麦克斯韦方程组（上）

╰+攻爆jí腚メ 2023-10-15 11:14 2阅读 0赞

#### 文章目录 ####

*  1 电磁性质方程
 *  2 微分与积分形式及其含义

## 1 电磁性质方程 ##

电磁性质方程反应了介质的宏观电磁性质。当介质在电场或者磁场中，其内部的微观粒子会和电磁场发生相互作用，改变原始的电磁场分布。假设介质是均匀且各向同性的，那么有下列的线性关系：  
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Eq.1 电荷在电场中运动产生电流——  
 J = σ E \\mathbf\{J\}=\\sigma\\mathbf\{E\} J=σE  
此式为欧姆定律的微分形式，  σ \\sigma σ是电导率，即电阻的倒数。

这个式子很好理解。电场的存在，使得介质中出现电势差，正电荷在电场力的作用下向低电势的方向移动，形成电流。因此，电流密度J的方向和电场强度E的方向相同，且成正比。

Figure1-1 电场强度和电流密度  
Eq.2介质的极化——  D = ε E \\mathbf\{D\}=\\varepsilon\\mathbf\{E\} D=εE  
该式描述了介质在电场中的性质，它的基本形式是，  
 D = ε 0 E + P \\mathbf\{D\}=\\varepsilon\_\{0\}\\mathbf\{E\} +\\mathbf\{P\} D=ε0E\+P  
其中，P为电极化强度，定义为单位体积内的电偶极矩，描述介质被极化的程度。

假设电介质中的分子可以看成电偶极子。在受到电场力作用时，电偶极矩p的方向会在力矩的作用下改变，所有的电偶极矩的方向趋于与E同向。因此P的方向和E相同，且成正比。电极化强度和电场强度的关系为，  
 P = χ ε 0 E \\mathbf\{P\}=\\chi \\varepsilon\_0\\mathbf\{E\} P=χε0E  
Figure1-2 电场强度和电极化强度  
电位移矢量D是一个包含了电场强度E和电极化强度P的矢量，包含的信息更多。但它只是一个辅助场量，不代表真实的电场。

Eq.3 介质的磁化——  B = μ H \\mathbf\{B\}=\\mu\\mathbf\{H\} B=μH  
该式描述了介质在磁场中的性质，它的基本形式是，  
 B = μ 0 ( H + M ) \\mathbf\{B\}=\\mu\_\{0\}(\\mathbf\{H\} +\\mathbf\{M\}) B=μ0(H\+M)  
这里的M为磁化强度，为单位体积内的磁矩，描述介质被磁化的程度。

介质中的分子运动形成分子电流，产生磁矩。在存在磁场作用时，磁矩m的方向会在磁场的作用下改变，磁矩的方向趋于与E相同或相反。因此M的方向和E相同或相反，且成正比。磁化强度和磁场强度的关系为，  
 M = χ H \\mathbf\{M\}=\\chi \\mathbf\{H\} M=χH

Figure1-3 磁感应强度和磁化强度  
这里需要注意的是，与电场不同，这里的磁场强度H是一个辅助场量，磁感应强度B才是真正描述磁场大小的物理量。此外，在很多介质中M和H并不是线性关系，例如铁磁质，关系较为复杂，这里为了简化，当做线性。

## 2 微分与积分形式及其含义 ##

我们在电磁学或者电动力学中接触过，麦克斯韦方程组可以写成两种形式：微分形式和积分形式，具体形式如下。

积分形式  
 \{ ∬ S D ⋅ d s = Q f ∬ S B ⋅ d s = 0 ∮ L E ⋅ d l = − d Φ B d t ∮ L H ⋅ d l = I f + d Φ D d t \\left\\\{\\begin\{array\}\{l\} \\iint \_\\mathbb\{S\} \\mathbf\{D\} \\cdot\\mathrm\{d\}s= Q\_f \\\\ \\iint \_\\mathbb\{S\} \\mathbf\{B\} \\cdot\\mathrm\{d\}s= 0 \\\\ \{\\oint\}\_\{\\mathbb\{L\}\}^\{\} \\mathbf\{E\} \\cdot \\mathrm\{d\}l=-\\cfrac\{\\mathrm\{d\}\\Phi \_\{\\mathbf\{B\}\}\}\{\\mathrm\{d\}t \} \\\\ \{\\oint\}\_\{\\mathbb\{L\}\}^\{\} \\mathbf\{H\} \\cdot \\mathrm\{d\}l=I\_f+\\cfrac\{\\mathrm\{d\}\\Phi \_\{\\mathbf\{D\}\}\}\{\\mathrm\{d\}t \} \\end\{array\} \\right. ⎩⎨⎧∬SD⋅ds=Qf∬SB⋅ds=0∮LE⋅dl=−dtdΦB∮LH⋅dl=If\+dtdΦD  
微分形式  
 \{ ∇ ⋅ D = ρ ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × H = J f + ∂ D ∂ t \\left\\\{ \\begin\{array\}\{l\} \\nabla \\cdot \\mathbf\{D\} =\\rho \\\\ \\nabla \\cdot \\mathbf\{B\} = 0 \\\\ \\nabla \\times \\mathbf\{E\} = -\\cfrac\{\\partial \\mathbf\{B\}\}\{\\partial t \} \\\\ \\nabla \\times \\mathbf\{H\} = \\mathbf\{J\}\_f + \\cfrac\{\\partial \\mathbf\{D\}\}\{\\partial t \} \\end\{array\} \\right. ⎩⎨⎧∇⋅D=ρ∇⋅B=0∇×E=−∂t∂B∇×H=Jf\+∂t∂D  
接下来，我们对这四个方程分别进行详细说明。

Eq.1 电场的高斯定理——  ∇ ⋅ D = ρ \\nabla \\cdot \\mathbf\{D\} =\\rho ∇⋅D=ρ  
电场是个有源场，电荷是电场的源。电场的散度和电荷密度有关。

Eq.2 磁场的高斯定理——  ∇ ⋅ B = 0 \\nabla \\cdot \\mathbf\{B\} = 0 ∇⋅B=0  
磁场是个无源场，散度为0。说明磁单极子不存在或还未发现。

Figure2-1 电场的高斯定理  
Eq.3 变化的磁场产生电场——  ∇ × E = − ∂ B ∂ t \\nabla \\times \\mathbf\{E\} = -\\cfrac\{\\partial \\mathbf\{B\}\}\{\\partial t \} ∇×E=−∂t∂B  
方程左侧是磁场，右侧是电场。这个方程将变化的磁场和电场联系起来，同时也是电磁感应现象的原理。我们还能得到下列性质

在静电场中，  ∂ B ∂ t = 0 ， ∇ × E = 0 \\cfrac\{\\partial \\mathbf\{B\}\}\{\\partial t \}=0 ， \\nabla \\times \\mathbf\{E\} = 0 ∂t∂B=0，∇×E=0 此时电场为无旋场。  
在感应电场中，磁场随时间变化，上式不为0。电场是有旋的（常称为涡旋电场）。

Figure2-2 变化的磁场产生电场  
Eq.4 电流和变化的电场产生磁场——  ∇ × H = J f + ∂ D ∂ t \\nabla \\times \\mathbf\{H\} = \\mathbf\{J\}\_f+ \\cfrac\{\\partial \\mathbf\{D\}\}\{\\partial t \} ∇×H=Jf\+∂t∂D  
式子的左侧是电流密度和电位移对时间的导数，说明：

电流的磁效应，电流可以产生磁场。  
变化的电场可以产生磁场。  
磁场是有旋度的。