南阳OJ 61 传纸条（一）

布满荆棘的人生 2023-10-06 09:43 1阅读 0赞

### 传纸条（一） ###

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难度： 5

描述

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。  
  
在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-1000的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入

第一行输入N(0<N<100)表示待测数据组数。  
每组测试数据输入的第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n列（2<=m,n<=50）。  
接下来的m行是一个m\*n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度（不大于1000）。每行的n个整数之间用空格隔开。

输出

每组测试数据输出共一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

样例输入

1
    3 3
    0 3 9
    2 8 5
    5 7 0

样例输出

**题目解析：**

**　　本道题需用到的算法为[动态规划][Link 1]。**

**　　题目中提到在 m 行 n 列且带有权值的矩阵中从（1，1）到（m，n）找一条路径，然后再从（m，n）到（1,1）找一条路径，这两天路径不能重复，即每个点只能两个人只能走一次，且不可以回退，即第一条只能向下或向右，第二条只能向上或向左。化简后可知：其实就是从（1，1）到（m，n）找两条路径，这两条路径只能向下或向右且不相交，计算出这两条路径的权值和的最大值即可。**

**　　所以很容易构想出动态规划方程：**

**　　两个人走，利用四维的数组 dp\[x1\]\[y1\]\[x2\]\[y2\] 来保存路径中间过程的权值之和的最大值，其中 x1 y1 x2 y2 分别表示两个人的位置。**

**![format_png][]**

**　　每个人现在的位置都有两种可能：从他的上边或左边；两个人组合就有四种可能，因此：构造出动态规划方程（map\[x\]\[y\] 表示权值，即好心程度）：**

**dp\[x1\]\[y1\]\[x2\]\[y2\]=max(dp\[x1-1\]\[y1\]\[x2-1\]\[y2\],dp\[x1\]\[y1-1\]\[x2-1\]\[y2\],dp\[x1\]\[y1-1\]\[x2\]\[y2-1\],dp\[x1-1\]\[y1\]\[x2\]\[y2-1\])+map\[x1\]\[y1\]+map\[x2\]\[y2\];**

**　　其中 x1，x2 的取值范围为从起点到终点，即 1 ~ m，y1，y2 的取值范围为起点到终点，即 1 ~ n。**

**　　此方程的时间复杂度为 O(n4)。因此可以进一步优化：**

**　　假如现在是 5 x 5 的矩阵，每个人从起点走三步，会出现四种情况。**

**![format_png 1][]**

**　　这四种情况的坐标分别为：（0，3）（1，2） （2，1） （3，0）。通过这四个坐标，发现一个规律： 0 + 3 = 1 + 2 = 2 + 1 = 3 + 0 = 3 = k （k为走的步数）。所有，x1 + x2 = k ， x2 + y2 = k。所以，y = k - x。因此，三维的动态规划方程为：**

**dp\[k\]\[x1\]\[x2\] = max(dp\[k-1\]\[x1\]\[x2\], dp\[k-1\]\[x1-1\]\[x2-1\], dp\[k-1\]\[x1-1\]\[x2\], dp\[k-1\]\[x1\]\[x2-1\]) + map\[x1\]\[k-x1\] + map\[x2\]\[k-x2\];**

**　　其中，dp\[k\]\[x1\]\[x2\] 就是四维的 dp\[x1\]\[y1\]\[x2\]\[y2\]，dp\[k-1\]\[x1\]\[x2\] 就是四维的 dp\[x1\]\[y1-1\]\[x2\]\[y2-1\]，map\[x1\]\[k-x1\] 就是四维的 dp\[x1\]\[y1\]，以此类推。**

**![format_png 2][]**

**　　终点的坐标为 （m-1，n-1），但是 k 不能到达终点这个位置，因为违背了题目中两个人不能重复，k 的最大情况为（m-1）+（n-1）- 1，k 在最小情况也就是 2 x 2 的矩阵中取得最小值 1，所以 k 的取值范围为 1 ~**  **m+n-3。x1 和 x2**  **的取值范围都为从起点（0，0）到最大步数 k，即 0 ~ k。**

**　　此方程的时间复杂度为 O(n3)。因此还可以进一步优化：**

**　　从三维的动态规划方程可以发现，前一步总是 k - 1，所以，二维的动态规划方程可以优化为：**

**dp\[x1\]\[x2\] = max(dp\[x1\]\[x2\], dp\[x1 - 1\]\[x2 - 1\], dp\[x1 - 1\]\[x2\], dp\[x1\]\[x2 - 1\]) + map\[x1\]\[k - x1\] + map\[x2\]\[k - x2\];**

