二叉排序树（Java版）

小灰灰 2023-10-09 14:36 19阅读 0赞

#### 二叉排序树 ####

*  1、 二叉排序树的定义
 *  2、非递归查询
 *  3、递归查询
 *  4、找二叉排序树的第一个结点
 *  5、找二叉排序树的最后一个结点
 *  6、非递归的中序遍历（不用栈）
 *  7、构建排序二叉树
 *  8、逆向遍历二叉排序树
 *  9、删除二叉排序树的结点
 *  完整代码

## 1、 二叉排序树的定义 ##

`二叉排序树`，又称**二叉搜索树**是一颗空树，或者具有下列性质的二叉树：

*  每个结点都有一个作为搜索依据的**关键码**(key)，所有结点的关键码互不相同。
 *  左子树(如果存在)上所有结点的关键码都**小于**根节点的关键码。
 *  右子树(如果存在)上所有结点的关键码都**大于**根结点的关键码。
 *  左子树和右子树也是二叉排序树。  
    ![在这里插入图片描述][d0be2e6748664e099df1a5884395d1a4.png]

## 2、非递归查询 ##

![在这里插入图片描述][bb77e860ce1f4ba4a30d33177f53c2a9.png]  
二叉排序树如上图所示，每一个结点有四个域，**数据域**，**指向父节点的指针**  
，**指向左孩子的指针**，**指向右孩子的指针**。

结点定义如下：  
**BstNode**

public class BstNode {
        
        public int data;
        public BstNode parent;
        public BstNode leftChild;
        public BstNode rightChild;
    
        public BstNode(int date) {
        
            this.data = date;
        }
    }

**算法思想：** 非递归遍历，首先需要一个指针ptr指向根结点，如果根结点的关键码等于要查询的val，则找到了，如果val大于根结点的关键码，则ptr指向其右孩子，如果val小于根结点的关键码，则ptr指向其左孩子，然后重复如上操作，依次循环比较，直到ptr为空或找到为止。

**代码如下：**

private BstNode findVal(BstNode ptr, int val) {
        
        while (ptr != null && ptr.data != val) {
        
            if (ptr.data > val) {
        
                ptr = ptr.rightChild;
            } else {
        
                ptr = ptr.leftChild;
            }
        }
        return ptr;
    }
    
    public BstNode findVal(int val) {
        
        return findVal(root,val);
    }

## 3、递归查询 ##

**算法思想：** 在二叉排序树上进行搜索，从根结点开始，沿着某一个分支逐层向下进行比较判等的过程。  
假设想要在二叉排序树中搜索关键码为val的元素，搜索过程从根结点开始，如果根结点为空，则搜索不成功，直接返回；否则用给定值val与根结点的关键码进行比较：  
如果给定值等于根结点的关键码，则搜索成功；  
如果给定值小于根结点的关键码，则继续递归搜索根结点的左子树；  
否则，递归搜索根结点的右子树。

**代码如下：**

private BstNode findValue(BstNode ptr, int val) {
        
        if (ptr == null || ptr.data == val) {
        
            return ptr;
        } else if (ptr.data > val) {
        
            return findValue(ptr.leftChild, val);
        } else {
        
            return findValue(ptr.rightChild, val);
        }
    }
    
    public BstNode findValue(int val) {
        
        return findValue(root,val);
    }

## 4、找二叉排序树的第一个结点 ##

找二叉排序树的第一个结点，就是相当于找这颗树的最小的结点，也就是最左侧的那个结点。  
![在这里插入图片描述][9ce86f36e1914e26836fe117775063df.png]  
**代码如下：**

