拉格朗日力学

骑猪看日落 2023-10-15 10:19 46阅读 0赞

我们从一个原理出发，  δ S = 0 \\delta S=0 δS=0 ,表示的是在给定的时间点之间，不改变时间的取向，仅改变系统的位形，即选择出众多运动形态中的最“平稳”的一条，S就是哈密顿作用量  S = ∫ t i t 2 L d t S=\\int\_\{t\_i\} ^\{t\_\{2\} \}L\\text\{d\}t S=∫tit2Ldt

其中的L就是拉格朗日量。

代入方程，即可得到 KaTeX parse error: Invalid delimiter type 'ordgroup' at position 271: …\}\\delta q\_i\\big\{̲l̲\}̲^\{t\_2\}\_\{t\_1\}+\\i…

由于各个自由度之间互相独立，且各个q的变化任意

得到拉格朗日方程  ∂ L ∂ q i − d d t ( ∂ L ∂ q i ˙ ) = 0 \\frac\{\\partial L\}\{\\partial q\_i\}-\\frac\{\\text\{d\}\}\{\\text\{d\}t\}(\\frac\{\\partial L\}\{\\partial \\dot\{q\_i\}\})=0 ∂qi∂L−dtd(∂qi˙∂L)=0

对于一个封闭的质点系统，  L = T − U L=T-U L=T−U

T是质点的动能，对于一般的系统  L = T ( q , q ˙ ) − U ( q ) L=T(q,\\dot\{q\})-U(q) L=T(q,q˙)−U(q)

而T是坐标变化量的二次函数，由齐次函数的欧拉定理  ∑ ∂ T ∂ q i ˙ q i ˙ = 2 T \\sum\\frac\{\\partial T\}\{\\partial \\dot\{q\_i\}\}\\dot\{q\_i\}=2T ∑∂qi˙∂Tqi˙=2T

对于这个一般系统  ∑ ∂ L ∂ q i ˙ q i ˙ = ∑ ∂ T ∂ q i ˙ q i ˙ = 2 T \\sum\\frac\{\\partial L\}\{\\partial \\dot\{q\_i\}\}\\dot\{q\_i\}=\\sum\\frac\{\\partial T\}\{\\partial \\dot\{q\_i\}\}\\dot\{q\_i\}=2T ∑∂qi˙∂Lqi˙=∑∂qi˙∂Tqi˙=2T

所以我们定义的能量  E = ∑ ∂ L ∂ q i ˙ q i ˙ − L E=\\sum\\frac\{\\partial L\}\{\\partial \\dot\{q\_i\}\}\\dot\{q\_i\}-L E=∑∂qi˙∂Lqi˙−L 。

同时我们发现，对于一个系统，L与r无关，动量守恒。与角度无关，角动量守恒。

这就显示了动量是位置的动量，角动量是角度的动量。

于是我们定义动量  p i = ∂ L ∂ q i ˙ p\_i=\\frac\{\\partial L\}\{\\partial \\dot\{q\_i\}\} pi=∂qi˙∂L

这个系统就是这样建立的。