普朗克常数（一）

「爱情、让人受尽委屈。」 2023-10-15 10:58 17阅读 0赞

#### 文章目录 ####

*  物体辐射量的测量
 *  辐射压
 *  多普勒效应
 *  维恩位移定律

## 物体辐射量的测量 ##

冰岛物理学家廷德尔（John Tyndall）从事过一些土地测量和铁路建设工作，之后成为数学和测量教师.在学校和一个同事成为朋友后，两人决定去德国继续他们在科学上的学习，在德国，本生是Tyndall的老师.1701年牛顿通过实验，给出了一个冷却过程中温度与时间的关系定律，但是牛顿没有使用任何数学公式，由于文章很短，也没有数据支持，这对后续的研究者影响很大，后面继续有人研究这个问题，一直到Tyndall，他前面的研究者Dulong 和Petit的实验中温度范围太小，而且没有使用绝对温度.与此相反，Tyndall测量的温度高达1200℃，他精确地测量了金箔线通电后的辐射.

一螺旋的金线用球形玻璃封闭以避免空气流动，玻璃球上有一个孔能够将螺旋线上发出的光射到热电（由热生电）电池上，……金线从黑色低温状态被逐步加温到完全的白热，这样，使金线从最初的黑色状态变到白热所增加的电流，使暗淡的辐射增加440倍.

Joseph Stefan是澳大利亚物理学家，1879年，从Tyndall和Dulong，Petit的实验测量，Stefan提出一个有名的经验关系式，这个关系式声称一个物体单位时间辐射出的总能量与物体绝对温度的四次方成正比.但是Stefan对Dulong和Petit的公式不太满意，在研究了他们的实验的细节后，Stefan注意到，由于与周围的bulb有传导而损失了热量.在修正后，他给出了公式  
 H = A T 4 H = A\{T^4\} H=AT4  
然而，Dulong和Petit使用的温度很低，测试这个公式需要更高温度，此时Stefan看到了Tyndall的高达1200℃的大范围的实验数据，且与公式完全符合.

从微红的大约525℃到完全的白热的大约1200℃，辐射从10.4增加到122，大约12倍（11.7），这使我考虑到热辐射与绝对温度的四次方成比例.绝对温度从273+1200 到273+525的比是1.849，1.849的四次方是11.6，与122/10.4=11.7十分接近.

Stefan的发现十分走运，因为Tyndall的实验数据是错误的，Tyndall不是测试一个近似的黑体. Tyndall应该得到的数据是18.6而不是11.7，他的错误的测量数据恰好与黑体辐射的数据相近.

Stefan的公式没有被科学界立即接受，直到他的学生玻尔兹曼（Ludwig Boltzmann）于1884年做出一个理论性的推导.这个推导需要用到Bartoli的辐射压（radiation pressure）.

## 辐射压 ##

开普勒于1619年提出用辐射压的概念解释彗星的尾巴一直指向远离太阳一侧的观测事实.麦克斯韦于1862年提出光是电磁波，具有动量，因此施加压力于暴露在光照下的任何表面上.

Bartoli是意大利物理学家，1874年麦克斯韦发现以太有tension，换句话说，就是有辐射压.1876年，Bartoli从热力学角度推导出辐射压的存在，他论述说，由于物体的辐射温度会由于光线通过镜子反射而升高，因此从低温物体传递能量到高温物体是可能的，为了避免与热力学第二定律矛盾，光对镜子有作用力是必须的，之后radiation pressure在爱因斯坦的质能方程和光电效应中有重要作用，当爱因斯坦1895年生活在Pavia时，Bartoli正好是当地大学的物理学教师.Bartoli是通过分析crookes的实验（crookes阴极射线管），基于自己设想的thought experiment来研究这个问题的，我们来详述Bartoli的实验.

Bartoli想象有一个圆柱体被可以移动的、完全反射的活塞A，B分为3个空腔（想象为真空中），活塞被完全封住但是可以无摩擦地滑动，每一个活塞中间有一个带有阀门的孔，阀门可以无摩擦地打开使得相邻空腔之间可以连通.圆柱左右两头用黑体封闭且处于不同温度，  T 1 < T 2 \{T\_1\} < \{T\_2\} T1<T2 .

