✨概率论期末速成(三套卷)——试卷①✨

末蓝、 2023-10-10 21:06 33阅读 0赞

> ✨博主：命运之光  
> ✨专栏：[概率论期末速成（三套卷）][Link 1]  
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#### 目录 ####

*   *  ✨一、填空题（在下列各题填写正确答案，不填、填错，该题无分，每小题3分，共36分）
     *  ✨二、计算题(本大题6小题，每小题9分，共54分)。
     *  ✨三、应用题（10分）
     *  ✨附上原笔记图片（祝大家考试顺利）

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**前言**：**第一次尝试打数学公式，我是用语雀记得笔记然后直接导入了CSDN但导入后格式和公式都发生了变化，之后我会直接用图片写题解这样格式不会乱，而且比打公式效率高许多。**

> ✨✨**为了让大家看的清楚，我在文章的最后附上了导入前笔记的样子，供大家参考**。

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### ✨一、填空题（在下列各题填写正确答案，不填、填错，该题无分，每小题3分，共36分） ###

1、设 A , B , C A,B,C A,B,C为3个事件，则表示 A , B , C A,B,C A,B,C中至少两个发生的事件是\_\_\_\_.

> 第一题比较简单，我们通过答案就可以理解，所以这里就不过多阐述。

解题：  
 A ˉ B C + A B ˉ C + A B C ˉ + A B C \\=\{A\}BC+A\\=\{B\}C+AB\\=\{C\}+ABC AˉBC\+ABˉC\+ABCˉ\+ABC  
2、设事件 A , B A,B A,B独立，且 P ( A ) = 0.4 P(A)=0.4 P(A)=0.4， P ( B ) = 0.2 P(B)=0.2 P(B)=0.2，则 P ( A ∪ B ˉ ) = P(A \\cup \\=\{B\})= P(A∪Bˉ)=\_\_\_\_.  
**知识点：**  
 P ( A ∪ B ) = \{ P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) P ( A ) + P ( B ) if A B = ∅ P(A \\cup B)=\\begin\{cases\} P(A)+P(B)-P(AB) \\\\ P(A)+P(B) &\\text\{if \} AB=\\emptyset \\end\{cases\} P(A∪B)=\{ P(A)\+P(B)−P(AB)P(A)\+P(B)if AB=∅  
**解题：套用上面知识点**  
  
 P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ˉ ) − P ( A B ˉ ) = 0.4 + 0.8 − 0.4 × 0.8 = 1.2 − 0.32 = 0.88 \\begin\{aligned\} P(A \\cup B) &= P(A)+P(\\=\{B\})-P(A\\=\{B\}) \\\\ &= 0.4+0.8-0.4×0.8 \\\\ &= 1.2-0.32\\\\ &= 0.88 \\end\{aligned\} P(A∪B)=P(A)\+P(Bˉ)−P(ABˉ)=0.4\+0.8−0.4×0.8=1.2−0.32=0.88  
  
3、设在全部产品中有20%是废品，而合格品有85%是一级品，则任意抽出一个产品是一级品的概率为\_\_\_\_\_.

> 这题也较简单看答案就能理解

**解题：**  
合格品： 1 − 20 % = 80 % 1-20\\%=80\\% 1−20%=80%  
任取一个产品是一级品的概率为： 80 % × 85 % = 0.8 × 0.85 = 0.68 80\\%×85\\%=0.8×0.85=0.68 80%×85%=0.8×0.85=0.68  
4、设在一次试验中，事件A发生的概率为0.6.现进行3次独立试验，则A至少发生概率为\_\_\_\_\_.

