【数据结构】时间和空间复杂度

布满荆棘的人生 2023-10-14 20:27 22阅读 0赞

#### 文章目录 ####

*  如何衡量一个算法的好坏
 *  算法效率
 *  时间复杂度
 *   *  时间复杂度的概念
     *  大O渐近表示法
     *   *  推导大O阶方法
     *  常见的时间复杂度计算
     *   *  【实例1】
         *  【实例2】
         *  【实例三】
         *  【实例四】
         *  【实例五】
         *  【实例六】
         *  【实例七】
 *  空间复杂度
 *   *  空间复杂度计算
     *   *  【实例一】
         *  【实例二】
         *  【实例三】
 *  总结

## 如何衡量一个算法的好坏 ##

![在这里插入图片描述][27bca993c00142bcb592f2479f3d6360.png]  
我们知道一道题，有许多种代码可以实现它。但是我们应该怎么去选择呢？

比如博主在前面讲过的斐波那契数，我们可以用递归和循环来实现。那么到底那一种方法好呢？为什么？该如何衡量一个算法的好坏呢？这就涉及到了一个新的概念——算法效率

## 算法效率 ##

***算法效率分析分为两种：第一种是时间效率，第二种是空间效率。时间效率被称为时间复杂度，而空间效率被称作空间复杂度。 时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度，而空间复杂度主要衡量一个算法所需要的额外空间***

在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

## 时间复杂度 ##

![在这里插入图片描述][e135319cd4c34bc0a047b56b385c11be.png]

### 时间复杂度的概念 ###

***时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个数学函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。***

但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

求时间复杂度我们使用大O渐近表示法

### 大O渐近表示法 ###

比如我现在有以下程序，我们来看一下它执行了多少次？

void func1(int N){
        
    	int count = 0;
    	for (int i = 0; i < N ; i++) {
        
    		for (int j = 0; j < N ; j++) {
        
    			count++;
    		}
    	}
    	for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
        
    		count++;
    	} 
    	int M = 10;
    	while ((M--) > 0) {
        
    		count++;
    	} 
    	System.out.println(count);
    }

我们对此程序进行分析得  
![在这里插入图片描述][48693204e1c34eec93a2d6fbf318e7ff.png]  
所以总的Func1 执行的基本操作次数 ：  
![在这里插入图片描述][ddcf750c3eee41a7852613074c4a95c8.png]  
当我们得N不同时，执行次数也就不同

*  N = 10 F(N) = 130
 *  N = 100 F(N) = 10210
 *  N = 1000 F(N) = 1002010

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐近表示法。

***大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐近行为的数学符号***

我们该如何使用大O的渐近表示法呢？

其实当我们写出了Func1 执行的基本操作次数后，我们只需要对该次数得表达式进行简单得推导就好

#### 推导大O阶方法 ####

*  用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
 *  在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
 *  如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为  
    ![在这里插入图片描述][e9363e0a30be4afb81469d51a583d95a.png]

这时候我们对N进行不同赋值时

*  N = 10 F(N) = 100
 *  N = 100 F(N) = 10000
 *  N = 1000 F(N) = 1000000

通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

*  最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
 *  平均情况：任意输入规模的期望运行次数
 *  最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x

>  *  最好情况：1次找到
>  *  最坏情况：N次找到
>  *  平均情况：N/2次找到

***在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)***

### 常见的时间复杂度计算 ###

***计算分为两步***

1.  计算程序执行次数
2.  推导大O阶方法

#### 【实例1】 ####

void func2(int N) {
        
    	int count = 0;
    	for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
        
    		count++;
    	} 
    	int M = 10;
    	while ((M--) > 0) {
        
    		count++;
    	} 
    	System.out.println(count);
    }

第一步  
![在这里插入图片描述][b39bce673f524226966e91f52008c7eb.png]  
第二步，通过推导大O阶方法知道，时间复杂度为 O(N)

#### 【实例2】 ####

void func3(int N, int M) {
        
    	int count = 0;
    	for (int k = 0; k < M; k++) {
        
    		count++;
    	} 
    	for (int k = 0; k < N ; k++) {
        
    		count++;
    	} 
    	System.out.println(count);
    }

第一步，计算程序执行次数  
![在这里插入图片描述][25e366234e704288aa125673d79628f7.png]  
第二步，有两个未知数M和N，时间复杂度为 O(N+M)