private BstNode first(BstNode ptr) {
        
        while (ptr != null && ptr.leftChild != null) {
        
            ptr = ptr.leftChild;
        }
        return ptr;
    }

## 5、找二叉排序树的最后一个结点 ##

找二叉排序树的最后一个结点，就是相当于找这颗排序二叉树的最大的一个结点，也就是最右侧的那个结点。

private BstNode last(BstNode ptr) {
        
        while (ptr != null && ptr.rightChild != null) {
        
            ptr = ptr.rightChild;
        }
        return ptr;
    }

## 6、非递归的中序遍历（不用栈） ##

非递归的中序遍历，我们可以先找到他的第一个结点进行打印，然后寻找它的下一个结点进行打印，直到全部打印结束。

**代码如下：**

/**
    * 非递归中序遍历
    */
    public void niceInOrder() {
        
       for (BstNode p =  first(root); p != null; p = next(p)) {
        
           System.out.print(p.data + " ");
       }
    }

那么现在要解决的就是如何写next()方法了，也就是如何去寻找结点的后继，下一个要打印的结点。  
![在这里插入图片描述][efcd68313ce24639981c051c6bf7f768.png]  
首先找到第一个结点09，打印完09后，判断该结点的右子树是否为null，为null，那么它的后继就是它的父节点，即打印17，打印完17以后，判断其右子树是否为null，不为null，以它的右孩子为根节点，找到该子树的第一个结点23，打印完23后判断其右子树是否为null，为null，打印他的父节点45，打印完45后，判断其右子树也为null，那么此时他的后继为谁呢？显然不是它的父节点，而是53这个结点。所以编码如下：

**next函数：**

/**
    * 寻找下一个结点，它的后继
    */
    private BstNode next(BstNode ptr) {
        
       if (ptr == null) {
        
           return null;
       }
       if (ptr.rightChild != null) {
        
           return first(ptr.rightChild);
       } else {
        
           BstNode pa = ptr.parent;
           while (pa != null && pa.rightChild == ptr) {
        
               ptr = pa;
               pa = ptr.parent;
           }
           return pa;
       }
    }

## 7、构建排序二叉树 ##

**算法思想：** 如果root为null，表明这是一颗空树，直接将结点插入，如果根结点不为null，那么我们需要把val值与根结点的data进行比较，如果大于就往右子树寻找位置，小于就往左子树寻找位置，但是最后我们要插入的p结点要指向它的父节点，所以我们需要用一个pa指针保存其父节点的位置。

**代码如下：**

/**
     * 插入结点
     */
    public boolean insert(int val) {
        
        //如果根节点为null，直接插入
        if (root == null) {
        
            root = new BstNode(val);
            return true;
        }
        BstNode p = root;
        BstNode pa = null;
        while (p != null && p.data != val) {
        
            pa = p;
            p = val > p.data ? p.rightChild : p.leftChild;
        }
        //如果该树中有相同结点，插入失败
        if (p != null && p.data == val) {
        
            return false;
        }
        //找到位置
        p = new BstNode(val);
        p.parent = pa;
        if (pa.data > val) {
        
            pa.leftChild = p;
        }else {
        
            pa.rightChild = p;
        }
        return true;
    }

**测试类**

**运行结果：**  
![在这里插入图片描述][bb375aedd1134aa79cdb21ad61188ad0.png]

## 8、逆向遍历二叉排序树 ##

逆向遍历二叉排序树，与非递归中序遍历二叉排序树相反，我们需要先找到他的最后一个结点进行打印，然后寻找它的前驱结点进行打印，直到全部打印结束。

public void reNiceInOrder() {
        
        for (BstNode p = last(root); p != null; p = prev(p)) {
        
            System.out.print(p.data + " ");
        }
        System.out.println();
    }

**prev函数**

private BstNode prev(BstNode ptr) {
        
        if (ptr == null) {
        
            return null;
        }
        if (ptr.leftChild != null) {
        
            return last(ptr.leftChild);
        } else {
        
            BstNode pa = ptr.parent;
            while (pa != null && pa.leftChild == ptr) {
        
                ptr = pa;
                pa = ptr.parent;
            }
            return pa;
        }
    }

**测试类**

**运行结果：**  
![在这里插入图片描述][6c686e390b174178b62371f640fc804a.png]

## 9、删除二叉排序树的结点 ##

删除二叉排序树的一个结点，  
如果该树是一颗空树，那么就不需要删除了，  
如果树不为空，那么我们需要在该树中寻找该结点，  
没有找到，不需要删除了  
找到了又分为三种情况，  
1、结点为叶子结点，  
2、结点为单分支结点  
3、结点为双分支结点

**先考虑结点为叶子结点**  
![在这里插入图片描述][e0cdc2913b8e4ab6a217b7edcb8c8de9.png]  
结点为叶子结点的话，如果该结点是父节点的左孩子，那么将父节点的左指针置为空，反之，如果该结点是父节点的右孩子，那么将父节点的右指针置为空