> 这题也较简单看答案就能理解

**分析这题采用反证法：** 
 A A A至少发生概率为： 1 − A 1-A 1−A一次也不发生的概率。 
**题解：** 
 A A A至少发生概率为： 1 − P ˉ = 1 − ( 0.4 × 0.4 × 0.4 ) = 0.936 1-\\=\{P\}=1-(0.4×0.4×0.4)=0.936 1−Pˉ=1−(0.4×0.4×0.4)=0.936 
5、设离散型随机变量的 X X X分布函数为 F ( x ) \{ 0 , x < − 1 0.1 , − 1 ≤ x ＜ 0 0.5 , 0 ≤ x ＜ 2 F(x)\\begin\{cases\} 0,&x<-1\\\\ 0.1,&-1≤x＜0\\\\ 0.5,&0≤x＜2 \\end\{cases\} F(x)⎩⎨⎧0,0.1,0.5,x<−1−1≤x＜00≤x＜2则 P \{ x = 0 \} = P\\begin\{Bmatrix\}x=0 \\end\{Bmatrix\}= P\{ x=0\}=\_\_\_\_\_.

> 这题套用知识点直接解就行

**知识点：** 
 P \{ x = 0 \} = P \{ X ≤ 0 \} − P \{ x < 0 \} P\\\{x=0\\\}=P\\\{X≤0\\\}-P\\\{x<0\\\} P\{ x=0\}=P\{ X≤0\}−P\{ x<0\} 
**解题：套用上面知识点** 
 P \{ x = 0 \} = P \{ X ≤ 0 \} − P \{ x < 0 \} = 0.5 − 0.1 = 0.4 P\\\{x=0\\\}=P\\\{X≤0\\\}-P\\\{x<0\\\}=0.5-0.1=0.4 P\{ x=0\}=P\{ X≤0\}−P\{ x<0\}=0.5−0.1=0.4 
6、设随机变量X的分布函数为 F ( x ) = A + 1 π a r c t a n x F(x)=A+\\frac 1 \\pi arctanx F(x)=A\+π1arctanx,则 A = A= A=***. 
知识点： 
 F ( + ∞ ) = 1 F(+\\infty)=1 F(\+∞)=1 
 F ( − ∞ ) = 0 F(-\\infty)=0 F(−∞)=0 
解题：套用上面知识点 
KaTeX parse error: \{align\} can be used only in display mode. 
解得： A = 1 2 A=\\frac1 2 A=21 
7、设随机变量 X ∽ N ( 1 , 4 ) X\\backsim N(1,4) X∽N(1,4)，且 Φ ( 2 ) = 0.9772 \\Phi(2)=0.9772 Φ(2)=0.9772，则 P \{ 1 ≤ x ≤ 5 \} = P\\\{1≤x≤5\\\}= P\{ 1≤x≤5\}=***. 
**知识点：** 
**正态分布** X ∽ N ( μ , δ 2 ) X\\backsim N( \\mu , \\delta^2) X∽N(μ,δ2) 
**密度** P ( X ) = 1 ( 2 π δ e − ( x − μ ) 2 2 δ 2 P(X)=\{\\frac 1 \{ \\sqrt\{\\mathstrut 2\\pi\} \\delta\}\}e^\{\\frac \{-(\{x-\\mu\})^2\} \{2\\delta^2\}\} P(X)=(2πδ1e2δ2−(x−μ)2 
**期望** E ( x ) = μ E(x)=\\mu E(x)=μ 
**方差** D ( x ) = δ 2 D(x)=\\delta^2 D(x)=δ2 
 P \{ a < x < b \} = P \{ a − μ δ < x − μ δ < b − μ δ \} = Φ ( b − μ δ ) − Φ ( a − μ δ ) P\\\{a<x<b\\\}=P\\\{\\frac \{a-\\mu\} \\delta<\\frac \{x-\\mu\} \\delta<\\frac \{b-\\mu\} \\delta\\\}=\\Phi(\\frac \{b-\\mu\} \\delta)-\\Phi(\\frac \{a-\\mu\} \\delta) P\{ a<x<b\}=P\{ δa−μ<δx−μ<δb−μ\}=Φ(δb−μ)−Φ(δa−μ) 
 Φ ( 0 ) = 0.5 \\Phi(0)=0.5 Φ(0)=0.5 
**解题：套用上面知识点** 
8.设随机变量 X ∽ P ( λ ) X\\backsim P(\\lambda) X∽P(λ)，且 E \[ X ( X − 2 ) \] = 6 E\[X(X-2)\]=6 E\[X(X−2)\]=6，则 λ \\lambda λ***. 
知识点： 
分布律： P = \{ x = k \} = λ 2 k ! e − λ ， ( k = 0 , 1 , 2... , n ) P=\\\{x=k\\\}=\\frac \{\\lambda^2\} \{k!\}e^\{-\\lambda\}，(k=0,1,2...,n) P=\{ x=k\}=k!λ2e−λ，(k=0,1,2...,n) 
 E ( x ) = D ( x ) = λ E(x)=D(x)=\\lambda E(x)=D(x)=λ 
 E ( x 2 ) = D ( x ) + E 2 ( x ) = λ + λ 2 E(x^2)=D(x)+E^2(x)=\\lambda+\\lambda^2 E(x2)=D(x)\+E2(x)=λ\+λ2 
解题：套用上面知识点 
 
