \\int\_\{-\\infty\}^\{+\\infty\} nω0→ωΔ(nω0)→dωω0X(jnω0)→2πX(jω)nω0=−∞∑\+∞→∫−∞\+∞  
因此到傅里叶变换, 可以适用于非周期信号.  
 X ( j ω ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e − j ω t d t x ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ X ( j ω ) e j ω t d ω \\displaystyle X(j\\omega) = \\int\_\{-\\infty\}^\{+\\infty\}x(t)e^\{-j\\omega t\}\\mathrm\{d\}t \\displaystyle x(t) = \\frac\{1\}\{2\\pi\}\\int\_\{-\\infty\}^\{+\\infty\}X(j\\omega)e^\{j\\omega t\}\\mathrm\{d\}\\omega X(jω)=∫−∞\+∞x(t)e−jωtdtx(t)=2π1∫−∞\+∞X(jω)ejωtdω  
前者称为 傅里叶正变换, 后者称为 傅里叶逆变换.

其中  X ( ω ) X(\\omega) X(ω) 是  x ( t ) x(t) x(t) 的频谱函数, 一般是复函数, 可以写作  
 X ( ω ) = ∣ X ( ω ) ∣ e j φ ( ω ) X(\\omega) = |X(\\omega)|e^\{j\\varphi(\\omega)\} X(ω)=∣X(ω)∣ejφ(ω)  
并且  ∣ X ( ω ) ∣ |X(\\omega)| ∣X(ω)∣ 是  X ( ω ) X(\\omega) X(ω)的模, 代表信号中各频率分量的相对大小,  φ ( ω ) \\varphi(\\omega) φ(ω)是  X ( ω ) X(\\omega) X(ω)的相位函数, 代表信号中各频率分量之间的相位关系. 二者对应的曲线分别称为幅度频谱和相位频谱.

如果  x ( t ) x(t) x(t) 是实函数, 则  ∣ X ( ω ) ∣ |X(\\omega)| ∣X(ω)∣是偶函数,  φ ( ω ) \\varphi(\\omega) φ(ω) 是奇函数.

### 2.2 周期函数的傅里叶变换 ###

由于周期信号不满足傅里叶变换的绝对可积条件, 所以我们无法直接使用  
 X ( j ω ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e − j ω t d t x ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ X ( j ω ) e j ω t d ω \\displaystyle X(j\\omega) = \\int\_\{-\\infty\}^\{+\\infty\}x(t)e^\{-j\\omega t\}\\mathrm\{d\}t \\displaystyle x(t) = \\frac\{1\}\{2\\pi\}\\int\_\{-\\infty\}^\{+\\infty\}X(j\\omega)e^\{j\\omega t\}\\mathrm\{d\}\\omega X(jω)=∫−∞\+∞x(t)e−jωtdtx(t)=2π1∫−∞\+∞X(jω)ejωtdω  
但是我们可以通过周期函数的傅里叶级数来推导

由  F \[ 1 \] = 2 π δ ( ω ) \\mathcal\{F\}\[1\]=2\\pi \\delta(\\omega) F\[1\]=2πδ(ω) 和频移特性可得  F \[ e j ω 0 t \] = 2 π δ ( ω − ω 0 ) \\mathcal\{F\}\[e^\{j\\omega\_0t\}\] = 2\\pi\\delta(\\omega-\\omega\_0) F\[ejω0t\]=2πδ(ω−ω0)

x ( t ) x(t) x(t) 的傅里叶级数为  
 x ( t ) = ∑ n = − ∞ + ∞ X n e j n ω 0 t \\displaystyle x(t) = \\sum\_\{n=-\\infty\}^\{+\\infty\}X\_n e^\{jn\\omega\_0t\} x(t)=n=−∞∑\+∞Xnejnω0t  
两边同时取傅里叶变换得  
 F \[ x ( t ) \] = F \[ ∑ n = − ∞ ∞ X n e j n ω 0 t \] = ∑ n = − ∞ ∞ X n F \[ e j n ω 0 t \] = 2 π ∑ n = − ∞ + ∞ X n δ ( ω − n ω 0 ) \\displaystyle \\mathcal\{F\}\[x(t)\] = \\mathcal\{F\}\\left\[ \\sum\_\{n=-\\infty\}^\{\\infty\}X\_ne^\{jn\\omega\_0t\} \\right\] = \\sum\_\{n=-\\infty\}^\{\\infty\}X\_n\\mathcal\{F\}\\left\[ e^\{jn\\omega\_0t\} \\right\] = 2\\pi\\sum\_\{n=-\\infty\}^\{+\\infty\}X\_n\\delta(\\omega-n\\omega\_0) F\[x(t)\]=F\[n=−∞∑∞Xnejnω0t\]=n=−∞∑∞XnF\[ejnω0t\]=2πn=−∞∑\+∞Xnδ(ω−nω0)  
因此有 F \[ x ( t ) \] = 2 π ∑ n = − ∞ + ∞ X n δ ( ω − n ω 0 ) X n = 1 T ∫ t 0 t 0 + T x ( t ) e − j n ω 0 t d t \\displaystyle \\mathcal\{F\}\[x(t)\] = 2\\pi\\sum\_\{n=-\\infty\}^\{+\\infty\}X\_n\\delta(\\omega-n\\omega\_0) \\displaystyle X\_n = \\frac\{1\}\{T\}\\int\_\{t\_0\}^\{t\_0+T\}x(t)e^\{-jn\\omega\_0t\}\\mathrm\{d\}t F\[x(t)\]=2πn=−∞∑\+∞Xnδ(ω−nω0)Xn=T1∫t0t0\+Tx(t)e−jnω0tdt  
说明有

周期信号  x ( t ) x(t) x(t) 的傅里叶变换有位于  0 , ± ω 0 , ± 2 ω 0 , ⋯ 0, \\pm \\omega\_0, \\pm 2\\omega\_0, \\cdots 0,±ω0,±2ω0,⋯处的冲激信号组成, 冲激信号的强度等于对应傅里叶级数系数的  2 π 2\\pi 2π 倍.  
傅里叶变换反应频谱密度, 因此周期信号的傅里叶变换不是有限值, 是冲激函数, 表明在无穷小的频带范围内取得无穷大的频谱值.  
周期信号的频谱是离散的.

