动态规划——416. 分割等和子集

绝地灬酷狼 2023-10-08 16:18 23阅读 0赞

## 1 题目描述 ##

给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

## 2 题目示例 ##

示例 1：  
输入：nums = \[1,5,11,5\]  
输出：true  
解释：数组可以分割成 \[1, 5, 5\] 和 \[11\] 。

示例 2：  
输入：nums = \[1,2,3,5\]  
输出：false  
解释：数组不能分割成两个元素和相等的子集。

来源：力扣（LeetCode）  
链接：https://leetcode.cn/problems/partition-equal-subset-sum

## 3 题目提示 ##

1 <= nums.length <= 200  
1 <= nums\[i\] <= 100

## 4 思路 ##

本体思路来源代码随想录  
链接：[https://programmercarl.com/0416.%E5%88%86%E5%89%B2%E7%AD%89%E5%92%8C%E5%AD%90%E9%9B%86.html\#\_01%E8%83%8C%E5%8C%85%E9%97%AE%E9%A2%98][https_programmercarl.com_0416._E5_88_86_E5_89_B2_E7_AD_89_E5_92_8C_E5_AD_90_E9_9B_86.html_01_E8_83_8C_E5_8C_85_E9_97_AE_E9_A2_98]  
背包问题，大家都知道，有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight\[i\]，得到的价值是value\[i\] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

背包问题有多种背包方式，常见的有：01背包、完全背包、多重背包、分组背包和混合背包等等。

要注意题目描述中商品是不是可以重复放入。

即一个商品如果可以重复多次放入是完全背包，而只能放入一次是01背包，写法还是不一样的。

要明确本题中我们要使用的是01背包，因为元素我们只能用一次。

回归主题：首先，本题要求集合里能否出现总和为 sum / 2 的子集。

那么来一一对应一下本题，看看背包问题如果来解决。

只有确定了如下四点，才能把01背包问题套到本题上来。

背包的体积为sum / 2  
背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值  
背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。  
背包中每一个元素是不可重复放入。

以上分析完，我们就可以套用01背包，来解决这个问题了。  
动规五部曲分析如下：

1.  确定dp数组以及下标的含义  
    01背包中，dp\[j\] 表示： 容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp\[j\]。  
    套到本题，dp\[j\]表示 背包总容量是j，最大可以凑成j的子集总和为dp\[j\]。
2.  确定递推公式  
    01背包的递推公式为：dp\[j\] = max(dp\[j\], dp\[j - weight\[i\]\] + value\[i\]);  
    本题，相当于背包里放入数值，那么物品i的重量是nums\[i\]，其价值也是nums\[i\]。  
    所以递推公式：dp\[j\] = max(dp\[j\], dp\[j - nums\[i\]\] + nums\[i\]);
3.  dp数组如何初始化  
    在01背包，一维dp如何初始化，已经讲过，  
    从dp\[j\]的定义来看，首先dp\[0\]一定是0。  
    如果如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。  
    这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了。  
    本题题目中 只包含正整数的非空数组，所以非0下标的元素初始化为0就可以了。
4.  确定遍历顺序  
    在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组） (opens new window)中就已经说明：如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！
5.  举例推导dp数组  
    dp\[j\]的数值一定是小于等于j的。  
    如果dp\[j\] == j 说明，集合中的子集总和正好可以凑成总和j，理解这一点很重要。

## 5 我的答案 ##

class Solution {
        
        public boolean canPartition(int[] nums) {
        
            if(nums == null || nums.length == 0) return false;
            int n = nums.length;
            int sum = 0;
            for(int num : nums){
        
                sum += num;
            }
            //总和为奇数，不能平分
            if(sum % 2 != 0) return false;
            int target = sum / 2;
            int[] dp = new int[target + 1];
            for(int i = 0; i < n; i++){
        
                for(int j = target; j >= nums[i]; j--){
        
                    //物品 i 的重量是 nums[i]，其价值也是 nums[i]
                    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-nums[i]] + nums[i]);
                }
            }
            return dp[target] == target;
        }
    }

[https_programmercarl.com_0416._E5_88_86_E5_89_B2_E7_AD_89_E5_92_8C_E5_AD_90_E9_9B_86.html_01_E8_83_8C_E5_8C_85_E9_97_AE_E9_A2_98]: https://programmercarl.com/0416.%E5%88%86%E5%89%B2%E7%AD%89%E5%92%8C%E5%AD%90%E9%9B%86.html#_01%E8%83%8C%E5%8C%85%E9%97%AE%E9%A2%98