KaTeX parse error: \{align\} can be used only in display mode. 
 
解得： λ = 3 \\lambda=3 λ=3 
9、设二维随机变量 ( X , Y ) ∽ N ( − 1 , 0 , 4 , 9 , 0.2 ) (X,Y)\\backsim N(-1,0,4,9,0.2) (X,Y)∽N(−1,0,4,9,0.2)，则 c o v ( X , Y ) = cov(X,Y)= cov(X,Y)=***. 
**知识点：** 
**二维正态分布** ( X , Y ) ∽ N ( μ 1 ， μ 2 ， δ 1 2 ， δ 2 2 ， p ) (X,Y)\\backsim N(\\mu\_1，\\mu\_2，\\delta^2\_1，\\delta^2\_2，p) (X,Y)∽N(μ1，μ2，δ12，δ22，p) 
**其中** 
 μ 1 = E ( X ) μ 2 = E ( Y ) δ 1 2 = D ( X ) δ 2 2 = D ( Y ) P = P X Y \\begin\{aligned\} &\\mu\_1=E(X) \\\\&\\mu\_2=E(Y) \\\\&\\delta^2\_1=D(X) \\\\&\\delta^2\_2=D(Y) \\\\&P=P\_\{XY\} \\end\{aligned\} μ1=E(X)μ2=E(Y)δ12=D(X)δ22=D(Y)P=PXY 
 c o v ( X , Y ) = ( ( D ( X ) × ( D ( Y ) ) × P cov(X,Y)=(\\sqrt\{\\mathstrut D(X)\}×\\sqrt\{\\mathstrut D(Y)\} )×P cov(X,Y)=((D(X)×(D(Y))×P 
 X ∽ N ( μ , δ 1 2 ) ， Y ∽ N ( μ , δ 2 2 ) X\\backsim N(\\mu,\\delta^2\_1)，Y\\backsim N(\\mu,\\delta^2\_2) X∽N(μ,δ12)，Y∽N(μ,δ22) 
**解题：套用上面知识点** 
 c o v ( X , Y ) = ( ( D ( X ) × ( D ( Y ) ) × P = 2 × 3 × 0.2 = 1.2 cov(X,Y)=(\\sqrt\{\\mathstrut D(X)\}×\\sqrt\{\\mathstrut D(Y)\} )×P=2×3×0.2=1.2 cov(X,Y)=((D(X)×(D(Y))×P=2×3×0.2=1.2 
10.设 X ∽ U ( 0 ， 2 ) ， Y ∽ E x p ( 1 ) X\\backsim U(0，2)，Y\\backsim E\_\{xp\}(1) X∽U(0，2)，Y∽Exp(1)，且 X X X与 Y Y Y相互独立，则 D ( 2 X − 3 Y + 4 ) = D(2X-3Y+4)= D(2X−3Y\+4)=\_\_\_\_\_. 
**知识点：** 
**均匀分布** X ∽ U ( a ， b ) X \\backsim U(a，b) X∽U(a，b) 
**密度** p ( x ) = \{ 1 b − a , a < x < b 0 , 其他 p(x)=\\begin\{cases\} \\frac 1 \{b-a\},&a<x<b \\\\0,&其他 \\end\{cases\} p(x)=\{ b−a1,0,a<x<b其他 
**方差** D ( x ) = ( b − a ) 2 12 D(x)=\\frac \{(b-a)^2\} \{12\} D(x)=12(b−a)2 
**期望** E ( x ) = a + b 2 E(x)=\\frac \{a+b\} 2 E(x)=2a\+b

