二叉树（总结 & 基本操作）

刺骨的言语ヽ痛彻心扉 2023-10-02 13:15 13阅读 0赞

## 一，树 ##

#### 1.树的概念 ####

> **树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合，把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的**

#### 2.树的特点 ####

>  *  **有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点**
>  *  **除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i<= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继**
>  *  **树是递归定义的**
>  *  **树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构**

#### 3. 树的相关概念 ####

![watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBAb2hhbmHvvIE_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16][]

>  *  **结点的度**：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6
>  *  **树的度**：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为6
>  *  **叶子结点或终端结点**：度为0的结点称为叶结点； 如上图B、C、H、I...等节点为叶结点
>  *  **双亲结点或父结点**：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
>  *  **孩子结点或子结点**：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点
>  *  **根结点**：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
>  *  **结点的层次**：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
>  *  **树的高度或深度**：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4
>  *  **非终端结点或分支结点**：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支结点
>  *  **兄弟结点**：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点
>  *  **堂兄弟结点**：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
>  *  **结点的祖先**：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
>  *  **子孙**：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
>  *  **森林**：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

#### 4.树的表示形式 ####

双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等，**最常用的是孩子兄弟表示法**

class Node {
    int value; // 树中存储的数据
    Node firstChild; // 第一个孩子引用
    Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
    }

![watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBAb2hhbmHvvIE_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 1][]

## 二，二叉树 ##

#### 1.概念 ####

> **一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：**
> 
> 1.  **或者为空**
> 2.  **或者是由一个根节点加上两棵别称为****左子树****和****右子树****的二叉树组成**

![watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBAb2hhbmHvvIE_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 2][]

>  *  **二叉树不存在度大于2的结点**
>  *  **二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树**

以下是二叉树的集中情况：

#### ![watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBAb2hhbmHvvIE_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 3][]2.特殊的二叉树 ####

> #### **满二叉树：** ####
> 
> **一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是 2^(k - 1)，则它就是满二叉树**

> #### 完全二叉树： ####
> 
> **完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树**

完全二叉树和满二叉树的关系（就相当于正方形时特殊的长方形一样），每个层次都达到了最大子节点的个数

![watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBAb2hhbmHvvIE_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 4][]![watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBAb2hhbmHvvIE_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 5][]

#### 3.二叉树的性质 ####

> 1.  **若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i - 1)(i>0)个结点**
> 2.  **若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 2^k -1(k>=0)**
> 3.   **对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1**
> 4.  **具有n个结点的完全二叉树的深度k为![\\log\_\{2\}(n - 1)][log_2_n - 1] 上取整**
> 5.   **对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：**
> 
>  *  **若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点**
>  *  **若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子**
>  *  **若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子**

#### **4.二叉树的存储** ####

>  *  **二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储**
>  *  **二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式**

## **三 ，二叉树的基本操作** ##

（这是二叉树的练习代码，并非二叉树的真正创建方式）

//孩子表示法
        public static class BTNode{
            BTNode left;           //表示左孩子（左子树）
            BTNode right;          //表示右孩子（右子树）
    
            int value;             //结点中的值
    
            public BTNode(int value){
                this.value = value;
            }
        }
    
        BTNode root;  //指向二叉树的根节点
        public void createBinaryTree(){
            BTNode node1 = new BTNode(1);
            BTNode node2 = new BTNode(2);
            BTNode node3 = new BTNode(3);
            BTNode node4 = new BTNode(4);
            BTNode node5 = new BTNode(5);
            BTNode node6 = new BTNode(6);
    
            root = node1;
    
            node1.left = node2;
            node1.right = node4;
    
            node2.left = node3;
            node4.left = node5;
            node4.right = node6;
    
        }

手动构建的二叉树如下图，所示：

![watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBAb2hhbmHvvIE_size_14_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16][]

#### **1.二叉树的遍历（递归）** ####

**前序遍历（就是以根节点 ---> 左子树 -----> 右子树）这样的顺序来进行遍历**

**中序遍历（以左子树 ---> 根节点 ------> 右子树）**

**后序遍历（左子树----> 右子树----> 根节点）**

//包装一下，使用起来更方便，只用调用，不用手动传参数
        public void preOrder(){
            System.out.print("前序遍历：");
            preOrder(root);
            System.out.println();
        }
    
        public void mediumOrder(){
            System.out.print("中序遍历：");
            mediumOrder(root);
            System.out.println();
        }
    
        public void postOrder(){
            System.out.print("后序遍历：");
            postOrder(root);
            System.out.println();
        }
    
