质能方程推导过程

冷不防 2023-10-15 11:18 7阅读 0赞

#### 文章目录 ####

*  读懂质能方程的含义
 *  问题呈现
 *  方程证明

质能方程是一个重要且著名的方程，没有质能方程，就不会有今天核物理的迅速发展。在高中，质能方程是直接给出来的，没有任何推导。那么，质能方程是怎么推导得出的呢？

## 读懂质能方程的含义 ##

我们知道，质能方程就是下面这个等式：  
 E = m c 2 E=mc^2 E=mc2  
其中m表示物体的质量。但是，这里的“质量”和我们通常所理解的质量不同。

质能方程是在相对论的基础上提出的。我们知道，在牛顿力学中，时间和空间是绝对的。这种“绝对”观念只在宏观条件下物体相对于参考系低速运动（速度远小于光速）时适用。如果在微观世界中，或者物体相对于惯性系做高速运动的情况下，经典力学就不适用了。这就是爱因斯坦提出相对论的原因。

在惯性系中，物体静止时具有的质量叫做静止质量，这时物体没有能量。但当物体做高速运动时，物体的能量和质量会以成正比的方式一起增加。这个新增加的质量与物体静止质量之和就是质能方程中物体的质量m。而新增加的能量也就是E。这就是说，  E ∝ m E∝m E∝m 。

下面，我们开始对质能方程的推导。推导过程有参考其他出处。

## 问题呈现 ##

在一惯性参考系中，一微观粒子的静止质量为  m 0 m\_0 m0，现使该粒子受力 F 的作用（力是关于时间的函数），由静止开始运动。过一段时间 t 后粒子的位移是  x 0 x\_0 x0 ，质量是  m + m 0 m+m\_0 m\+m0 ，这一过程中物体增加的能量为 E 。已知光速大小为 c 。

求证：  E = m c 2 E=mc^2 E=mc2

## 方程证明 ##

物体增加的能量即为物体增加的动能，由动能定理可得  ∫ 0 x 0 F d x = E \\int\_0^\{x\_0\}F\{\\text d\}x=E ∫0x0Fdx=E

将上式改造成微分表达式，即有  
 d E = F d x … … ① \{\\text d\}E=F\{\\text d\}x ……① dE=Fdx……①  
由动量定理可得  d p = F d t … … ② \{\\text d\}p=F\{\\text d\}t ……② dp=Fdt……②

① ② \\frac\{①\}\{②\} ②①，由  d x d t = v \\frac\{ \{\\text d\}x\}\{ \{\\text d\}t\}=v dtdx=v 得  
 d E d p = v \\frac\{ \{\\text d\}E\}\{ \{\\text d\}p\}=v dpdE=v  
即  
 d E = v d p d E = v d ( m v ) \{\\text d\}E=v\{\\text d\}p\\\\ \{\\text d\}E=v\{\\text d\}(mv) dE=vdpdE=vd(mv)  
亦即  
 d E = m v d v + v 2 d m … … ③ \{\\text d\}E=mv\{\\text d\}v+v^2\{\\text d\}m ……③ dE=mvdv\+v2dm……③  
③式先留着，下面先推另外一个式子。

根据狭义相对论的质速关系，我们得到  
 m = m 0 1 − v 2 c 2 m=\\frac\{m\_0\}\{\\sqrt\{1-\{\\frac\{v^2\}\{c^2\}\}\}\} m=1−c2v2m0  
去根号，得  m 2 = m 0 2 1 − v 2 c 2 = m 0 2 c 2 c 2 − v 2 m^2=\\frac\{m\_0^2\}\{1-\{\\frac\{v^2\}\{c^2\}\}\}=\\frac\{m\_0^2c^2\}\{c^2-v^2\} m2=1−c2v2m02=c2−v2m02c2

即  m 2 c 2 − m 2 v 2 = m 0 2 c 2 m^2c^2-m^2v^2=m\_0^2c^2 m2c2−m2v2=m02c2

两边对v求导：  
 d ( m 2 c 2 − m 2 v 2 ) d v = d ( m 0 2 c 2 ) d v \\frac\{ \{\\text d\}(m^2c^2-m^2v^2)\}\{ \{\\text d\}v\}=\\frac\{ \{\\text d\}(m\_0^2c^2)\}\{ \{\\text d\}v\} dvd(m2c2−m2v2)=dvd(m02c2)  
由于  m 0 ， c m\_0，c m0，c 均为常数，所以等号右边为0，即  
 d ( m 2 c 2 − m 2 v 2 ) d v = 0 2 m c 2 d m − d ( m 2 v 2 ) d v = 0 2 m c 2 d m − 2 m v 2 d m − 2 v m 2 d v d v = 0 \\frac\{ \{\\text d\}(m^2c^2-m^2v^2)\}\{ \{\\text d\}v\}=0 \\frac\{2mc^2\{\\text dm-\{\\text d\}(m^2v^2)\}\}\{ \{\\text d\}v\}=0\\\\\\ \\frac\{2mc^2\{\\text d\}m-2mv^2\{\\text d\}m-2vm^2\{\\text d\}v\}\{ \\text dv\}=0 dvd(m2c2−m2v2)=0dv2mc2dm−d(m2v2)=0dv2mc2dm−2mv2dm−2vm2dv=0  
 − 2 v m 2 + 2 m c 2 d m − 2 m v 2 d m d v = 0 -2vm^2+\\frac\{2mc^2\{\\text dm\}-2mv^2\{\\text dm\}\}\{\\text dv\}=0 −2vm2\+dv2mc2dm−2mv2dm=0  
 − 2 v m 2 d v + 2 m c 2 d m − 2 m v 2 d m = 0 − v m d v + c 2 d m − v 2 d m = 0 -2vm^2\{\\text dv\}+2mc^2\{\\text dm\}-2mv^2\{\\text dm\}=0 \\\\\\ -vm\{\\text dv\}+c^2\{\\text dm\}-v^2\{\\text dm\}=0 −2vm2dv\+2mc2dm−2mv2dm=0−vmdv\+c2dm−v2dm=0  
 − v m d v + c 2 d m = v 2 d m -vm\{\\text dv\}+c^2\{\\text dm\}=v^2\{\\text dm\} −vmdv\+c2dm=v2dm  
将这个结果代入③式，得到  
 d E = m v d v − v m d v + c 2 d m = c 2 d m dE=mv\{\\text dv\}-vm\{\\text dv\}+c^2\{\\text dm\}=c^2\{\\text dm\} dE=mvdv−vmdv\+c2dm=c2dm  
这时，我们进行积分，得到  E = ∫ m 0 m + m 0 c 2 d m = m c 2 ∣ m 0 m + m 0 = m c 2 E=\\int\_\{m\_0\}^\{m+m\_0\}c^2dm\\\\ =mc^2|\_\{m\_0\}^\{m+m\_0\}=mc^2 E=∫m0m\+m0c2dm=mc2∣m0m\+m0=mc2

可以看到，粒子由于运动产生的能量  E = m c 2 E=mc^2 E=mc2。

命题得证。