BstNode p = findValue(root, val);
    if (p == null) return false;//没有找到
    //找到，且为叶子结点
    BstNode pa = p.parent;
    if (pa.leftChild == p) {
        
        pa.leftChild = null;
    } else {
        
        pa.rightChild = child;
    }

**然后考虑结点为单分支结点**  
![在这里插入图片描述][601cf03e3b8148709a4152f3f359c852.png]

我们可以改进上述的删除叶子结点的代码，使代码既能删除叶子结点，又可以删除单分支节点

BstNode p = findValue(root, val);
    if (p == null) return false;//没有找到
    
    //找到了，且为叶子结点或单分支结点
    BstNode pa = p.parent;
    BstNode child = p.leftChild != null ? p.leftChild : p.rightChild;
    if (pa.leftChild == p) {
        
        pa.leftChild = child;
    } else {
        
        pa.rightChild = child;
    }

**接下来，如果该结点，既是单分支结点，又是根节点呢**  
![在这里插入图片描述][8f596a65e92543f2bf68d5c6c3573f82.png]  
如上图所示，如果删除的结点是53,53这个结点的父节点是个null，那么我们就只能把root直接指向其孩子了。再次改进代码

BstNode p = findValue(root, val);
    if (p == null) return false;//没有找到
    
    //为叶节点或单分支结点或单根分支结点
    BstNode pa = p.parent;
    BstNode child = p.leftChild != null ? p.leftChild : p.rightChild;
    if (pa == null) {
        //判断是否是单根分支结点
        root = child;//是单分支结点直root直接指向其孩子结点
    } else {
        
        if (pa.leftChild == p) {
        
            pa.leftChild = child;
        } else {
        
            pa.rightChild = child;
        }
    }

**最后我们要考虑删除双分支结点了**  
![在这里插入图片描述][aef46738b2994457932d8fb59a6aebd2.png]  
比如我们要删除的是78结点，删除了78结点后，我们需要维护这颗二叉排序树的，即在它的右孩子中找到最小的结点来接替他，换句话说就是找到它的后继来替换他的位置，所以我们可以用**狸猫换太子**来删除一个双分支结点，即把其后继赋值给他，然后删除后继就可以了，后继必然是一个叶子结点，那么就可以复用上面的代码啦！

public boolean remove(int val) {
        
        if (root == null) return false; //如果是空树，不删
        BstNode p = findValue(root, val); 
        if (p == null) return false;//没有找到，不删
    
        //删除的结点是双分支结点
        if (p.leftChild != null && p.rightChild != null) {
        
            BstNode next = next(p);//找到其后继
            p.data = next.data;//后继的值赋给他
            p = next;//后继赋值给他，即后面把后继删除即可，此时后继必定是一个叶子结点
        }
    
        //结点为叶子结点或单分支结点或单根分支结点
        //pa其父节点
        BstNode pa = p.parent;
        BstNode child = p.leftChild != null ? p.leftChild : p.rightChild;
        if (pa == null) {
        
            root = child;
        } else {
        
            if (pa.leftChild == p) {
        
                pa.leftChild = child;
            } else {
        
                pa.rightChild = child;
            }
        }
        return true;
    }

## 完整代码 ##

**BstNode**

public class BstNode {
        
        public int data;
    
        public BstNode parent;
        public BstNode leftChild;
        public BstNode rightChild;
    
        public BstNode(int date) {
        
            this.data = date;
        }
    }

**BinarySortTree**

public class BinarySortTree {
        
        private BstNode root;
    
        /**
         * 非递归查询
         */
        private BstNode findVal(BstNode ptr, int val) {
        
            while (ptr != null && ptr.data != val) {
        
                if (ptr.data > val) {
        
                    ptr = ptr.rightChild;
                } else {
        
                    ptr = ptr.leftChild;
                }
            }
            return ptr;
        }
    
        public BstNode findVal(int val) {
        
            return findVal(root, val);
        }
    
        /**
         * 二叉排序树的递归查询
         */
        private BstNode findValue(BstNode ptr, int val) {
        