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**指数分布** X ∽ E x p ( λ ) X\\backsim E\_\{xp\}(\\lambda) X∽Exp(λ) 
**密度** P ( x ) = \{ 1 b − a ， a < x < b 0 , 其他 P(x)=\\begin\{cases\} \\frac 1 \{b-a\}，&a<x<b\\\\ 0,&其他 \\end\{cases\} P(x)=\{ b−a1，0,a<x<b其他 
**方差** D ( x ) = 1 λ 2 D(x)=\\frac 1 \{\\lambda^2\} D(x)=λ21 
**期望** E ( x ) = 1 λ E(x)=\\frac 1 \\lambda E(x)=λ1 
**解题：套用上面知识点** 
 μ 1 = E ( X ) μ 2 = E ( Y ) δ 1 2 = D ( X ) δ 2 2 = D ( Y ) P = P X Y \\begin\{aligned\} &\\mu\_1=E(X) \\\\&\\mu\_2=E(Y) \\\\&\\delta^2\_1=D(X) \\\\&\\delta^2\_2=D(Y) \\\\&P=P\_\{XY\} \\end\{aligned\} μ1=E(X)μ2=E(Y)δ12=D(X)δ22=D(Y)P=PXY 
11.设 X 1 , X 2 , X 3 X\_1,X\_2,X\_3 X1,X2,X3是来自总体 X X X的样本，且 E ( X ) = μ , μ ˆ = 1 4 X 1 + k X 2 + 1 8 X 3 E(X)=\\mu,\\^\{\\mu \}=\\frac 1 4X\_1+kX\_2+\\frac 1 8 X\_3 E(X)=μ,μˆ=41X1\+kX2\+81X3是 μ \\mu μ的无偏估计，则 k = k= k=***. 
解题：这题不懂得直接记着就行，题一变就变了比较麻烦 
 k = 1 − 1 4 − 1 8 = 5 8 k=1-\\frac1 4-\\frac1 8=\\frac5 8 k=1−41−81=85 
12.设 X 1 , X 2 , X 3 , X 4 X\_1,X\_2,X\_3,X\_4 X1,X2,X3,X4是总体 X ∽ N ( 0 ， 2 ) X \\backsim N(0，2) X∽N(0，2)的随机样本， Y = X 1 2 + X 2 2 + X 3 2 C X 4 2 ∽ F ( 3 , 1 ) Y=\\frac\{ \{X\_1\}^2+\{X\_2\}^2+\{X\_3\}^2\} \{ \{CX\_4\}^2\}\\backsim F(3,1) Y=CX42X12\+X22\+X32∽F(3,1)，则 C = C= C=***. 
**解题：这题不懂得直接记着就行，题一变就变了比较麻烦，反正我问的人都已经选择放弃这一题了/(ㄒoㄒ)/~~所以没有人给我讲这道题。。。。。。** 
**答案：3**

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### ✨二、计算题(本大题6小题，每小题9分，共54分)。 ###

1. 试求（1） a a a；（2）概率 P \{ − 1 < X < 2 \} P\\\{-1<X<2\\\} P\{ −1<X<2\}；（3） Y = 2 X 2 + 1 Y=2X^2+1 Y=2X2\+1的分布律.