### 2.3 时域采样的频域分析 ###

由于  
 F \[ δ T s ( t ) \] = X ( j ω ) = 2 π ∑ − ∞ + ∞ X n δ ( ω − n ω s ) = ω s ∑ n = − ∞ + ∞ δ ( ω − n ω s ) \\displaystyle \\mathcal\{F\}\[\\delta\_\{T\_s\}(t)\] = X(j\\omega) = 2\\pi\\sum\_\{-\\infty\}^\{+\\infty\}X\_n\\delta(\\omega-n\\omega\_s)=\\omega\_s\\sum\_\{n=-\\infty\}^\{+\\infty\}\\delta(\\omega-n\\omega\_s) F\[δTs(t)\]=X(jω)=2π−∞∑\+∞Xnδ(ω−nωs)=ωsn=−∞∑\+∞δ(ω−nωs)  
(冲击串的傅里叶变换仍然是冲击串)

因此有  
 F \[ x s ( t ) \] = 1 2 π \[ X ( j ω ) ∗ ω s ∑ − ∞ + ∞ δ ( ω − n ω s ) \] = 1 T s ∑ − ∞ + ∞ X ( j ( ω − n ω s ) ) \\displaystyle \\mathcal\{F\}\[x\_s(t)\] = \\frac\{1\}\{2\\pi\}\[X(j\\omega)\*\\omega\_s\\sum\_\{-\\infty\}^\{+\\infty\}\\delta(\\omega-n\\omega\_s)\] = \\frac\{1\}\{T\_s\}\\sum\_\{-\\infty\}^\{+\\infty\}X(j(\\omega-n\\omega\_s)) F\[xs(t)\]=2π1\[X(jω)∗ωs−∞∑\+∞δ(ω−nωs)\]=Ts1−∞∑\+∞X(j(ω−nωs))  
时域对信号做离散化, 频域表现为原始时域信号频谱  X ( j ω ) X(j\\omega) X(jω) 的周期延拓 (重复), 时域的离散化导致了频域的周期性.

反之亦然, 因此一个域的离散化和另一个域的周期性相对应.  
 F − 1 \[ X s ( j ω ) \] = x ( t ) ∗ \[ 1 ω s ∑ − ∞ + ∞ δ ( t − n T s ) \] = 1 ω s ∑ − ∞ + ∞ x ( t − n T s ) \\displaystyle \\mathcal\{F\}^\{-1\}\[X\_s(j\\omega)\] = x(t)\*\[\\frac\{1\}\{\\omega\_s\}\\sum\_\{-\\infty\}^\{+\\infty\}\\delta(t-nT\_s)\] = \\frac\{1\}\{\\omega\_s\}\\sum\_\{-\\infty\}^\{+\\infty\}x(t-nT\_s) F−1\[Xs(jω)\]=x(t)∗\[ωs1−∞∑\+∞δ(t−nTs)\]=ωs1−∞∑\+∞x(t−nTs)

### 2.4 时域采样定理 ###

采样定理: 若连续信号  x ( t ) x(t) x(t) 是一个频带受限信号 (若  ∣ ω ∣ > ω m \\left| \\omega \\right| > \\omega\_m ∣ω∣>ωm则  X ( j ω ) = 0 , ω m = 2 π f m ) , x ( t ) X(j\\omega)=0, \\omega\_m=2\\pi f\_m), x(t) X(jω)=0,ωm=2πfm),x(t)的等间隔样本值  x s ( t ) x\_s(t) xs(t), 用  x s ( t ) x\_s(t) xs(t) 唯一表示  x ( t ) x(t) x(t)的条件是  
 T s < 1 2 f m 即 ω s > 2 ω m \\displaystyle T\_s < \\frac\{1\}\{2 f\_m\} 即 \\omega\_s > 2\\omega\_m Ts<2fm1即ωs>2ωm  
 f s = 2 f m f\_s = 2 f\_m fs=2fm 为最小采样频率, 称为  N y q u i s t R a t e NyquistRate NyquistRate.

若  x ( t ) x(t) x(t) 的最高频率为  f m f\_m fm, 当  a > b > 1 a > b > 1 a>b>1时, 有

x ( a t ) 最小采样频率 2 a f m x(at) 最小采样频率 2a f\_m x(at)最小采样频率2afm  
 x ( a t ) ∗ x ( b t ) 最小采样频率 2 b f m x(at)\*x(bt) 最小采样频率 2b f\_m x(at)∗x(bt)最小采样频率2bfm  
 x ( a t ) ⋅ x ( b t ) 最小采样频率 2 ( a + b ) f m x(at)\\cdot x(bt) 最小采样频率 2(a+b) f\_m x(at)⋅x(bt)最小采样频率2(a\+b)fm