            if (ptr == null || ptr.data == val) {
        
                return ptr;
            } else if (ptr.data > val) {
        
                return findValue(ptr.leftChild, val);
            } else {
        
                return findValue(ptr.rightChild, val);
            }
        }
    
        public BstNode findValue(int val) {
        
            return findValue(root, val);
        }
    
        /**
         * 寻找第一个结点
         */
        private BstNode first(BstNode ptr) {
        
            while (ptr != null && ptr.leftChild != null) {
        
                ptr = ptr.leftChild;
            }
            return ptr;
        }
    
        /**
         * 寻找最后一个结点
         */
        private BstNode last(BstNode ptr) {
        
            while (ptr != null && ptr.rightChild != null) {
        
                ptr = ptr.rightChild;
            }
            return ptr;
        }
    
        /**
         * 寻找下一个结点，它的后继
         */
        private BstNode next(BstNode ptr) {
        
            if (ptr == null) {
        
                return null;
            }
            if (ptr.rightChild != null) {
        
                return first(ptr.rightChild);
            } else {
        
                BstNode pa = ptr.parent;
                while (pa != null && pa.rightChild == ptr) {
        
                    ptr = pa;
                    pa = ptr.parent;
                }
                return pa;
            }
        }
    
        /**
         * 非递归中序遍历
         */
        public void niceInOrder() {
        
            for (BstNode p = first(root); p != null; p = next(p)) {
        
                System.out.print(p.data + " ");
            }
        }
    
    
        /**
         * 插入结点
         */
        public boolean insert(int val) {
        
            //如果根节点为null，直接插入
            if (root == null) {
        
                root = new BstNode(val);
                return true;
            }
            BstNode p = root;
            BstNode pa = null;
            while (p != null && p.data != val) {
        
                pa = p;
                p = val > p.data ? p.rightChild : p.leftChild;
            }
            //如果该树中有相同结点，插入失败
            if (p != null && p.data == val) {
        
                return false;
            }
            //找到位置
            p = new BstNode(val);
            p.parent = pa;
            if (pa.data > val) {
        
                pa.leftChild = p;
            } else {
        
                pa.rightChild = p;
            }
            return true;
        }
    
        private BstNode prev(BstNode ptr) {
        
            if (ptr == null) {
        
                return null;
            }
            if (ptr.leftChild != null) {
        
                return last(ptr.leftChild);
            } else {
        
                BstNode pa = ptr.parent;
                while (pa != null && pa.leftChild == ptr) {
        
                    ptr = pa;
                    pa = ptr.parent;
                }
                return pa;
            }
        }
    
        public void reNiceInOrder() {
        
            for (BstNode p = last(root); p != null; p = prev(p)) {
        
                System.out.print(p.data + " ");
            }
            System.out.println();
        }
    
        //删除结点
        public boolean remove(int val) {
        
            if (root == null) return false; //如果是空树，不删
            BstNode p = findValue(root, val);
            if (p == null) return false;//没有找到，不删
    
            //删除的结点是双分支结点
            if (p.leftChild != null && p.rightChild != null) {
        
                BstNode next = next(p);//找到其后继
                p.data = next.data;//后继的值赋给他
                p = next;//后继赋值给他，即后面把后继删除即可，此时后继必定是一个叶子结点
            }
    
            //结点为叶子结点或单分支结点或单根分支结点
            //pa其父节点
            BstNode pa = p.parent;
            BstNode child = p.leftChild != null ? p.leftChild : p.rightChild;
            if (pa == null) {
        
                root = child;
            } else {
        
                if (pa.leftChild == p) {
        
                    pa.leftChild = child;
                } else {
        
                    pa.rightChild = child;
                }
            }
            return true;
        }
    
    }

**TestBstTree**

public class TestBstTree {
        
        public static void main(String[] args) {
        
            BinarySortTree bst = new BinarySortTree();
            //构建二叉排序树
            int[] arr = {
        53, 17, 78, 9, 45, 65, 23, 81, 94, 88, 100, 87};
            for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
        
                bst.insert(arr[i]);
            }
            bst.niceInOrder();
            //测试删除结点
            int val;
            Scanner scanner = new Scanner(System.in);
            val = scanner.nextInt();
            while (val != -1) {
        
                System.out.println(bst.remove(val));
                bst.niceInOrder();
                val = scanner.nextInt();
            }
        }
    }

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