**解题：** 
（1） 
因为 2 a + a + 1 8 + a 2 + 5 = 1 2a+a+\\frac 1 8+\\frac a 2+5=1 2a\+a\+81\+2a\+5=1，故 a = 7 68 a=\\frac7 \{68\} a=687 
（2） 
 
 P \{ − 1 < X < 2 \} = P \{ X = 0 \} + P \{ X = 1 \} = 1 8 + 7 136 = 3 17 \\begin\{aligned\} P\\\{-1<X<2\\\}&=P\\\{X=0\\\}+P\\\{X=1\\\} \\\\&=\\frac 1 8+\\frac7 \{136\} \\\\&=\\frac 3 \{17\} \\end\{aligned\} P\{ −1<X<2\}=P\{ X=0\}\+P\{ X=1\}=81\+1367=173 
（3） 
 Y = 2 X 2 + 1 Y=2X^2+1 Y=2X2\+1取值为1，3，9

14、已知随机变量的 X X X密度函数为： p ( x ) = \{ 2 x 2 + a , 0 < x < 1 0 , 其他 p(x)=\\begin\{cases\} 2x^2+a,&0<x<1\\\\ 0,&其他 \\end\{cases\} p(x)=\{ 2x2\+a,0,0<x<1其他试求（1）常数 a a a；（2） E ( 2 X + 1 ) E(2X+1) E(2X\+1)；（3） X X X的分布函数 F ( x ) F(x) F(x). 
**解题：** 
（1） 
因为 ∫ 0 1 ( 2 x 2 + a ) d x = 2 3 + a = 1 \\int\_0^1(2x^2+a)dx=\\frac 2 3+a=1 ∫01(2x2\+a)dx=32\+a=1 
故 a = 1 3 a=\\frac 1 3 a=31 
（2） 
 E ( 2 x + 1 ) = ∫ 0 1 ( 2 x + 1 ) ( 2 x 2 + 1 3 ) d x = 7 3 \\begin\{aligned\} E(2x+1)&=\\int\_0^1(2x+1)(2x^2+\\frac1 3)dx \\\\&=\\frac 7 3 \\end\{aligned\} E(2x\+1)=∫01(2x\+1)(2x2\+31)dx=37 
（3） X X X的分布函数 
 F ( x ) = ∫ − ∞ x p ( x ) d x = \{ 0 , x ≤ 0 ; 2 3 x 2 + 1 3 x , 0 ≤ x ＜ 1 ; 1 , x ≥ 1 F(x)=\\int\_\{-\\infty\}^xp(x)dx=\\begin\{cases\} 0,&x≤0;\\\\ \\frac 2 3x^2+\\frac 1 3x,&0≤x＜1;\\\\ 1,&x≥1 \\end\{cases\} F(x)=∫−∞xp(x)dx=⎩⎨⎧0,32x2\+31x,1,x≤0;0≤x＜1;x≥1 
15.设连续型随机变量 X X X的密度函数为： P x ( x ) = \{ 2 π ( 1 + x 2 ) , x > 0 0 , x < 0 P\_x(x)=\\begin\{cases\} \\frac 2 \{\\pi(1+x^2)\},&x>0\\\\ 0,&x<0 \\end\{cases\} Px(x)=\{ π(1\+x2)2,0,x>0x<0求：（1）求概率 P \{ X 2 ≤ 3 \} P\\\{X^2≤3\\\} P\{ X2≤3\}；（2） Y = ln ⁡ X Y=\\ln X Y=lnX的密度函数 p Y ( y ) p\_Y(y) pY(y). 
**解题：** 
（1） 
 P \{ X 2 ≤ 3 \} = P \{ − ( 3 ≤ X ≤ ( 3 \} = ∫ − ( 3 0 0 d x + ∫ 0 ( 3 2 π ( 1 + x 2 ) d x = 2 π arctan ⁡ ∣ 0 ( 3 = 2 3 \\begin\{aligned\} P\\\{X^2≤3\\\}&=P\\\{-\\sqrt\{\\mathstrut 3\}≤X≤\\sqrt\{\\mathstrut 3\}\\\} \\\\&=\\int\_\{-\\sqrt\{\\mathstrut 3\}\}^00dx+\\int\_0^\{\\sqrt\{\\mathstrut 3\}\}\\frac 2 \{\\pi(1+x^2)\}dx \\\\&=\\frac 2 \\pi \\arctan|\_0^\{\\sqrt\{\\mathstrut 3\}\} \\\\&=\\frac 2 3 \\end\{aligned\} P\{ X2≤3\}=P\{ −(3≤X≤(3\}=∫−(300dx\+∫0(3π(1\+x2)2dx=π2arctan∣0(3=32 