    
        //前序遍历   ---->(根结点  左子树   右子树）
        private void preOrder(BTNode treeRoot){
            if (treeRoot != null){
                System.out.print(treeRoot.value + " ");
                preOrder(treeRoot.left);
                preOrder(treeRoot.right);
            }
        }
    
        //中序遍历 ---->(左子树  根结点   右子树）
        private void mediumOrder(BTNode treeRoot){
            if (treeRoot != null){
                mediumOrder(treeRoot.left);
                System.out.print(treeRoot.value + " ");
                mediumOrder(treeRoot.right);
            }
        }
    
    
        //后序遍历 ---->(左子树  右子树  根结点）
        private void postOrder (BTNode treeRoot){
            if (treeRoot != null){
                postOrder(treeRoot.left);
                postOrder(treeRoot.right);
                System.out.print(treeRoot.value + " ");
            }
        }

![watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBAb2hhbmHvvIE_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 6][]

#### 2.层序遍历 ####

![watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBAb2hhbmHvvIE_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 7][]

就是按照一层一层的顺序来进行遍历，这个二叉树的打印结果应该为（1 2 4 3 5 6）

>  *  使用对列先进先出的特性
>  *  先将二叉树的根节点入队列
>  *  在对列不为空的情况下，一直遍历，直到其中没有了结点，每次出队列获取值结束时，将这个结点的左子树和右子树入队列

//层序遍历 （主要借助队列的特性“先入先出”的特性来进行遍历）
        public void levelOrder(){
            //如果这是一个空树
            if (root == null){
                System.out.println("这是一个空的二叉树！");
            }
    
            // 当二叉树不为空时，首先要将根节点放入到队列当中
            Queue<BTNode> q = new LinkedList<>();
            q.offer(root);
    
            //只要队列中的元素不为空时，循环进行
            System.out.print("层序遍历：");
            while(!q.isEmpty()){
    
                //获取队头元素（获取结点的值）
                BTNode cur = q.poll();
                System.out.print(cur.value + " ");
    
                //如果左子树不为空时，让其入队列
                if (cur.left != null){
                    q.offer(cur.left);
                }
    
                //如果右子树不为空时，让其入队列
                if (cur.right != null){
                    q.offer(cur.right);
                }
            }
    
            System.out.println();
        }

![watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBAb2hhbmHvvIE_size_12_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16][]

#### 3.获取树中节点的个数 ####

//获取二叉树的结点个数
    
        public int size(BTNode treeRoot){
            if (treeRoot == null){
                return 0;
            }
    
            return 1 + size(treeRoot.left) + size(treeRoot.right);
        }

#### 4.获取二叉树中叶子结点的个数 ####

//获取二叉树中叶子结点的个数
    
        public int LeafSize(BTNode treeRoot){
            if (treeRoot == null){
                return 0;
            }
    
            if (treeRoot.left == null || treeRoot.right == null){
                return 1;
            }
    
            return LeafSize(treeRoot.left) + LeafSize(treeRoot.right);
        }

#### 5.获取第K层节点的个数 ####

//获取第K层节点的个数
        public int levelKSize(BTNode treeRoot,int k){
            if (treeRoot == null){
                return 0;
            }
    
            if (k <= 0){
                return 0;
            }
    
            if (k == 1){
                return 1;
            }
            return levelKSize(treeRoot.left,k - 1) + levelKSize(treeRoot.right, k - 1);
        }

#### 6.获取树的高度 ####

//获取树的高度
        public int levelK(BTNode treeRoot){
            if (treeRoot == null){
                return 0;
            }
    
            if (treeRoot.left == null && treeRoot.right == null){
                return 1;
            }
    
            int leftHeight = levelK(treeRoot.left);
            int rightHeight = levelK(treeRoot.right);
    
            return leftHeight > rightHeight? leftHeight+1 : rightHeight+1;
        }

#### 7.检测值为value的元素是否存在 ####

public boolean find(BTNode treeNode,int val){
            if (treeNode == null){
                return false;
            }
    
            if (treeNode.value == val){
                return true;
            }
    
            if (find(treeNode.left,val)){
                return true;
            }
    
            return find(treeNode.right,val);
        }

![5453ff7a08e64f09a7078ef7500a7402.png][]

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