拉格朗日力学-蒲公英云

拉格朗日力学

我们从一个原理出发， δ S = 0 \delta S=0 δS=0 ,表示的是在给定的时间点之间，不改变时间的取向，仅改变系统的位形，即选择出众多运动形态中的最“平稳”的一条，S就是哈密顿作用量 S = ∫ t i t 2 L d t S=\int_{t_i} ^{t_{2} }L\text{d}t S=∫tit2Ldt

其中的L就是拉格朗日量。

代入方程，即可得到 KaTeX parse error: Invalid delimiter type ‘ordgroup’ at position 271: …}\delta q_i\big{̲l̲}̲^{t_2}_{t_1}+\i…

由于各个自由度之间互相独立，且各个q的变化任意

得到拉格朗日方程 ∂ L ∂ q i − d d t ( ∂ L ∂ q i ˙ ) = 0 \frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{\text{d}}{\text{d}t}(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}})=0 ∂qi∂L−dtd(∂qi˙∂L)=0

对于一个封闭的质点系统， L = T − U L=T-U L=T−U

T是质点的动能，对于一般的系统 L = T ( q , q ˙ ) − U ( q ) L=T(q,\dot{q})-U(q) L=T(q,q˙)−U(q)

而T是坐标变化量的二次函数，由齐次函数的欧拉定理 ∑ ∂ T ∂ q i ˙ q i ˙ = 2 T \sum\frac{\partial T}{\partial \dot{q_i}}\dot{q_i}=2T ∑∂qi˙∂Tqi˙=2T

对于这个一般系统 ∑ ∂ L ∂ q i ˙ q i ˙ = ∑ ∂ T ∂ q i ˙ q i ˙ = 2 T \sum\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\dot{q_i}=\sum\frac{\partial T}{\partial \dot{q_i}}\dot{q_i}=2T ∑∂qi˙∂Lqi˙=∑∂qi˙∂Tqi˙=2T

所以我们定义的能量 E = ∑ ∂ L ∂ q i ˙ q i ˙ − L E=\sum\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\dot{q_i}-L E=∑∂qi˙∂Lqi˙−L 。

同时我们发现，对于一个系统，L与r无关，动量守恒。与角度无关，角动量守恒。

这就显示了动量是位置的动量，角动量是角度的动量。

于是我们定义动量 p i = ∂ L ∂ q i ˙ p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} pi=∂qi˙∂L

这个系统就是这样建立的。