（2） 
 y = ln ⁡ x y=\\ln x y=lnx在 0 < x < + ∞ 0<x<+\\infty 0<x<\+∞的反函数 x = e y x=e^y x=ey， − ∞ < y < + ∞ -\\infty<y<+\\infty −∞<y<\+∞ 
且 x 、 = e y x^、=e^y x、=ey 
 Y = ln ⁡ X Y=\\ln X Y=lnX的密度函数 P Y ( y ) = 2 e y π ( 1 + e 2 y ) , − ∞ < y < + ∞ P\_Y(y)=\\frac \{2e^y\} \{\\pi(1+e^\{2y\})\},-\\infty<y<+\\infty PY(y)=π(1\+e2y)2ey,−∞<y<\+∞ 
16.设二维随变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的密度函数为 p ( x , y ) = \{ 1 8 ( 6 − x − y ) 0 < x < 2 , 2 < y < 4 0 其他 p(x,y)=\\begin\{cases\} \\frac 1 8(6-x-y)&0<x<2,2<y<4 \\\\0&其他 \\end\{cases\} p(x,y)=\{ 81(6−x−y)00<x<2,2<y<4其他求（1）边缘密度函数 p X ( x ) p\_X(x) pX(x)；（2） p ( X + Y ≤ 4 ) p(X+Y≤4) p(X\+Y≤4). 
**解题：** 
（1）边缘密度函数 
 p X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ p ( x , y ) d y = \{ ∫ 2 4 1 8 ( 6 − x − y ) d y , 0 < x < 2 ′ 0 , 其他， = \{ 1 4 ( 3 − x ) , 0 < x < 2 ; 0 , 其他， \\begin\{aligned\} p\_X(x)&=\\int\_\{-\\infty\}^\{+\\infty\}p(x,y)dy \\\\&=\\begin\{cases\}\\int\_2^4\\frac1 8(6-x-y)dy,&0<x<2'\\\\0,&其他， \\end\{cases\} \\\\&=\\begin\{cases\} \\frac 14 (3-x),&0<x<2;\\\\ 0,&其他， \\end\{cases\} \\end\{aligned\} pX(x)=∫−∞\+∞p(x,y)dy=\{ ∫2481(6−x−y)dy,0,0<x<2′其他，=\{ 41(3−x),0,0<x<2;其他， 
（2） 
 p \{ X + Y ≤ 4 \} = ∬ x + y ≤ 4 p ( x , y ) d x d y = ∫ 2 4 d y ∫ 0 4 − y 1 8 ( 6 − x − y ) d x = 2 3 \\begin\{aligned\} p\\\{X+Y≤4\\\}&=\\small\\iint\_\{\\mathclap\{x+y≤4\}\}p(x,y)dxdy\\\\&=\\int\_2^4dy\\int\_0^\{4-y\}\\frac1 8(6-x-y)dx \\\\&=\\frac2 3 \\end\{aligned\} p\{ X\+Y≤4\}=∬x\+y≤4p(x,y)dxdy=∫24dy∫04−y81(6−x−y)dx=32 
17.设随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布律为 
 Y / X 1 2 3 0 0.2 0.1 0.1 − 1 0.15 0.2 0.25 \\begin\{array\}\{c|lcr\} Y/X & \\text\{1\} & \\text\{2\} & \\text\{3\} \\\\ \\hline 0 & 0.2 & 0.1 & 0.1 \\\\ -1 & 0.15 & 0.2 & 0.25 \\\\ \\end\{array\} Y/X0−110.20.1520.10.230.10.25（1）求 X X X及 Y Y Y的边缘分布律，并判断 X X X与 Y Y Y的独立性；（2）求 Z = X + Y Z=X+Y Z=X\+Y的分布律. 