**![format_png 3][]**

**　　根据三维时的分析，两条路径都走不到终点，所以让第一个人走到终点的上方，第二个人走到终点的左方，k 的取值范围为 1 ~ （m-1）+（n-1）- 1，最终要输出的结果为 dp\[m-2\]\[m-1\]。**

**　　** **此方程的时间复杂度为**  **O(n2)。**

示例代码1 \[四维数组\]：

**注意：运用四维数组提交后报错【TimeLimitExceeded】**

1 #include <iostream>
     2 #include<stdio.h>
     3 #include<cmath>
     4 using namespace std;
     5 
     6 #define MAX_NUM 52
     7 
     8 int map[MAX_NUM][MAX_NUM];     //好心程度 | 权值
     9 int dp[MAX_NUM][MAX_NUM][MAX_NUM][MAX_NUM];
    10 
    11 int maxPath(int m, int n)
    12 {
    13     for (int x1 = 1; x1 <= m; x1++)
    14     {
    15         for (int y1 = 1; y1 <= n; y1++)
    16         {
    17             for (int x2 = 1; x2 <= m; x2++)
    18             {
    19                 for (int y2 = 1; y2 <= n; y2++)
    20                 {
    21                     /*
    22                         如果第一个人没有走到最后一行或最后一列，并且两个人没有重复 
    23                         因为走到最后一行或最后一列，容易造成第二个人无路可走的情况 
    24                     */
    25                     if ((x1 < m || y1 < n) && x1 == x2 && y1 == y2)     
    26                     {
    27                         continue;
    28                     }
    29                     dp[x1][y1][x2][y2] = max( max(dp[x1-1][y1][x2-1][y2], dp[x1-1][y1][x2][y2-1]), 
    30                                               max(dp[x1][y1-1][x2-1][y2], dp[x1][y1-1][x2][y2-1]))
    31                                              + map[x1][y1] + map[x2][y2];
    32                 }
    33             }
    34         }
    35     }
    36     return dp[m][n][m][n]; 
    37 }
    38 
    39 int main()
    40 {
    41     int x;
    42     scanf("%d", &x);
    43     while (x--) {
    44         int m, n;
    45         scanf("%d%d", &m, &n);
    46         
    47         for (int i = 1;i <= m; i++)
    48             for (int j = 1;j <= n; j++)
    49                 scanf("%d", &map[i][j]);
    50             
    51         int ans = maxPath(m, n);
    52         printf("%d\n", ans);
    53     } 
    54         
    55     return 0;
    56 }

示例代码2 \[三维数组\]：

1 #include<iostream>
     2 #include<cstdio> 
     3 #include<cmath>
     4 using namespace std;
     5 
     6 #define MAX_NUM 52
     7 
     8 int map[MAX_NUM][MAX_NUM];     //好心程度 | 权值
     9 int dp[MAX_NUM+MAX_NUM][MAX_NUM][MAX_NUM];
    10 
    11 int maxPath(int m, int n)
    12 {
    13     for (int k = 1;k <= m+n-3; k++)
    14     {
    15         for (int x1 = 0; x1 <= k; x1++)
    16         {
    17             for (int x2 = 0; x2 <= k; x2++)
    18             {
    19                 if (x1 == x2)    //x1 == x2 相当于(x1 == x2 && y1 = y2) 
    20                 {
    21                     continue;
    22                 }
    23                 dp[k][x1][x2] = max(max(dp[k-1][x1][x2], dp[k-1][x1-1][x2-1]),
    24                                     max(dp[k-1][x1-1][x2], dp[k-1][x1][x2-1]))
    25                                 + map[x1][k-x1] + map[x2][k-x2];
    26             }
    27         }
    28     }
    29     return dp[m+n-3][m-1][m-2];
    30 }
    31 
    32 int main()
    33 {
    34     int x;
    35     scanf("%d", &x);
    36     while (x--) {
    37         int m, n;
    38         scanf("%d%d", &m, &n);
    39         
    40         for (int i = 0; i < m; i++)
    41             for (int j = 0; j < n; j++)
    42                 scanf("%d", &map[i][j]);
    43                 
    44         int ans = maxPath(m, n);
    45         printf("%d\n", ans);
    46     }
    47         
    48     return 0;
    49 }

示例代码3 \[二维数组\]：

1 #include<iostream>
     2 #include<cstdio>
     3 #include<string.h>
     4 #include<cmath> 
     5 using namespace std;
     6  
     7 #define MAX_NUM 52
     8 
     9 int map[MAX_NUM][MAX_NUM];   //好心程度 | 权值 
    10 int dp[MAX_NUM][MAX_NUM];
    11  
    12 int maxPath(int m, int n)  
    13 {  
    14     memset(dp, 0, sizeof(dp));
    15     for (int k = 1; k <= m+n-3; k++)  
    16     {  
    17         for (int x1 = m-1; x1 >= 0; x1--)  
    18         {  
    19             for (int x2 = m-1; x2 > x1; x2--)  
    20             {  
    21                 if ( k >= x1 && k >= x2)    //x + y = k,当k >= x时，说明还在矩阵范围之内  
    22                 {
    23                     dp[x1][x2] = max(max(dp[x1][x2], dp[x1-1][x2-1]), 
    24                                      max(dp[x1-1][x2], dp[x1][x2-1])) 
    25                                  + map[x1][k-x1] + map[x2][k-x2];
    26                 }
    27             }  
    28         }  
    29     }  
    30     return dp[m-2][m-1]; 
    31 }
    32   
    33 int main()  
    34 {
    35     int x;
    36     scanf("%d", &x);
    37     while (x--) {
    38         int m, n;
    39         scanf("%d %d", &m, &n);
    40           
    41         for (int i = 0;i < m; i++)  
    42             for (int j = 0; j < n; j++)  
    43                 scanf("%d", &map[i][j]);  
    44         
    45         int ans = maxPath(m, n);
    46         printf("%d\n", ans); 
    47     }
    48     
    49     return 0;  
    50 }

[Link 1]: http://www.cnblogs.com/cao-lei/p/6891830.html
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[format_png 2]: http://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9pbWFnZXMyMDE3LmNuYmxvZ3MuY29tL2Jsb2cvMTExOTA5Ny8yMDE3MDcvMTExOTA5Ny0yMDE3MDcyNzEwMTUyNzE4Ny0xMTA1NDEyMzUucG5n?x-oss-process=image/format,png
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