#### 【实例三】 ####

void func4(int N) {
        
    	int count = 0;
    	for (int k = 0; k < 100; k++) {
        
    		count++;
    	} 
    	System.out.println(count);
    }

第一步，计算程序次数  
![在这里插入图片描述][087db39c8c4a43a4be2259612d63c146.png]  
第二步，通过推导大O阶方法，时间复杂度为 O(1)

#### 【实例四】 ####

void bubbleSort(int[] array) {
        
    	for (int end = array.length; end > 0; end--) {
        
    		boolean sorted = true;
    		for (int i = 1; i < end; i++) {
        
    			if (array[i - 1] > array[i]) {
        
    				Swap(array, i - 1, i);
    				sorted = false;
    			}
    		} 
    		if(sorted == true) {
        
    			break;
    		}
    	}
    }

第一步，计算程序执行次数

此代码为冒泡排序，我们发现它的每一次循环的执行次数构成等差数列  
![在这里插入图片描述][f0ebe71ddeb94cdf8338a6fe6ee5f26d.png]  
我们只需要用[等差数列求和公式][Link 1]进行求和即可。所以程序的总次数为：(N\*(N-1))/2次

第二步，通过推导大O阶方法+时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N^2)

#### 【实例五】 ####

int binarySearch(int[] array, int value) {
        
    	int begin = 0;
    	int end = array.length - 1;
    	while (begin <= end) {
        
    		int mid = begin + ((end-begin) / 2);
    		if (array[mid] < value)
    			begin = mid + 1;
    		else if (array[mid] > value)
    			end = mid - 1;
    		else
    		return mid;
    	} 
    	return -1;
    }

第一步，计算程序执行次数

此代码为一个二分查找，每一次查找，所查找查找数据都会减半，直到数据量减为1；  
![在这里插入图片描述][1c64c3989ef14ca4b3a2a6252b72b5be.png]  
我们通过简单的观察和思考后不难得出执行次数为：  
![在这里插入图片描述][60a2120a02ff44e1b501eebda3439d68.png]  
第二步，通过推导大O阶方法+时间复杂度一般看最坏，所以时间复杂度为  
![在这里插入图片描述][b5ef2a431e46449d8ae368da73d984d7.png]  
在算法分析中表示是底数为2，对数为N，有些地方会写成lgN。

#### 【实例六】 ####

long factorial(int N) {
        
    	return N < 2 ? N : factorial(N-1) * N;
    }

第一步，通过计算分析不难发现发现基本操作递归了N次

第二不，通过推导大O阶方法，时间复杂度为 O(N)

#### 【实例七】 ####

int fibonacci(int N) {
        
    	return N < 2 ? N : fibonacci(N-1)+fibonacci(N-2);
    }

第一步，计算总执行次数，通过画图我们发现它的执行次数是一个等比数列  
![在这里插入图片描述][9c2fe18d521442938ea1fea96c573c39.png]  
我们只需要使用[等比数列求和公式][Link 2]就可以了，得出为![在这里插入图片描述][050cd7aa976c403eadb3d8dd639c291d.png]  
第二步，通过推导大O阶方法+时间复杂度一般看最坏,所以时间复杂度为O(2^N)

## 空间复杂度 ##

![在这里插入图片描述][e41e2a8b268245e5bc88c93224dbda0a.png]

空间复杂度是对一个算法在运行过程中==临时占用存储空间大小的量度 ==。

空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法

### 空间复杂度计算 ###

#### 【实例一】 ####

实例1使用了常数个额外空间，也就是创建了sorted变量，所以空间复杂度为 O(1)

#### 【实例二】 ####

int[] fibonacci(int n) {
        
    	long[] fibArray = new long[n + 1];
    	fibArray[0] = 0;
    	fibArray[1] = 1;
    	for (int i = 2; i <= n ; i++) {
        
    		fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
    	}
    	return fibArray;
    }

实例2动态开辟了N个空间，空间复杂度为 O(N)  
![在这里插入图片描述][5056e0361bd843fba3528fb3e08b3691.png]

#### 【实例三】 ####

long factorial(int N) {
        
    	return N < 2 ? N : factorial(N-1)*N;
    }

实例3递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)

## 总结 ##

关于《 【数据结构】 时间和空间复杂度》就讲解到这儿，感谢大家的支持，欢迎各位留言交流以及批评指正，如果文章对您有帮助或者觉得作者写的还不错可以点一下关注，点赞，收藏支持一下！

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