**解题：** 
(1) 
 X X X的边缘分布律 
 X 1 2 3 P 0.35 0.3 0.35 \\begin\{array\}\{c|lcr\} X & \\text\{1\} & \\text\{2\} & \\text\{3\} \\\\ \\hline P & 0.35 & 0.3 & 0.35 \\\\ \\end\{array\} XP10.3520.330.35 
 Y Y Y的边缘分布律 
 Y 0 -1 P 0.4 0.6 \\begin\{array\}\{c|lcr\} Y & \\text\{0\} & \\text\{-1\} \\\\ \\hline P & 0.4 & 0.6\\\\ \\end\{array\} YP00.4\-10.6 
因为 P \{ X = 1 , Y = 0 \} = 0.2 ≠ P \{ X = 1 \} P \{ Y = 0 \} = 0.35 × 0.4 = 0.14 P\\\{X=1,Y=0\\\}=0.2≠P\\\{X=1\\\}P\\\{Y=0\\\}=0.35×0.4=0.14 P\{ X=1,Y=0\}=0.2=P\{ X=1\}P\{ Y=0\}=0.35×0.4=0.14 
故 X X X与 Y Y Y不独立 
（2） Z = X + Y Z=X+Y Z=X\+Y的取值为0、1、2、3，其分布律 
 X 0 1 2 3 P 0.15 0.4 0.35 0.1 \\begin\{array\}\{c|lcr\} X & \\text\{0\} & \\text\{1\} &\\text\{2\}& \\text\{3\} \\\\ \\hline P & 0.15 & 0.4 & 0.35 & 0.1\\\\ \\end\{array\} XP00.1510.420.3530.1 
18.设 X 1 , X 2 , . . . , X n X\_1,X\_2,...,X\_n X1,X2,...,Xn是取自总体 X X X的简单随机样本，且总体 X X X的密度函数为： p ( x ) = \{ θ x θ − 1 , 0 < x < 1 , 0 , 其他 p(x)=\\begin\{cases\} \\theta x^\{\\theta -1\},&0<x<1,\\\\ 0,&其他 \\end\{cases\} p(x)=\{ θxθ−1,0,0<x<1,其他其中 θ > 0 \\theta>0 θ>0未知，求（1） θ \\theta θ的矩估计量；（2） θ \\theta θ的极大似然估计量. 
**解题：** 
（1） 
 a 1 = E X = ∫ 0 1 x p ( x ) d x = ∫ 0 1 θ x θ d x = θ 1 + θ \\begin\{aligned\} a\_1=EX&=\\int\_0^1xp(x)dx\\\\&=\\int\_0^1\\theta x^\\theta dx \\\\&=\\frac \\theta \{1+\\theta\} \\end\{aligned\} a1=EX=∫01xp(x)dx=∫01θxθdx=1\+θθ 
故 θ = a 1 1 − a 1 \\theta = \\frac \{a\_1\} \{1-a\_1\} θ=1−a1a1 
则 θ \\theta θ的矩估计量 θ ^ = X ˉ 1 − X ˉ \\hat\{\\theta\}=\\frac \{\\=X\} \{1-\\=X\} θ^=1−XˉXˉ. 
（2）

> 后面都用照片来写/(ㄒoㄒ)/~~，打公式太慢了~

![8a78501333581313f38bac3c4c4fe89.jpg][]

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### ✨三、应用题（10分） ###

19、设甲乙两袋，甲袋中有 n n n只白球， m m m只红球，乙袋中有 N N N只白球， M M M只红球，今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，(1)从乙袋取到白球的概率：(2)现发现从乙袋取到的球为红球，问从甲袋取的球放入乙袋也是红球的概率是多少？  
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### ✨附上原笔记图片（祝大家考试顺利） ###

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