活塞A最初靠近圆柱体左边且阀门打开，活塞B最初靠近圆柱右边且阀门关闭.这样，两个活塞之间充入辐射radiation，且能量密度与黑体温度一致达到T1，Bartoli于是假定如下循环：

1.  关闭活塞A的孔，使与温度为T1的黑体处于平衡态的辐射封闭在两个活塞之间.然后将活塞A向活塞B移动直到两活塞之间的辐射能量密度radiation energy density增加到与右边黑体温度相同，然后打开活塞B的孔.（圆柱内充满辐射，比如light，光在圆柱内壁、活塞表面来回反射，随着活塞的运动，空腔体积减小，单位表面积和单位体积内的辐射增加，温度升高）
2.  将活塞A向右移动直到与B接触，然后继续一起移动这两个活塞，直到活塞B与圆柱右端黑体接触，这使得活塞A、B间的辐射进入温度为T2的黑体.
3.  关闭B上的孔同时打开A上的孔使两个活塞回复到最初的位置，这就完成了一个循环.

很明显，这个循环的结果是将热从低温容器传递到了高温容器，然而热力学第二定律表明外界不做功的情况下，热不可能从低温物体转移到高温物体，因此，我们推论，在这次循环中做了一定量的功.但是由于活塞和阀门都是无摩擦的，功只可能是反抗辐射压做的against radiation pressure.

很偶然地， Bartoli的结果被玻尔兹曼知道了.玻尔兹曼是奥地利物理学家，是热力学和统计物理学的奠基人之一.1866年在维也纳大学时，在Stefan的指导下写了一篇论文a thesis on the kinetic theory of gases而获得博士学位，之后成为Stefan的助手，之后再由Stefan的推荐，成为某校教授.

玻尔兹曼在分析了Bartoli 的结果后，得到辐射压  
 p = 1 3 u p = \\frac\{1\}\{3\}u p=31u  
u表示辐射能量密度.再利用基本热力学关系  
 dU = TdS − pdV \{\\text\{dU = TdS\}\} - \{\\text\{pdV\}\} dU = TdS−pdV  
以及辐射能量密度  
 u = U V u = \\frac\{U\}\{V\} u=VU  
得到了Stefan根据实验所得的公式（具体参考wikipedia），Bartoli和Boltzmann将电磁学和热力学结合起来处理热辐射的想法被维恩Wien使用.Wien的推导过程使用了多普勒效应，我们先来认识多普勒效应.

## 多普勒效应 ##

Stars are suns，距离地球遥远的星星是一些类似太阳的发光发热的恒星，它们在宇宙中高速运动.但为什么有些星星是橘黄色的orange，其它一些又是红色或蓝色的？这种颜色的不同在特定联星中尤其突出.联星是指两颗星，它们绕由其组成的系统的质心运动.1842年，澳大利亚天文学和数学家，Prague大学教授多普勒Doppler觉得他找到了一种解释.

根据多普勒的解释，光是一种波动现象，我们看到的光的颜色是由光的频率决定的.这个频率依赖于光源和观察者之间的相对运动速度.如果光源和观察者相互靠近，每秒钟达到观察者的光波就更多，观察到的频率就会更高，所以光的颜色将会变得更绿.如果观察者和光源之间的距离不停地增加，观察到的频率就会减小，观察者就会看到更红的颜色.

1842年5月25日，Doppler在Prague大学进行了一场演讲，在演讲中解释了他的如上理论，一年后，这个理论被发表.多普勒还提到，同样的效应在声波中也应该可以被观察到.多普勒效应在声波上于1845年被Ballot验证，但是不能用来解释恒星颜色的不同，因为颜色的不同是由于不同表面温度造成的.联星的颜色不同主要是由于相互之间的对比、差异造成的.然而多普勒效应在现代天文学中依然十分重要.天体的旋转和运动可以通过它们发出的光的微小变化计算出来.

## 维恩位移定律 ##

德国物理学家维恩（Wilhelm Carl Werner Otto Fritz Franz Wien，1864年－1928年）1864年1月13日出生在东普鲁士（现俄罗斯）的菲施豪森（Fischhausen），他的父亲卡尔•维恩（Carl Wien）是地主.1879年在拉斯滕堡（Rastenburg）、1880年至1882年在海德堡读中学.中学毕业后，1882年在哥廷根大学学习数学，同年转去柏林大学（德国当时学生有到不同学校学习的惯例）.1883年至1885年在亥姆霍兹的实验室工作，1886年获得博士学位，论文题目是光对金属的衍射（他的导师就是研究这方面的），以及不同材料对折射光颜色的影响.此后，由于维恩的父亲生病，维恩不得不回去帮助管理他父亲的土地（维恩和他父亲一样性格内向）.期间他有一个学期跟随亥姆霍兹，1887年完成了金属对光和热辐射的导磁性实验.

