多路查找树

素颜马尾好姑娘i 2023-10-11 10:41 2阅读 0赞

# 一、二叉树与B树 #

## 1、二叉树的问题分析 ##

**二叉树的操作效率较高，但是也存在问题, 请看下面的二叉树**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxMTEzNzYyMzE2MA_size_16_color_FFFFFF_t_70]

1.  二叉树需要加载到内存的，如果二叉树的节点少，没有什么问题，但是如果二叉树的节点很多(比如1亿)，就 存在如下问题:
2.  问题1:在构建二叉树时，需要多次进行i/o操作(海量数据存在数据库或文件中)，节点海量，构建二叉树时， 速度有影响
3.  问题2:节点海量，也会造成二叉树的高度很大，会降低操作速度.

## 2、多叉树 ##

1.  在二叉树中，每个节点有数据项，最多有两个子节点。如果允许每个节点可以有更多的数据项和更多的子节点， 就是多叉树(multiway tree)
2.  后面我们讲解的2-3树，2-3-4树就是多叉树，多叉树通过重新组织节点，减少树的高度，能对二叉树进行优化。
3.  举例说明(下面2-3树就是一颗多叉树)  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxMTEzNzYyMzE2MA_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

## 3、B 树的基本介绍 ##

B 树通过重新组织节点，降低树的高度，并且减少 i/o 读写次数来提升效率。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxMTEzNzYyMzE2MA_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

1.  如图B树通过重新组织节点，降低了树的高度.
2.  文件系统及数据库系统的设计者利用了磁盘预读原理，将一个节点的大小设为等于一个页(页得大小通常为4k)，  
    这样每个节点只需要一次 I/O 就可以完全载入
3.  将树的度M设置为1024，在600亿个元素中最多只需要4次I/O操作就可以读取到想要的元素,B树(B+)广泛  
    应用于文件存储系统以及数据库系统中

# 二、2-3 树 #

## 1、2-3 树是最简单的 B 树结构, 具有如下特点: ##

1.  2-3 树的所有叶子节点都在同一层.(只要是 B 树都满足这个条件)
2.  有两个子节点的节点叫二节点，二节点要么没有子节点，要么有两个子节点.
3.  有三个子节点的节点叫三节点，三节点要么没有子节点，要么有三个子节点.
4.  2-3 树是由二节点和三节点构成的树。

## 2、2-3 树应用案例 ##

将数列\{16, 24, 12, 32, 14, 26, 34, 10, 8, 28, 38, 20\} 构建成 2-3 树，并保证数据插入的大小顺序。(演示一下构建 2-3树的过程.)  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxMTEzNzYyMzE2MA_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]  
**插入规则:**

1.  2-3 树的所有叶子节点都在同一层.(只要是 B 树都满足这个条件)
2.  有两个子节点的节点叫二节点，二节点要么没有子节点，要么有两个子节点.
3.  有三个子节点的节点叫三节点，三节点要么没有子节点，要么有三个子节点.
4.  当按照规则插入一个数到某个节点时，不能满足上面三个要求，就需要拆，先向上拆，如果上层满，则拆本层，拆后仍然需要满足上面 3 个条件。
5.  对于三节点的子树的值大小仍然遵守(BST 二叉排序树)的规则

## 3、其它说明 ##

除了 23 树，还有 234 树等，概念和 23 树类似，也是一种 B 树。 如图:  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxMTEzNzYyMzE2MA_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]

# 三、B 树、B+树和 B\*树 #

## 1、B 树的介绍 ##

B-tree 树即 B 树，B 即 Balanced，平衡的意思。有人把 B-tree 翻译成 B-树，容易让人产生误解。会以为 B-树 是一种树，而 B 树又是另一种树。实际上，B-tree 就是指的 B 树。

## 2、B 树的介绍 ##

前面已经介绍了 2-3 树和 2-3-4 树，他们就是 B 树(英语:B-tree 也写成 B-树)，这里我们再做一个说明，我们在学习 Mysql 时，经常听到说某种类型的索引是基于 B 树或者 B+树的，如图:  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxMTEzNzYyMzE2MA_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]  
对上图的说明:

1.  B 树的阶:节点的最多子节点个数。比如 2-3 树的阶是 3，2-3-4 树的阶是 4
2.  B-树的搜索，从根结点开始，对结点内的关键字(有序)序列进行二分查找，如果命中则结束，否则进入查询  
    关键字所属范围的儿子结点;重复，直到所对应的儿子指针为空，或已经是叶子结点
3.  关键字集合分布在整颗树中, 即叶子节点和非叶子节点都存放数据.
4.  搜索有可能在非叶子结点结束
5.  其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找

## 3、B+树的介绍 ##

B+树是 B 树的变体，也是一种多路搜索树。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxMTEzNzYyMzE2MA_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]  
对上图的说明:

1.  B+树的搜索与 B 树也基本相同，区别是 B+树只有达到叶子结点才命中(B 树可以在非叶子结点命中)，其性  
    能也等价于在关键字全集做一次二分查找
2.  所有关键字都出现在叶子结点的链表中(即数据只能在叶子节点【也叫稠密索引】)，且链表中的关键字(数据)  
    恰好是有序的。
3.  不可能在非叶子结点命中
4.  非叶子结点相当于是叶子结点的索引(稀疏索引)，叶子结点相当于是存储(关键字)数据的数据层
5.  更适合文件索引系统
6.  B 树和 B+树各有自己的应用场景，不能说 B+树完全比 B 树好，反之亦然.

## 4、B\*树的介绍 ##

B*树是 B+树的变体，在 B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxMTEzNzYyMzE2MA_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]  
**B树的说明:***

1.  B\*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)\*M，即块的最低使用率为 2/3，而 B+树的块的最低使用率为的1/2。
2.  从第1个特点我们可以看出，B\*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高  
    转载至：尚硅谷\_韩顺平\_图解Java数据结构和算法.pdf

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