在国家物理工程研究所，维恩与路德维希•霍尔伯恩（Ludwig Holborn）一起研究用勒沙特列（Le Chatelier）温度计测量高温的方法，同时对热动力学进行理论研究，尤其是热辐射的定律.1893年，维恩提出波长随温度改变的定律，后来被称为维恩位移定律.

黑体的辐射是由一个波长范围的辐射组成的，基尔霍夫已经给出黑体辐射是频率和温度两个变量的函数，所以当温度一定时，我们就可以测量辐射能量与频率的关系，借助光谱分析，我们可以测量频率与辐射的关系.将辐射集中在分光计的狭缝使其分散为光谱（this cannot be done with a prism of ordinary glass which absorbs strongly above some 2μm，但是可以用rock salt prism）.可以通过放置热电偶在不同波长的位置来研究.在光谱的任意一点上，热电偶接头截取到波长范围为λ到λ+△λ内的能量，这个能量除以△λ，商就是单位波长的能量.如果我们测量发射的能量与发射面积的比值，我们就可以得到单位波长范围的辐射出射度  M λ \{M\_\\lambda \} Mλ .

19世纪末期时像这样的测量已经做完了，产生了类似下图的曲线图：

横坐标表示波长，纵坐标表示能量密度(复制于Wien 1894年发表的论文中，说明Wien曾经做过这个实验).

Wien的想法是使用一个有一个小洞的像烤炉一样的物体近似模拟黑体，通过小洞进入黑体的辐射经过内壁的散射和反射，从而几乎所有进入火炉的辐射都被吸收了，那些找到路径再次射出烤炉的辐射会非常少，于是从小洞出来的辐射就非常接近黑体达到平衡状态时与其温度对应的电磁辐射.（这种模型基尔霍夫曾经给出过.）

W i e n 发现，温度不变时，单位波长范围 d λ 的辐射能量 d W 在某一特定波长 λ m 处有一个最大值，随着温度的增加，这个最大值所处的波长 λ m 向短波方向移动，他发现 λ m T 是一个常量， λ m T = 0.2898 c e n t i m e t r e − d e g r e e K e l v i n . Wien发现，温度不变时，单位波长范围dλ的辐射能量dW在某一特定波长 \\lambda\_\{m\} 处有一个最大值，随着温度的增加，这个最大值所处的波长 \\lambda\_\{m\} 向短波方向移动，他发现 \\lambda\_\{m\}T 是一个常量， \\lambda\_\{m\}T =0.2898 centimetre-degree Kelvin. Wien发现，温度不变时，单位波长范围dλ的辐射能量dW在某一特定波长λm处有一个最大值，随着温度的增加，这个最大值所处的波长λm向短波方向移动，他发现λmT是一个常量，λmT=0.2898centimetre−degreeKelvin.

温度增加时辐射能量的最大值向更高频率移动的Wien位移定律以量的形式表达了我们平常观察到的情况.我们的皮肤感觉温暖的物体会产生红外辐射；温度接近T=950 K会观察到昏暗的红光；温度增加时，光的颜色会增强，变成橘黄色和黄色.钨丝灯的温度是T=2500 K，会发出白光，但是根据Wien的定律，此时光谱的最大值依然是红外的，当温度达到T=6000 K时，光谱的最大值移向可见的黄色，就像太阳表面的颜色一样.

Wien的定律只是一个通过实验得到的经验公式而不是理论推导得到的.1894年，Wien通过一个思想实验thought experiment进行了理论推导.

Wien研究了由两个过程导致的辐射能量密度的增加：温度的增加和绝热情况下含有辐射的密闭体积的减小.如果这两个过程最终都达到相同的温度，那么both process should lead to the same energy distribution among the wavelengths.在考虑了多普勒效应后，他达到了这个目标.

想象一个装有黑体辐射的圆柱体被一个能够完全反射辐射的可移动的活塞封闭，移动活塞，我们可以缓慢地减小圆柱体空腔的体积，从而这种压缩过程是绝热的，也就是说，平衡态始终被保持着，被活塞反射的辐射的频率将根据多普勒效应而变化，因此由于活塞的运动做功，这个封闭空间内的温度将上升，定量的变化过程使得Wien得到了Wien位移定律.